高中數(shù)學必修知識點梳理及配套例題解析

集合及集合的表示【學習目標】1.了解集合的含義，會使用符號“”“”表示元素與集合之間的關(guān)系．2.能選擇自然語言、圖象語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用．3.理解集合的特征性質(zhì)，會用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常用數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等．【要點梳理】集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.要點一、集合的有關(guān)概念1．集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體.2．一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合(set)，也簡稱集.3．關(guān)于集合的元素的特征(1)確定性：設(shè)A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體(對象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復出現(xiàn)同一元素.(3)無序性：集合中的元素的次序無先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合.4．元素與集合的關(guān)系：(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belongto)A，記作aA(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(notbelongto)A，記作5．集合的分類(1)空集：不含有任何元素的集合稱為空集(emptyset)，記作：.(2)有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集.(3)無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集.6．常用數(shù)集及其表示非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實數(shù)集，記作R要點二、集合的表示方法我們可以用自然語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合.1.自然語言法：用文字敘述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶數(shù)構(gòu)成的集合.2.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi).如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內(nèi).具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.4.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數(shù)軸上的區(qū)間等.為了形象直觀，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合，這種表示集合的方法稱為韋恩（Venn）圖法.如下圖，就表示集合.【典型例題】1，2，3，41，2，3，4類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)例1集合由形如的數(shù)構(gòu)成的，判斷是不是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由題中集合可知均有，，即.點評：（1）解答本題首先要理解與的含義，然后要弄清所給集合是由一些怎樣的數(shù)構(gòu)成的，能否化成此形式，進而去判斷是不是集合中的元素.（2）判斷一個元素是不是某個集合的元素，就是判斷這個元素是否具有這個集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對象的表達式轉(zhuǎn)化為集合中元素所具有的形式.舉一反三：【變式1】設(shè)(1)若aZ，則是否有aS？(2)對S中任意兩個元素x1，x2，則x1+x2，x1·x2，是否屬于集合S？解：(1)若aZ，則有aS，即n=0時，xZ，∴aS；(2)x1，x2S，則∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z∴x1·x2S.類型二：元素與集合的關(guān)系例2.用符號“”或“”填空．(1)(2)(3)解析：給定一個對象a，它與一個給定的集合A之間的關(guān)系為，或者，二者必居其一.解答這類問題的關(guān)鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.對于第(1)題，可以通過使用計算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大??；對于第(2)題，不妨分別令x=3，x=5，解方程；對于第(3)題，要明確各個集合的本質(zhì)屬性.(1)(2)令，則令，則(3)∵(-1，1)是一個有序?qū)崝?shù)對，且符合關(guān)系y=x2，∴點評：第(1)題充分體現(xiàn)了“化異為同”的數(shù)學思想.另外，“見根號就平方”也是一種常用的解題思路和方法，應(yīng)注意把握.第(2)題關(guān)鍵是明確集合這個“口袋”中是裝了些x呢？還是裝了些n呢？要特別注意描述法表示的集合，是由符號“｜”左邊的元素組成的，符號“｜”右邊的部分表示x具有的性質(zhì).第(3)題要分清兩個集合的區(qū)別.集合這個“口袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實數(shù)組成的；而集合是由拋物線上的所有點構(gòu)成的，是一個點集.舉一反三：【變式1】用符號“”或“”填空（1）若,則；-2.（2）若則；-2.答案：（1），（2），類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用例3.設(shè)是至少含有兩個元素的集合，在上定義了一個二元運算“*”（即對任意的，對于有序元素對（a,b）,在中唯一確定的元素與之對應(yīng)），若對任意的，有，則對任意的，下列等式中不恒成立的是（）A.B.C.D.答案：A解析：抓住本題的本質(zhì)恒成立.只要為中元素即可有.B中由已知即為符合已知條件形式.中即可.D中相當于已知中的也正確.只有A不一定正確.點評：本題應(yīng)緊緊抓住關(guān)系式，即關(guān)系式中有三個數(shù)，其中有兩個數(shù)相同且分別在兩邊，此時關(guān)系式等于中間的數(shù)，只要分析出這個特點即可解決.舉一反三：【變式1】定義集合運算：.設(shè)集合，，則集合的所有元素之和為A.0B.6C答案：D解析：，當時，，于是的所有元素之和為0+6+12=18.點評：這類試題通過給出新的數(shù)學概念或新的運算方法，在新的情境下完成某種推理證明是集合命題的一個新方向.常見的有定義新概念、新公式、新運算和新法則等類型.例4.，則M=()A.{2，3}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，6}D.