2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．觀察下面數(shù)陣，則該數(shù)陣中第9行，從左往右數(shù)的第20個(gè)數(shù)是（

）A．545 B．547 C．549 D．551【答案】C【解析】觀察數(shù)陣可得出數(shù)陣從左到右從上到下順序是正奇數(shù)順序排列，要求出某一個(gè)位置的數(shù)，只要求出這個(gè)位置是第幾個(gè)奇數(shù)即可，而每一行有個(gè)數(shù)，可求出前行共有個(gè)數(shù)，根據(jù)以上特征，即可求解.【詳解】由題意可得該數(shù)陣中第行有個(gè)數(shù)，所以前行共有個(gè)數(shù)，所以前8行共255個(gè)數(shù).因?yàn)樵摂?shù)陣中的數(shù)依次相連成等差數(shù)列，所以該數(shù)陣中第9行，從左往右數(shù)的第20個(gè)數(shù)是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)陣為背景，考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和，認(rèn)真審題，注意觀察找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．52 B．51 C．50 D．49【答案】A【分析】由題判斷出函數(shù)為等差數(shù)列，即可求出.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：A．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（

）A．398 B．388C．189 D．199【答案】C【分析】數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，由是和的等比中項(xiàng)，可得，解得即可得出．【詳解】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項(xiàng)，，化為，．所以，則．故選：C．4．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，∴．∵，∴，∴公差．故選：D5．已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到的通項(xiàng)公式，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.6．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用在點(diǎn)處的切線方程為可得然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率即可.【詳解】因?yàn)椋裕智€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，所以，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為4．故選：A.7．用數(shù)學(xué)歸納法證明下列等式：．要驗(yàn)證當(dāng)時(shí)等式成立，其左邊的式子應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意直接代入當(dāng)n=1時(shí)，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，左邊故選：C8．求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】可根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的極大值與極小值，再根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取到極大值,所以當(dāng)時(shí),取到極小值,所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3所以C選項(xiàng)是正確的【點(diǎn)睛】三次函數(shù)問(wèn)題一般通過(guò)求導(dǎo)解決函數(shù)的增減性問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題．9．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求解，轉(zhuǎn)化為或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，列出不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值為，由方程可化為，解得或，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)的判定及應(yīng)用，此類(lèi)問(wèn)題的解答中通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)點(diǎn)圖象列出相應(yīng)的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷．【詳解】由圖象知，遞增，但函數(shù)值的變化量隨著的增大而減少，即圖象的切線斜率隨著的增大而減小，導(dǎo)函數(shù)是遞減的，因此．故選：A．11．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，由，可得，解得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.12．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，及x=0時(shí)，y=0，即可求解．【詳解】函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為，令y′=0，得x=，時(shí)，y′＜0，時(shí)，y′＞0，時(shí)，y′＜0．∴函數(shù)在（﹣），（）遞減，在（）遞增．且x=0時(shí)，y=0，排除B，x=-1時(shí)，y=0，x=-2時(shí)，y>0,排除C，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象問(wèn)題，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題，二、填空題13．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》有“分錢(qián)問(wèn)題”如下：“今有人與錢(qián)，初一人與三錢(qián)，次一人與四錢(qián)，次一人與五錢(qián)，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢(qián)，與訖，還數(shù)聚與均分之，人得一百錢(qián)，問(wèn)人幾何？”則分錢(qián)問(wèn)題中的人數(shù)為_(kāi)_______．【答案】195【解析】根據(jù)題意列出關(guān)系式求解即可.【詳解】解：依題意得，初次分錢(qián)時(shí)，每人所得錢(qián)數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，設(shè)人數(shù)為，則總錢(qián)數(shù)為，平均分時(shí)每人得100，則總錢(qián)數(shù)為，可得，解得：，即分錢(qián)問(wèn)題中的人數(shù)為195．故答案為：195.14．在與之間插入個(gè)數(shù)，組成等比數(shù)列，若所有項(xiàng)的和為，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等求和公式可得出關(guān)于、的方程組，即可解得的值，由此可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)此等比數(shù)列的公比為，則，故此數(shù)列共有項(xiàng).故答案為：.15．已知是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線是曲線在處的切線，令，是的導(dǎo)函數(shù)，則________.【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，故先求出，然后利用求出的值.【詳解】由圖可知，曲線在處切線的斜率等于，∴.∵，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，較簡(jiǎn)單.解答時(shí)牢記曲線在某點(diǎn)處的切線斜率等于.16．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____________.【答案】1【分析】由知為奇函數(shù),求導(dǎo)分析為增函數(shù),故利用可以算得的關(guān)系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.【詳解】,故為奇函數(shù),又,所以為增函數(shù).又,故,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的運(yùn)用以及基本不等式的用法,屬于中等題型.三、解答題17．已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為.【解析】（1）利用等差數(shù)列的定義，結(jié)合，把bn+1和bn用an+1和an表示后整理即可得到結(jié)論；（2）求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求，然后利用數(shù)列的函數(shù)特性可求其最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，且，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，則.設(shè)，則在區(qū)間和上為減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為-1，當(dāng)時(shí)，取得最大值為3.故數(shù)列中的最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為.18．已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意，都有．等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）由已知條件可得，根據(jù)可得數(shù)列是等差數(shù)列，故可得其通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求出公比繼而可求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得前項(xiàng)和，分為為奇數(shù)和為偶數(shù)，利用并項(xiàng)求和可求得的前項(xiàng)和，進(jìn)而可得結(jié)果.試題解析：（1）由得，……………①當(dāng)時(shí)，，………………②由①－②得，，即，整理得，∵，∴，由已知得，當(dāng)時(shí)，，即，解得．故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以．故，即，解得．故．（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有項(xiàng)．則；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)．則．所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類(lèi)似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類(lèi)似于，錯(cuò)位相減法類(lèi)似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.19．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－1，.（1）求等比數(shù)列{an}的公比q；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及已知條件，解方程即可求出結(jié)果；（2）求出，即可判斷數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝，.（2）由（1），得an＝(－1)×，所以，所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故＝＝.20．已知拋物線上一點(diǎn)，求：(1)點(diǎn)P處的切線的斜率；(2)點(diǎn)P處的切線方程．【答案】(1)0(2)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)代入該點(diǎn)坐標(biāo)即可求出斜率，再寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可得該點(diǎn)切線方程.【詳解】（1）將點(diǎn)的代入，所以點(diǎn)P處的切線的斜率為0；（2）由（1）可知，點(diǎn)P處的切線的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)P處的切線為，得.21．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．22．設(shè)函數(shù).（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（I）函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）.【詳解】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)分類(lèi)討論，當(dāng)a≥1時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，取，.試題解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+當(dāng)x∈（-∞，-1-）時(shí)，f’(x)<0；當(dāng)x∈（-1-，-1+）時(shí)，f’(x)>0；當(dāng)x∈（-1+，+∞）時(shí)，f’(x)<0所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）單調(diào)遞減，在（-1-，-1+）單調(diào)遞增(2)f(x)=(1+x)（1-x）ex當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=（1-x）ex，h’(x)=-xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)單調(diào)