斜拋運動知識的擴展性應(yīng)用

PAGEPAGE1斜拋運動知識的擴展性應(yīng)用安徽省肥東一中李昌棟（郵編231600）YθV0XO首先回顧一下斜拋運動的一般規(guī)律：設(shè)將一質(zhì)點以初速VYθV0XO豎直速度和水平速度分別為：軌跡方程為：Y=Xtgθ－X2幾個重要結(jié)論（落地點與拋出點在同一水平面上）：水平射程為：，射高為：,飛行時間：T=。對同一初速V0有兩個拋射角和θ2對應(yīng)的水平射程X相等，且θ1+θ2=90°當θ1=θ2=45°時X最大為下面研究幾個問題：一、相同的水平射程問題從離地面的高度為h的固定點Α，將甲球以速度V0拋出，拋射角為α，0<α<π/2，若在Α點前方適當?shù)牡胤椒乓毁|(zhì)量非常大的平板OG，讓甲球與平板作完全彈性碰撞，并使碰撞點與Α點等高，如圖所示，則當平板傾角θ為恰當值時（0<θ<π/2），甲球恰好能回到Α點。另有一小球乙，在甲球自Α點拋出的同時，從Α點自由落下，與地面作完全彈性碰撞。試討論V0、α、θ應(yīng)滿足怎樣的一些條件，才能使乙球與地面碰撞一次后與甲球同時回到Α點。這是一道全國競賽題。要迅速解答此題，只要抓住兩點：（1）甲、乙同時從Α出發(fā)并同時回到Α點，運動時間相同。（2）乙先做自由落體運動，后作豎直上拋運動；甲來回均為斜拋運動，且落地點與拋出點在同一水平面上，水平射程相同。初速率相同。其中關(guān)鍵在于對甲的運動分析。解答如下：甲、乙從Α點出發(fā)到回到Α點所用時間有：t甲=t乙……①t乙=2……②設(shè)碰撞后甲球從板彈回時的拋射角為α′,如圖所示.則α和α`相等或互余。即：α′=α

或α′=-α

③且t甲=＋=④下面分兩種情況討論題求條件。I.α′=α的情形：表示甲球射到平板時速度的方向與它從平板反彈出時速度的方向相反,故甲球必沿板的法線方向射向平板,反彈后,甲球沿原來的路徑返回Α點,因此有α′=α,α+θ=所以有θ=-α……

⑤。

因為

t甲=t乙故有=2……

⑥

即

sinα=

或

α=sin-1

……

⑦

因

sinα<1,由⑨式得v0>

……⑧

當滿足v0>

且

α=sin-1

、θ=-α?xí)r甲球才能沿原路返回Α點并與乙球相遇.

Ⅱ.而α′=-α的情形,表示甲球沿與平板的法線成某一角度的方向射向平板,沿位于法線另一側(cè)與法線成相同角度的方向彈出,然后甲球沿另一條路徑回到Α點.由圖中的幾何關(guān)系可知

α+(α-α′)+θ=

由④⑤兩式,得θ=

……

⑨

sinффπ02π

因為t甲=t乙sinффπ02π

解得sin(+α)=

α=sin-1-

……

因

0<α<,故有sin(+α)>sin=

，

且sin(α+)≤1，

故>V0≥

……

綜合以上討論,結(jié)論為:當V0>,且當α=sin-1,θ=-α,甲球沿原路徑返回Α點的同時,乙球也回到Α點;當>V0>,且當α=sin-1-,θ=,甲球還可沿另一路徑回到Α點,這時,乙球也正好回到Α點.二、擊中空間某一定點的最小速率問題αYαYXOP(x、y)V0βH解：取O點為坐標原點建立直角坐標系如圖所示不難得到軌跡方程為：Y=Xtgα－X2=Xtgα－（1+tg2α）.整理得到：tg2α－tgα+（1+Y）=0.設(shè)兩根分別為tgα1、tgα2，則由韋達定理得：tg（α1+α2）=∴α1+α2=+β當α1=α2=+時，對于確定的X、Y，V0有最小值。其實，如果只要求V0的最小值，還可以由判別式入手∵tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使tgα有解，判別式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不難得到：V20min=g（+Y）,V0min=例題：足球運動員在11m遠處的罰球點準確地從橫梁下邊沿踢進一球。橫梁下邊沿離地高度為h=2.5m,足球質(zhì)量為m=0.5kg，空氣阻力不計。必須傳遞給這個足球的最小能量Emin是多少（此為全俄中學(xué)生賽題）？由以上結(jié)論可知：Emin=mV20min=mg（+Y）=34J（此題可以從動能表達式、速度和位移公式入手求解）三、對于確定的初速率，求擊中某一定水平距離處的最高點問題。在問題二中有：tg2α－tgα+（1+Y）=0.要使α有解，判別式Δ≥0－4（1+Y）≥0.不難得到Y(jié)max=－.即Ymax=－當X=0時，得到Y(jié)max=，此即豎直上拋運動的最大高度。四、安全拋物面問題如圖所示，在三維空間中,當V0一定，能夠擊中XOZ平面中某一定點（X、Z）正上方的最大高度Y是多少呢？XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)OXYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)O所以Y=－。此即為安全拋物面方程QX`QX`YZP(d、Y、Z)OXhdMNV0d`B如圖所示，在距O點為d處放一個平行于YOZ平面的靶平面，此平面上有一條直線MN，平行于OZ軸且到X軸的高度為h?，F(xiàn)在O處以初速V0射擊靶平面，且要求子彈擊中直線MN，求瞄準點應(yīng)該滿足的方程。解答如下：瞄準點在靶平面上，X=d，瞄準點設(shè)為P(d、Y、Z)，其方程形式應(yīng)為f(Y、Z)=0，擊中點為Q如圖所示。我們將子彈的運動分解為由O→P的勻速直線運動和由P到Q的自由落體運動。而OP=，Q點到P點的距離為Y－d。故有：=整理得到：=令r2=，得=r2此即瞄準點方程由此可知瞄準點的軌跡是一個園，圓心為（d、、0），半徑是r=討論：①因為－r≤Z≤r，所以只能擊中MN直線上一段長為2r的部分。XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)XYZX`(X、Z)P(X、Y、Z)O六、煙花問題設(shè)在空中某一點以同一速率，將n個質(zhì)點同時向各個不同方向拋出，試證明落地前由這些質(zhì)點都將位于同一球面上。證明：以拋出點為原點建立坐標系，任取一豎直平面X`OY，得到=(V0t)2。又因X`2=X2+Z2，所以有：=(V0t)2這是球面方程。即落地前，各小球均位于同一球面上，球面半徑在均勻增大（r=V0