{-1，2，3，4}答案：D解析：集合中的元素滿足是整數(shù)，且能夠使是自然數(shù)，所以由aZ，所以-1≤a≤4當a=-1時，符合題意；當a=0時，不符合題意；當a=1時，不符合題意；當a=2時，符合題意；當a=3時，符合題意；當a=4時，符合題意.故a=-1，a=2，a=3，a=4為M中元素，即M={-1，2，3，4}，選項D正確.■高清課程：集合的表示及運算例1例5.設(shè)集合={x|}，當集合為單元素集時，求實數(shù)的值.答案：0，1解析：由集合中只含有一個元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當a=0時，可得是一次方程，故滿足題意.當a≠0時，則為一個二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的根，即為判別式為0時的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0，1.例6.已知集合，若，求實數(shù)的值及集合.答案：，解析：（1）若則.所以，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（2）若，則或，當時，滿足題意；當時，，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（3）若，則或，由上分析知與均應(yīng)舍去.綜上，，集合.點評：本題中由于1和集合中元素的對應(yīng)關(guān)系不明確，故要分類討論.此類問題在解答時，既要應(yīng)用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗解的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須在學習中引起足夠的重視.舉一反三：【變式1】已知集合，，求實數(shù)的值答案：解析：當，即時，，滿足題意；當即，時，，與集合的概念矛盾，不滿足題意舍去，時，由上面知，滿足題意故例7．設(shè)是實數(shù)集，且滿足條件：若，則.（1）若，則中必還有另外兩個元素；（2）集合不可能是單元素集；（3）集合中至少有三個不同的元素.答案：（1）（2）略（3）略解析：（1）若，則，于是，故集合中還含有兩個元素.（2）若為單元素集，則，即，此方程無實數(shù)解，，與都為集合的元素，則不可能是單元素集.（3）由已知.現(xiàn)只需證明三個數(shù)互不相等.①若方程無解，；②若，方程無解，；③若，方程無解，，故集合中至少有三個不同的元素.點評：集合離不開元素，元素是集合的核心，所以解決有關(guān)集合中的探索性問題，可以先從元素入手，作為解題的切入點.類型四：集合的表示方法例8．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(2)由大于15小于25的所有整數(shù)組成的集合.答案：；。解析：(1)設(shè)方程的實數(shù)根為x，并且滿足條件因此，用描述法表示為；方程有兩個實數(shù)根因此，用列舉法表示為.(2)設(shè)大于15小于25的整數(shù)為x，它滿足條件，且15<x<25，因此，用描述法表示為；大于15小于25的整數(shù)有16，17，18，19，20，21，22，23，24，因此，用列舉法表示為.點評：（1）列舉法表示集合，元素不重復、不計次序、不遺漏，且元素與元素之間用“，”隔開.（2）列舉法適合表示有限集，當集合中元素的個數(shù)較少時，用列舉法表示集合較為方便，而且一目了然.（3）用描述法表示集合時，要注意代表元素是什么，同時要注意代表元素所具有的性質(zhì).舉一反三：【變式1】用列舉法表示集合：(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}(2)B={(x，y)|x+y=3，xN，yN}(3)C={y|x+y=3，xN，yN}(4)(5)(6)P={x|x(x-a)=0，aR}解析：本題是描述法與列舉法的互化，一定要先觀察描述法中代表元素是什么.(1)A={1，-2，-1，2}(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}(3)C={0，1，2，3}(4)D={(0，0)}(5)M={0}(6)當a≠0時，P={0，a}；當a=0時，P={0}.點評：此例題（2）與（3），（4）與（5）兩組都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互異性，遇到代數(shù)式時，能否意識到字母aR，需要分類討論.【變式2】用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）比5大3的數(shù)；（2）方程的解集；（3）二次函數(shù)的圖象上的所有點組成的集合。答案：（1）；（2）；（3）。解析：（1）比5大3的數(shù)顯然是8，故可表示為。（2）方程可化為，方程的解集為。（3）用描述法表示為。點評：用列舉法與描述法表示集合時，一要明確集合中的元素；二要明確元素滿足的條件；三要根據(jù)集合中元素的個數(shù)來選擇適當?shù)姆椒ū硎炯?。集合的基本關(guān)系及運算【學習目標】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．在具體情境中，了解空集和全集的含義．2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．【要點梳理】要點一、集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：要點詮釋：（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）當不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(propersubset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作．要點二、集合的運算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：要點詮釋：（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementaryset)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：要點詮釋：（1）理解補集概念時，應(yīng)注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同．（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集．（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中“U”也必須換成相應(yīng)的集合（即）．4.集合基本運算的一些結(jié)論若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x(A∩B)，則xA且xB若x(A∪B)，則xA，或xB求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一、集合間的關(guān)系例1.集合，集合，那么間的關(guān)系是（）.A.B.C.=D.以上都不對【答案】B【解析】先用列舉法表示集合、，再判斷它們之間的關(guān)系.由題意可知，集合是非負偶數(shù)集，即.集合中的元素.而（為正奇數(shù)時）表示0或正偶數(shù)，但不是表示所有的正偶數(shù)，即.由依次得0,2,6,12，，即.綜上知，，應(yīng)選.

