北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-三角形的證明-單元測(cè)試卷(含答案)

北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)三角形的證明單元測(cè)試卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共45分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在相應(yīng)的答題框內(nèi))1.如圖，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，則AB＝()A.25B.30C.20eq\r(3)D.402.如圖，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，則∠C的度數(shù)是()A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其兩個(gè)內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是()A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各組數(shù)為三角形的三條邊長(zhǎng)，其中是直角三角形的三條邊長(zhǎng)的是()A.2，3，4B.1，eq\r(2)，eq\r(3)C.4，5，6D.2，eq\r(2)，45.如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，則△ABC≌△DCB的理由是()A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠CAD的度數(shù)為()A.35°B.45°C.55°D.60°7.等邊△ABC的兩條角平分線BD和CE相交所夾銳角的度數(shù)為()A.30°B.45°C.60°D.75°8.如圖，D是Rt△ABC的斜邊BC上一點(diǎn)，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，則β的度數(shù)是()A.40°B.50°C.60°D.不能確定9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，則BD的長(zhǎng)為()A.1.5B.3C.6D.910.用反證法證明“直角三角形中的兩個(gè)銳角不能都大于45°”，第一步應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中()A.每一個(gè)銳角都小于45°B.有一個(gè)銳角大于45°C.有一個(gè)銳角小于45°D.每一個(gè)銳角都大于45°11.如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.觀察下列命題的逆命題：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④全等三角形的面積相等.其中逆命題為假命題的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.413.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線EF交∠ABC的平分線BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是()A.24°B.30°C.32°D.36°14.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE∶S△BDE＝()A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.△BPQ是等邊三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一個(gè)銳角是22°，則另外一個(gè)銳角是.17.如圖，某失聯(lián)客機(jī)從A地起飛，飛行1000km到達(dá)B地，再折返飛行1000km到達(dá)C地后在雷達(dá)上消失，已知∠ABC＝60°，則失聯(lián)客機(jī)消失時(shí)離起飛地A地的距離為km.18.如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)－3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為.19.如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是22，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，△ABC的面積是.20.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是.三、解答題(本大題共7個(gè)小題，各題分值見(jiàn)題號(hào)后，共80分)21.(本題8分)一個(gè)機(jī)器零件的形狀如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5cm，BD＝13cm，AD＝12cm，求△ABD的面積.22.(本題8分)在加快城鎮(zhèn)建設(shè)中，有兩條公路OA和OB交會(huì)于O點(diǎn)，在∠AOB的內(nèi)部有蔬菜基地C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)蔬菜轉(zhuǎn)運(yùn)站P，使轉(zhuǎn)運(yùn)站P到兩條公路OA，OB的距離相等，且到兩個(gè)蔬菜基地C，D的距離也相等，用尺規(guī)作出蔬菜轉(zhuǎn)運(yùn)站P的位置.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡.)23.(本題10分)如圖，點(diǎn)P為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，連接BD，求∠ABD的度數(shù).24.(本題12分)如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C為角平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，垂足為C，交OB于點(diǎn)D，CE∥OA交OB于點(diǎn)E.(1)判斷△CED的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若OC＝3，求CD的長(zhǎng).25.(本題12分)如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于點(diǎn)P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求證：BD＝CE；(2)若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng).26.(本題14分)如圖，在△ABC中，MP，NO分別垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10cm，試求出△PAO的周長(zhǎng)；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，試求∠PAO的度數(shù)；(3)在(2)中，若無(wú)AB＝AC的條件，你能求出∠PAO的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)求出來(lái)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.27.(本題16分)如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M，N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN?(3)當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.參考答案一、選擇題(本大題共15個(gè)小題，每小題3分，共45分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)正確，請(qǐng)把你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填在相應(yīng)的答題框內(nèi))題號(hào)123456789101112131415選項(xiàng)DACBAACBCDBACBD1.如圖，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，則AB＝(D)A.25B.30C.20eq\r(3)D.402.如圖，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，則∠C的度數(shù)是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其兩個(gè)內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各組數(shù)為三角形的三條邊長(zhǎng)，其中是直角三角形的三條邊長(zhǎng)的是(B)A.2，3，4B.1，eq\r(2)，eq\r(3)C.4，5，6D.2，eq\r(2)，45.