【總結(jié)升華】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）.舉一反三：【變式1】若集合，則（）.A.B.C.=D.【答案】C例2.寫出集合{a，b，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a}，，{c}，含有2個元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3個元素的子集為{a，b，c}，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當元素個數(shù)相同時，應(yīng)依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有個.【答案】7個【變式2】同時滿足：①；②，則的非空集合有（）A.16個B.15個C.7個D.6個【答案】C【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？【答案】以上四個集合都不相同【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素為x，故集合A表示的是函數(shù)y=x2+1中自變量x的取值范圍，即函數(shù)的定義域A=；集合B={y|y=x2+1}的代表元素為y，故集合B表示的是函數(shù)y=x2+1中函數(shù)值y的取值范圍，即函數(shù)的值域B=；集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素為點（x，y），故集合C表示的是拋物線y=x2+1上的所有點組成的集合；集合D={y=x2+1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=x2+1．【總結(jié)升華】認清集合的屬性，是突破此類題的關(guān)鍵.首先應(yīng)當弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對于用描述法表示的集合一定要認準代表元素，準確理解對代表元素的限制條件．舉一反三：【變式1】設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是點集，因此只能是點集，而選項A表示二元數(shù)集合，選項B表示二元等式集合，選項C表示區(qū)間（無窮數(shù)集合）或單獨的一個點的坐標（不是集合），因此可以判斷選D．【變式2】設(shè)集合，，則與的關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】集合M表示函數(shù)的定義域，有；集合N表示函數(shù)的值域，有，故選A.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例2】【變式3】設(shè)M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=【答案】B【解析】當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例3】例4．已知若M=N，則=．A．－200B．200C．－100D．0【思路點撥】解答本題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，本題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性．【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x≠0.若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy≠0若，則x=y，M，N可寫為M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若|x|=1即x=±1當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故x≠1當x=-1時，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合題意，綜上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+…+2=0【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點．舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=()【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：∴當b=1時，a=-1，當時，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)∴綜上：a=-1，b=1，∴b-a=2.類型二、集合的運算例5.設(shè)集合，，，求.【答案】,【解析】先將集合、、、轉(zhuǎn)化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構(gòu)成，再求其交集即可.集合表示3的倍數(shù)所組成的集合；集合表示除以3余1的整數(shù)所組成的集合；集合表示除以3余2的整數(shù)所組成的集合；集合表示除以6余1的整數(shù)所組成的集合；,.【總結(jié)升華】求兩個集合的交集或并集，關(guān)鍵在于弄清兩個集合由哪些元素所構(gòu)成的，因而有時需要對集合進行轉(zhuǎn)化，或具體化、形象化.如本例中轉(zhuǎn)化為用自然語言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構(gòu)成.類似地，若一個集合元素的特征由不等式給出時，利用數(shù)軸就能使問題直觀形象起來.舉一反三：【變式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，則M∩N等于()A.B.RC.{-1，9}D.[-1，9]【答案】D【解析】集合M、N均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，選D.例6.設(shè)集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，則M∪N為()A.{1，3，a}B.{1，2，3，a}C.{1，2，3}D.{1，3}【思路點撥】先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題．【答案】D【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0<x<2，xZ}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故選D.舉一反三：【變式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；（2）已知：A={y|y=3x2}，B={y|y=-x2+4}，求：A∩B，A∪B；（3）已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.（2）∵A={y|y≥0}，B={y|y≤4}，A∩B={y|0≤y≤4}，A∪B=R.（3）∵A∩B={-3}，-3B，則有：①a-3=-3a=0，A={-3，0，1}，B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，與已知不符，∴a②2a-1=-3a=-1，∴A={-3，1，0}，B={-4，2，-3}，符合題設(shè)條件，∴A∪【總結(jié)升華】此例題既練習集合的運算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯點為求并集時，是否意識到要補上孤立點-1；而（2）中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；（3）中根據(jù)集合元素的互異性，需要進行分類討論，當求出a的一個值時，又要檢驗是否符合題設(shè)條件.【高清課堂：集合的運算377474例5】【變式2】設(shè)集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.【答案】｛2，3，6，18｝【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當a=3時，A={2，3，6}，B={2，18，3}∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝當a=-1時，A={2，3，6}，B={2，2，-9}這既不滿足條件A∩B={2，3}，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應(yīng)舍去.綜上A∪B=｛2，3，6，18｝例7.已知全集，求CuA.【思路點撥】CuA隱含了，對于，注意不要忘記的情形.【答案】當時，CuA=；當時，CuA=；當時，CuA=.【解析】當時，方程無實數(shù)解.此時.CuA=當時，二次方程的兩個根，必須屬于.因為，所以只可能有下述情形：當時，，此時CuA=；當時，，此時CuA=.綜上所述，當時，CuA=；當時，CuA=；當時，CuA=.【總結(jié)升華】求集合的補集，只需在全集中剔除集合的元素后組成一個集合即可.由于本題中集合的元素不確定，因此必須分類討論才行.舉一反三：【變式1】設(shè)全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在A∩B中.由集合的圖示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.類型三、集合運算綜合應(yīng)用例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}，B={x|x>a}.（1）若A∩B≠，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍．【思路點撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點.【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．【解析】(1)∵A={x|-2≤x≤4}，B={x|x>a}，又A∩B≠，如圖，a<4；(2)畫數(shù)軸同理可得：a≥-2；(3)畫數(shù)軸同理可得：如圖，-2≤a<4.【總結(jié)升華】此問題從題面上看是集合的運算，但其本質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題.思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題.舉一反三：【變式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是（） A．(-∞,-1] B．[1,+∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）【答案】C【解析】｛︱｝又，∴，∴故選C．例9.設(shè)集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路點撥】明確、的含義，根據(jù)問題的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式和，是解決本題的關(guān)鍵.同時，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.【答案】（1）或；（1）2．【解析】首先化簡集合，得.（1）由，則有，可知集合為，或為、，或為.①若時，，解得.②若,代入得.當時，符合題意；當時，也符合題意.③若，代入得，解得或.當時，已討論，符合題意；當時，，不符合題意.由①②③，得或.（2）.又，而至多只有兩個根，因此應(yīng)有，由（1）知.【總結(jié)升華】兩個等價轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應(yīng)用.另外，在解決有條件的集合問題時，不要忽視的情況.舉一反三：【變式1】已知集合，若,求實數(shù)的取值范圍.【答案】或【解析】,.①當時，此時方程無解，由，解得或.②當時，此時方程有且僅有一個實數(shù)解-2，，且，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍是或.【變式2】設(shè)全集，集合，若CuA，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】CuA=，.CuA，，即.實數(shù)的取值范圍是.《集合》全章復習鞏固【學習目標】1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；2．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；3．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；4．能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一：集合的基本概念1．集合的概念一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，如1～10內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，包括2，3，5，7，則3是我們所要研究的對象，它是其中的一個元素，把一些元素組成的總體叫做集合，如上述2，3，5，7就組成了一個集合。2．元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果是集合A的元素，就說屬于A，記作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A顛倒過來寫.（2）不屬于：如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作。3．集合中元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的。任何一個對象都能明確判斷出它是否為某個集合的元素；（2）互異性：集合中的任意兩個元素都是不同的，也就是同一個元素在集合中不能重復出現(xiàn)。（3）無序性：集合與組成它的元素的順序無關(guān)。如集合{1，2，3}與{3，1，2}是同一個集合。4．集合的分類集合可根據(jù)它含有的元素個數(shù)的多少分為兩類：有限集：含有有限個元素的集合。無限集：含有無限個元素的集合。要點詮釋：把不含有任何元素的集合叫做空集，記作，空集歸入有限集。要點二：集合間的關(guān)系1．子集：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作AB，對于任何集合A規(guī)定。兩個集合A與B之間的關(guān)系如下：其中記號（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。2．子集具有以下性質(zhì)：（1）AA，即任何一個集合都這是它本身的子集。（2）如果，，那么A=B。（3）如果，，那么。（4）如果，，那么。3．包含的定義也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。不包含的定義也可以表述成：兩個集合A與B，如果集合A中存在至少一個元素不是集合B的元素，那么（或）。4．有限集合的子集個數(shù)：（1）n個元素的集合有2n個子集。（2）n個元素的集合有2n－1個真子集。（3）n個元素的集合有2n－1個非空子集。（4）n個元素的集合有2n－2個非空真子集。要點詮釋：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．換言之，任何集合至少有一個子集．要點三：集合的基本運算1．用定義求兩個集合的交集與并集時，要注意“或”“且”的意義，“或”是兩個皆可的意思，“且”是兩者都有的意思，在使用時不要混淆。2．用維恩圖表示交集與并集。已知集合A與B，用陰影部分表示A∩B，A∪B，如下圖所示。3．關(guān)于交集、并集的有關(guān)性質(zhì)及結(jié)論歸結(jié)如下：（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。（2）；。（3）德摩根定律：；。；（4）；。4．全集與補集（1）它們是相互依存不可分離的兩個概念。把我們所研究的各個集合的全部元素看成是一個集合，則稱之為全集。而補集則是在時，由所有不屬于A但屬于U的元素組成的集合，記作。數(shù)學表達式：若，則U中子集A的補集為。（2）補集與全集的性質(zhì)①②，。③，。5．空集的性質(zhì)空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對任意集合A，有，；；；?！镜湫屠}】類型一：集合的含義與表示例1．選擇恰當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?。?）“mathematics”中字母構(gòu)成的集合；（2）不等式的解集；（3）函數(shù)的自變量的取值范圍。【思路點撥】集合的表示有兩種形式，我們必須了解每種方法的特點，選擇最佳的表達形式?！窘馕觥浚?）；（2）或（3）或【總結(jié)升華】正確選擇、運用列舉法或描述法表示集合，關(guān)鍵是確定集合中的元素。然后根據(jù)元素的數(shù)量和特性來選用恰當?shù)谋硎拘问?。舉一反三：【變式1】將集合表示成列舉法，正確的是（）A.{2，3}B.{（2，3）}C.{x=2，y=3}D.（2，3）【答案】B【變式2】已知集合