如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，則△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠CAD的度數(shù)為(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等邊△ABC的兩條角平分線BD和CE相交所夾銳角的度數(shù)為(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如圖，D是Rt△ABC的斜邊BC上一點(diǎn)，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，則β的度數(shù)是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能確定9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，則BD的長(zhǎng)為(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反證法證明“直角三角形中的兩個(gè)銳角不能都大于45°”，第一步應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中(D)A.每一個(gè)銳角都小于45°B.有一個(gè)銳角大于45°C.有一個(gè)銳角小于45°D.每一個(gè)銳角都大于45°11.如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各條件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.觀察下列命題的逆命題：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；③直角三角形的兩個(gè)銳角互余；④全等三角形的面積相等.其中逆命題為假命題的個(gè)數(shù)是(A)A.1B.2C.3D.413.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線EF交∠ABC的平分線BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE∶S△BDE＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是(D)A.△BPQ是等邊三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一個(gè)銳角是22°，則另外一個(gè)銳角是68__°.17.如圖，某失聯(lián)客機(jī)從A地起飛，飛行1000km到達(dá)B地，再折返飛行1000km到達(dá)C地后在雷達(dá)上消失，已知∠ABC＝60°，則失聯(lián)客機(jī)消失時(shí)離起飛地A地的距離為1__000km.18.如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)－3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為eq\r(7).19.如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是22，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，△ABC的面積是33.20.如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠OEC的度數(shù)是108__°.三、解答題(本大題共7個(gè)小題，各題分值見(jiàn)題號(hào)后，共80分)21.(本題8分)一個(gè)機(jī)器零件的形狀如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5cm，BD＝13cm，AD＝12cm，求△ABD的面積.解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5cm，∴AB＝2BC＝5cm.∵52＋122＝132，即AB2＋AD2＝BD2，∴△ABD是直角三角形.∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2).22.(本題8分)在加快城鎮(zhèn)建設(shè)中，有兩條公路OA和OB交會(huì)于O點(diǎn)，在圖中∠AOB的內(nèi)部有蔬菜基地C和D，現(xiàn)要修建一個(gè)蔬菜轉(zhuǎn)運(yùn)站P，使轉(zhuǎn)運(yùn)站P到兩條公路OA，OB的距離相等，且到兩個(gè)蔬菜基地C，D的距離也相等，用尺規(guī)作出蔬菜轉(zhuǎn)運(yùn)站P的位置.(要求：不寫作法，保留作圖痕跡.)解：如圖所示.23.(本題10分)如圖，點(diǎn)P為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，連接BD，求∠ABD的度數(shù).解：∵∠APC＝60°，CD⊥AP，∴∠PCD＝90°－∠APC＝90°－60°＝30°.∴PC＝2PD.∵PC＝2PB，∴PB＝PD.∴∠PBD＝∠PDB.又∵∠APC＝∠PBD＋∠PDB，∴∠PBD＝eq\f(1,2)∠APC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC－∠PBD＝45°－30°＝15°.24.(本題12分)如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C為角平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OC，垂足為C，交OB于點(diǎn)D，CE∥OA交OB于點(diǎn)E.(1)判斷△CED的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若OC＝3，求CD的長(zhǎng).解：(1)△CED是等邊三角形.理由如下：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠COE＝30°.∵CE∥OA，∴∠AOC＝∠COE＝∠OCE＝30°，∠CED＝60°.∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°.∴∠EDC＝60°.∴△CED是等邊三角形.(2)∵△CED是等邊三角形，∴CD＝CE＝ED.又∵∠COE＝∠OCE，∴OE＝EC.∴CD＝ED＝OE.設(shè)CD＝x，則OD＝2x.在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：x2＋9＝4x2，解得x＝eq\r(3).則CD＝eq\r(3).25.(本題12分)如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于點(diǎn)P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求證：BD＝CE；(2)若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長(zhǎng).解：(1)證明：連接BP，CP.∵點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP.∵AP是∠DAC的平分線，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BP＝CP，,DP＝EP，))∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)，∴BD＝CE.(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AP，,DP＝EP，))∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL)，∴AD＝AE.∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6＋AD＝10－AE，即6＋AD＝10－AD.解得AD＝2cm.26.(本題14分)如圖，在△ABC中，MP，NO分別垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10cm，試求出△PAO的周長(zhǎng)；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，試求∠PAO的度數(shù)；(3)在(2)中，若無(wú)AB＝AC的條件，你能求出∠PAO的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)求出來(lái)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)∵M(jìn)P，NO分別垂直平分AB，AC，∴AP＝BP，AO＝CO.∴△PAO的周長(zhǎng)為AP＋PO＋AO＝BO＋PO＋OC＝BC.∵BC＝10cm，∴△PAO的周長(zhǎng)為10cm.(2)∵AB＝AC，∠BAC＝110°，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－110°)＝35°.由(1)知AP＝BP，AO＝CO.∴∠BAP＝∠B＝35°，∠CAO＝∠C＝35°.∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110°－35°－35°＝40°.(3)能.理由