∣為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則的元素個數(shù)為（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3【答案】Ｃ例2．若含有三個元素的集合可表示為，也可以表示為，求的值?！舅悸伏c撥】由集合中元素的確定性和互異性可解得。【答案】【解析】由，可得且，則有或解得或（舍去）故【總結(jié)升華】利用集合中元素特性來解題，既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否，初學者在解題時容易忽視元素的互異性。必須在學習中高度重視。另外，本類問題往往涉及分類討論的數(shù)學思想。舉一反三：【變式1】若。求實數(shù)的值。【答案】【解析】由，可知或或，且。（1）若，則，此時，與集合中元素的互異性相矛盾，故舍去。（2）若，則，此時，符合集合的特性。（3）若，則方程無解。綜上可得的值為。例3．已知集合（1）若A是空集，求的取值范圍。（2）若A中只有一個元素，求的值。（3）若A中至多只有一個元素，求的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2）0，（3）或者m=0【解析】（1）當時，，A不為空集，則不滿足題意。當m≠0時，若A為空集，則一元二次方程實數(shù)范圍內(nèi)無解，即,。綜上若A為空集，則。（2）由集合中只含有一個元素可得，方程有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當時，可得是一次方程，故滿足題意.當m≠0時，則為一元二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的實根，即判別式為0時的值，可求得為.故的取值為0，.（3）∵A中元素至多只有一個，∴有以下兩種情況存在：集合A是空集；集合A是只有一個元素．綜合(1)(2)知,若A中元素至多只有一個,或者m=0.【總結(jié)升華】集合A是方程mx2-2x+3=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解集，所以本題實際上是討論方程mx2-2x+3=0解的個數(shù)問題。類型二：集合的基本關(guān)系例4．設(shè)集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，或AB，則a的取值范圍是________?！舅悸伏c撥】此題考查判斷兩個集合的包含關(guān)系。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數(shù)軸進行直觀的分析?！窘馕觥緼B={x｜x≥a}，利用數(shù)軸作圖如下：由此可知：a≤1?！究偨Y(jié)升華】要確定一個集合的方法之一是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)，借助Venn圖來分析，直觀性強。集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出來，用列舉法表示。要確定一個集合的方法之三是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)。用特征性質(zhì)描述法表示的集合，可借助數(shù)軸來分析，直觀性強。舉一反三：【變式1】已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范圍。【解析】（1）當B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1（2）當B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2（3）當B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1

綜上，a≤-2或a≥1/2【變式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇數(shù)}，且集合A滿足AB，AC，則集合A的個數(shù)是________?！舅悸伏c撥】由題設(shè)，C={1，3，5，7，9}。因為AB，AC，可用Venn圖發(fā)現(xiàn)集合B與C的公共元素為1，3，5，則集合A可能含有1，3，5三個數(shù)中的0個，1個，2個，或3個。故集合A的個數(shù)即為{1，3，5}的子集的個數(shù)。【解析】由已知作Venn圖{1，3，5}的子集中含0個元素的有1個：；{1，3，5}的子集中含1個元素的有3個：{1}，{3}，{5}；{1，3，5}的子集中含2個元素的有3個：{1，3}，{1，5}，{3，5}；{1，3，5}的子集中含3個元素的有1個：{1，3，5}。由上述分析知集合A的個數(shù)為{1，3，5}的子集的個數(shù)：1+3+3+1=8個。例5．設(shè)集合,若，求實數(shù)的范圍?！敬鸢浮炕颉窘馕觥?，或當時，即，則是方程的兩根，代入解得當時，分兩種情況：（1）若，則，解得。（2）若，則方程有兩個相等的實數(shù)根。，解得，此時，滿足條件。綜上可知，所求實數(shù)的范圍為或?！究偨Y(jié)升華】要解決此題，應(yīng)明確的具體含義：一是，二是。而時還應(yīng)考慮能否是的情況，因此解題過程中必須分類討論，另外還要熟練掌握一元二次方程根的討論問題。類型三：集合的基本運算例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區(qū)有（）A．3個B．2個C．1個D．無窮多個【答案】B【解析】∵陰影部分為M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴陰影部分所示的集合的元素區(qū)有2個，故選B項．【總結(jié)升華】具體集合（給出或可以求得元素的集合）的交、并、補運算，以及集合間關(guān)系的判定、子集的個數(shù)問題是每年高考重點考查的對象，因而也是高考命題的熱點．舉一反三：【變式1】已知全集U=R，則正確表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x關(guān)系的韋恩圖是（）A．B．C．D．【答案】B【高清課堂：集合與函數(shù)性質(zhì)綜合377492例4】【變式2】設(shè)全集為，，，求及．【答案】=；=.例7．若集合A={x｜x2―ax+a2―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，滿足A∩B，且A∩C=，則實數(shù)a的值是________?！舅悸伏c撥】由題設(shè)，A∩B且A∩C=知，2，3與集合A的關(guān)系，再進行解答?！窘馕觥坑梢阎?∈A，2A，則32―3a+a2―19=0，即a=5或a=―當a=5時，A={2，3}，與題意矛盾；當a=―2時，A={―5，3}，符合題意。由上述分析知a=―2?！究偨Y(jié)升華】集合是由元素構(gòu)成的，要確定一個集合首先明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)，再把集合中的元素一一找出來。例8．設(shè)集合A={x｜a―4＜x＜a+4}，B={x｜x＜－1或x＞5}，若A∪B=R，則a的取值范圍是________?！舅悸伏c撥】此題考查兩個集合并集的運算。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數(shù)軸進行直觀的分析?！窘馕觥緼∪B=R，利用數(shù)軸作圖如下：因此可知：。即{a｜1＜a＜3}。【總結(jié)升華】明確集合中元素的范圍及其滿足的性質(zhì)，用特征性質(zhì)描述法表示的集合可借助數(shù)軸來分析，直觀性強。舉一反三：【變式1】已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求實數(shù)k的取值范圍?！窘馕觥緼∩B=，當時，2k－1<k+1，即k<2.當時，k+1>5或2k－1<－2，即k>4或綜上知。例9．設(shè)集合A={x｜1＜x＜5}，B={x｜x＜a或x≥a+2}，若，則a的取值范圍是________?！舅悸伏c撥】此題考查兩個集合交集、補集的運算，由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數(shù)軸進行直觀的分析。【解析】，先求出，利用數(shù)軸作圖如下，有兩種情況：①②則a≥5，即{a｜a≤－1或a≥5}。【總結(jié)升華】用特征性質(zhì)描述表示的集合可借助數(shù)軸來分析，直觀性強，但在求補集以及其他運算時要注意端點處“=”的取舍。舉一反三：【變式1】已知集合A={x｜－2≤x＜7}，，若A∪B=R，求實數(shù)k的取值范圍?！窘馕觥吭跀?shù)軸上畫出集合A要使A∪B=R，即且解得。函數(shù)及其表示方法【學習目標】(1)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；(3)求簡單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用．【要點梳理】要點一、函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，xA．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域.要點詮釋：（1）A、B集合的非空性；（2）對應(yīng)關(guān)系的存在性、唯一性、確定性；（3）A中元素的無剩余性；（4）B中元素的可剩余性。2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3．區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.要點二、函數(shù)的表示法1．函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2．分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．要點三、映射與函數(shù)1.映射定義：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要點詮釋：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).要點詮釋：(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值域=象集合.3.函數(shù)定義域的求法(1)確定函數(shù)定義域的原則①當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.②當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.③當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合。（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關(guān)鍵是注意對應(yīng)法則。在同一對應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)。要點詮釋：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.4.函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.【典型例題】類型一、函數(shù)的概念例1.已知集合，，則從到的函數(shù)有個.【答案】8【解析】抓住函數(shù)的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法確定函數(shù)的個數(shù).444455554455445545454545由表可知，這樣的函數(shù)有8個，故填8.【總結(jié)升華】函數(shù)的定義（特別是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解決某些問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】下列各問的對應(yīng)關(guān)系是否是給出的實數(shù)集上的一個函數(shù)？為什么？（1）；（2），；（3），對任意的.【解析】（1）對于任意一個非零實數(shù)被唯一確定，所以當時，是函數(shù)，可表示為.（2）當時，，得或，不是有唯一值和對應(yīng)，所以（）不是函數(shù).（3）不是，因為當時，在集合中不存在數(shù)值與之對應(yīng).【高清課程：函數(shù)的概念與定義域356673例2】例2．下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個函數(shù)，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；【思路點撥】對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1)的定義域不同，前者是，后者是，因此是不同的函數(shù)；(2)，因此的對應(yīng)關(guān)系不同，是不同的函數(shù)；(3)的對應(yīng)關(guān)系不同，因此是不相同的函數(shù)；(4)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù).【總結(jié)升華】函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則，其中核心是對應(yīng)法則，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與是同一函數(shù)；(2)與y=|x|是同一函數(shù)；(3)是同一函數(shù)；(4)與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).【解析】從函數(shù)的定義及三要素入手判斷是否是同一函數(shù)，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.類型二、函數(shù)定義域的求法例3.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).(1)；(2)；(3).【思路點撥】由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.(1)是分式，只要分母不為0即可；(2)是二次根式，需根式有意義；(3)只要使得根式和分式都有意義即可．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】(1)的定義域為x2-3≠0，；(2)；(3).【總結(jié)升華】使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零；②偶次根式中，被開方數(shù)非負.當函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）：(1)； (2)；（3）.【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．【解析】(1)當|x-1|-2=0，即x=-1或x=3時，無意義，當|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3時，分式有意義，所以函數(shù)的定義域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域是；(3)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域為.【總結(jié)升華】小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；(即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.例4.（1）已知函數(shù)的定義域為[1，2]，求函數(shù)的定義域；（2）已知函數(shù)的定義域[1，2]，求函數(shù)的定義域；（3）已知函數(shù)的定義域[1，2]，求函數(shù)的定義域.【思路點撥】（1）若的定義域為，則在中，，從中解得的取值范圍即為的定義域．（2）若的定義域為，則由確定的的范圍即為的定義域．【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．【解析】（1）設(shè)，由于函數(shù)定義域為[1，2]，，故，即，解得，所以函數(shù)的定義域為[1，].（2）設(shè)，因為，所以，即，函數(shù)的定義域為[3，5].由此得函數(shù)的定義域為[3，5].（3）因為函數(shù)的定義域為[1，2]，即，所以，所以函數(shù)的定義域為[3，5]，由，得，所以函數(shù)的定義域為[2，3].【總結(jié)升華】求抽象函數(shù)的定義域，一要理解定義域的含義是的取值范圍；二要運用整體思想，也就是在同一對應(yīng)關(guān)系下括號內(nèi)的范圍是一樣的.舉一反三：【變式1】已知的定義域為，求的定義域.【答案】【解析】的定義域為，，，，解得：或，所以的定義域為.例5.已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.【思路點撥】確定的取值范圍，使之對任意，都有，即方程無實根.【答案】【解析】當時，對任意恒成立.當時，要使恒成立，即方程無實根.只需判別式，于是.綜上，的取值范圍是.【總結(jié)升華】（1）函數(shù)有意義，分母恒成立，轉(zhuǎn)化為時，二次方程無實根是關(guān)鍵一步.（2）由于判別式是對二次方程的實系數(shù)而言，所以這里應(yīng)分、兩種情況討論.（3）本題是求定義域的逆向問題，即已知函數(shù)的定義域求解析式中所含字母的取值范圍.類型三、求函數(shù)的值及值域例6.已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【思路點撥】根據(jù)函數(shù)符號的意義，可以知道f(g(2))表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值，其它同理可得．【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【總結(jié)升華】求函數(shù)值時，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f(g(x))，里層函數(shù)就是g(x)，外層函數(shù)就是f(x)，其對應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g(f(x))為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果.例7.求值域(用區(qū)間表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).【解析】(1)法一：配方法求值域．，①當時，，∴值域為[7，28]；②當時，，∴值域為[3，12]．法二：圖象法求值域二次函數(shù)圖象（如下圖）的開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以①當時，值域為[7，28]；②當時，值域為[3，12]．(2)；(3)，∴函數(shù)的值域為(-∞，1)∪(1，+∞).【總結(jié)升華】（1）求函數(shù)的值域問題關(guān)鍵是將解析式作變形，通過觀察或利用熟知的基本函數(shù)的值域，逐步推出函數(shù)的值域．（2）求函數(shù)的值域沒有固定的方法和模式，要靠自己經(jīng)驗的積累，掌握規(guī)律．求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系（解析式）的作用，而且要注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用．別忘了，函數(shù)的圖象在求函數(shù)的值域中也起著十分重要的作用．舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1），即所求函數(shù)的值域為；（2），，，即函數(shù)的值域為；（3）函數(shù)的定義域為，，，即函數(shù)的值域為．（4）所求函數(shù)的值域為．類型四、映射與函數(shù)【高清課程：函數(shù)的概念與定義域356673例1】例8.判斷下列對應(yīng)哪些是從集合A到集合B的映射，哪些是從集合A到集合B的函數(shù)？（1）A={直角坐標平面上的點}，B={（x，y）|}，對應(yīng)法則是：A中的點與B中的（x，y）對應(yīng)．（2）A={平面內(nèi)的三角形}，B={平面內(nèi)的圓}，對應(yīng)法則是：作三角形的外接圓；（3）A=N，B={0，1}，對應(yīng)法則是：除以2的余數(shù)；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，對應(yīng)法則是f：（5）A={0，1，2}，B={0，1，}，對應(yīng)法則是f：【思路點撥】根據(jù)映射定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一”．【解析】 (1)是映射，不是函數(shù)，因為集合A、B不是數(shù)集，是點集；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與之對應(yīng)，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；不是函數(shù)．(3)是映射，也是函數(shù)，函數(shù)解析式為．（4）是映射，也是函數(shù)．（5）對于集合A中的元素“0”，由對應(yīng)法則“取倒數(shù)”后，在集合B中沒有元素與它對應(yīng)，所以不是映射，也不是函數(shù)．【總結(jié)升華】判斷一個對應(yīng)是不是映射和函數(shù)，要根據(jù)映射和函數(shù)的定義去判斷，函數(shù)一定是映射，反過來，映射不一定是函數(shù)，從數(shù)集到數(shù)集的映射才是函數(shù)．舉一反三：【變式1】下列對應(yīng)哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數(shù)嗎？(1)A=N，B={1，-1}，f：xy=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.【答案】(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數(shù)，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數(shù).類型五、函數(shù)解析式的求法例9.求函數(shù)的解析式(1)已知是二次函數(shù)，且，求；(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；（3）已知，求.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.(1)設(shè)，由得由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函數(shù)的解析式為.(2)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則（3）因為，①用代替得，②由①②消去，得.【總結(jié)升華】（1）解析式類型已知的，如本例（1），一般用待定系數(shù)法，對于二次函數(shù)問題要注意對一般式，頂點式和兩點式的選擇.（2）已知求的問題，方法一是用配湊法；方法二是用換元法，如本例（2）.（3）函數(shù)方程問題，需建立關(guān)于的方程組，如本例（3），若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)、，則一般用代之，構(gòu)造另一個方程.舉一反三：【變式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x2+2x-1．【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；【總結(jié)升華】求函數(shù)解析式常用方法：(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對應(yīng)法則問題時，要關(guān)注新變元的范圍.類型六、函數(shù)的圖象例10.作出下列函數(shù)的圖象.（1）；（2）；（3）．【思路點撥】先把要畫的函數(shù)圖象進行變形，依據(jù)所學習過的基本函數(shù)圖象，通過函數(shù)圖象的平移、對稱和翻折得到要求的圖象?！窘馕觥?1)，∴圖象為一條直線上5個孤立的點；如下圖（1）．（2），先作函數(shù)的圖象，把它向右平移一個單位得到函數(shù)的圖象，再把它向上平移兩個單位便得到函數(shù)的圖象．如下圖（2）．（3）先作的圖象，保留軸上方的圖象，再把軸下方的圖象對稱翻到軸上方．再把它向上平移1個單位，即得到的圖象，如下圖所示（3）．類型七、分段函數(shù)例11.設(shè)函數(shù)求.【思路點撥】這是分段函數(shù)與復合函數(shù)式的變換問題，需要反復進行數(shù)值代換.【答案】：98【解析】======.【總結(jié)升華】分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決.例12．如圖所示，等腰梯形的兩底分別為，作直線交于，交折線于.設(shè)試將梯形位于直線左側(cè)的面積表示為的函數(shù).【思路點撥】此題是應(yīng)用型問題，要求函數(shù)的表達式，這樣就需準確揭示之間的變化關(guān)系.依題意，可知隨著直線的移動，點分別落在梯形的邊、及邊上，有三種情況，所以需要分類解答.【答案】【解析】作，為垂足，，為垂足，依題意，則有（1）當位于點的左側(cè)時，，由于（2）當位于點、之間時，由于（3）當位于點的右側(cè)時，由于==綜上有【總結(jié)升華】（1）由實際問題決定的分段函數(shù)，要寫出它的解析式，就是根據(jù)實際問題需要分成幾類，就分成幾段，求解析式時，先分段分別求出它的解析式，在綜合在一起即可.PDPDCAB舉一反三：【變式1】如圖，在邊長為4的正方形的邊上有一點，沿著邊線由（起點）向（終點）運動.設(shè)點運動的路程為，的面積為.（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出的圖象.【解析】（1）（2）當點在邊上運動時，即當時，當點在邊上運動時，即當時，當點在邊上運動時，即當時，，故為分段函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性【學習目標】1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義；2.會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；3．學會運用單調(diào)性的定義求函數(shù)的最大（?。┲?。【要點梳理】要點一、函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間上是增函數(shù).如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間上是減函數(shù).要點詮釋：(1)屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；(2)任意兩個自變量且；(3)都有；(4)圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).要點詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.(2)已知解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？3.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；(4)得出結(jié)論.4.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷。(2)圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性。(3)直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間。(4)記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).5．復合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性。一般需要先求定義域，再把復雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復合法則，復合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)。列表如下：增增增增減減減增減減減增復合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減。因此判斷復合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)。要點詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性。（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)。6．利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值。常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值。（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值。若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值。（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是。（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是。7．利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解。（1）在上恒成立在上的最大值。（2）在上恒成立在上的最小值。實際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題。要點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).2．一次函數(shù)當k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).3．反比例函數(shù)當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.4．二次函數(shù)若a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．【典型例題】類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性356705例1】例1．已知：函數(shù)（1）討論的單調(diào)性.（2）試作出的圖像.【思路點撥】本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.【解析】（1）設(shè)x1，x2是實數(shù)集上的任意實數(shù)，且x1<x2，則①當時，x1-x2<0，1<x1x2，故，即f(x1)-f(x2)<0∴x1<x2時有f(x1)<f(x2)上是增函數(shù).②當-1<x1<x2<0∴x1-x2<0，0<x1x2<1∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x1<x2時有f(x1)>f(x2)上是減函數(shù).同理：函數(shù)是減函數(shù),函數(shù)是增函數(shù).（2）函數(shù)的圖象如下【總結(jié)升華】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大?。?作差)（3）如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)■舉一反三：【變式1】討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.【解析】設(shè)，則，.，即.在上單調(diào)遞減.同理可得在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減.類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(1)y=x2-3|x|+2；(2)【思路點撥】對進行討論，把絕對值和根號去掉，畫出函數(shù)圖象?！敬鸢浮浚?）f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.（2）f(x)在上遞增.【解析】(1)由圖象對稱性，畫出草圖∴f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.(2)∴圖象為∴f(x)在上遞增.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|x+1|；(2)(3)；（4）y=|x2-2x-3|.【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；（2）上為減函數(shù)；（3）單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞)；（4）單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）.【解析】(1)畫出函數(shù)圖象，∴函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；(2)定義域為，其中u=2x-1為增函數(shù)，在(-∞，0)與(0，+∞)為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；(3)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞).【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性356705例3】（4）先畫出y=x2-2x-3，然后把軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，就得到了所求函數(shù)的圖象，如下圖所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）.【總結(jié)升華】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān).（3）復合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復合函數(shù)為減函數(shù).例3.已知函數(shù)的定義域為，且對任意的、均有，且對任意的，都有.（1）試說明：函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)；（2）試求函數(shù)在（且）上的值域.【思路點撥】（1）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設(shè)條件；（2）由（1）的結(jié)論可知、分別是函數(shù)在上的最大值與最小值，故求出與就可得所求的值域.【答案】（1）