第二章-隨機(jī)過(guò)程分析

其次章隨機(jī)過(guò)程主要內(nèi)容1、隨機(jī)過(guò)程的基本概念2、隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性3、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程4、隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性5、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)6、隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布和相互關(guān)函數(shù)7、正態(tài)隨機(jī)過(guò)程§2.1隨機(jī)過(guò)程的概念

2.1.1隨機(jī)過(guò)程的定義

例2.1設(shè)有n臺(tái)性能完全相同的雷達(dá)接收機(jī)，它們工作的條件也完全相同，圖2－1是運(yùn)用n臺(tái)示波器記錄的各接收機(jī)輸出的噪聲電壓。它們是n條噪聲電壓－時(shí)間的函數(shù)。從中可看出，在相同條件下，雷達(dá)接收機(jī)輸出的噪聲波形是不相同的。圖2-1-1噪聲電壓的輸出波形定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為，假如對(duì)于每一個(gè)樣本，總可以依某種規(guī)則確定一時(shí)間t的函數(shù)(T是時(shí)間t的變更范圍)與之對(duì)應(yīng)。于是，對(duì)于全部的來(lái)說(shuō)，就得到一族時(shí)間t的函數(shù)，稱(chēng)此族時(shí)間的函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程（也稱(chēng)隨機(jī)信號(hào)）X，而族中的每一個(gè)函數(shù)稱(chēng)為該隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。注：隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合。圖2-1-2隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的集合

定義2假如對(duì)于每一固定的，都是隨機(jī)變量，則稱(chēng)是隨機(jī)過(guò)程。

注：樣本函數(shù)隨機(jī)變量。

圖2-1-3隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量的集合

因此，隨機(jī)過(guò)程有兩種基本的表示方式：1、樣本函數(shù)集合表示(定義1)

2、隨機(jī)變量集合表示(定義2)

具有以下四種含義：1、若和都是變量，則隨機(jī)過(guò)程是一族時(shí)間函數(shù)，即隨機(jī)信號(hào)；2、若是變量，而是固定值，則隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，即樣本函數(shù)；3、若是固定的，而是變量，則隨機(jī)過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)變量，即樣本隨機(jī)變量；4、若和都是固定值，則隨機(jī)變量是一個(gè)確定值，即樣本值。2.1.2、隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)§2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征主要有：1、概率分布：概率密度函數(shù)，概率分布函數(shù)；2、數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，均方值，方差，自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)；3、特征函數(shù)：統(tǒng)計(jì)特征也可分為：1、幅值域描述:數(shù)學(xué)期望、方均值、方差、概率密度函數(shù)等；2、時(shí)間域描述:自相關(guān)函數(shù)、相互關(guān)函數(shù)；3、頻率域描述:自功率譜密度函數(shù)、互功率譜密度函數(shù)；4、變換域描述：特征函數(shù)。2.2.1、隨機(jī)過(guò)程的概率分布隨機(jī)過(guò)程，在每一固定時(shí)刻，和都是隨機(jī)變量。隨機(jī)事務(wù)：，

發(fā)生概率：，1、一維分布函數(shù)與和都有干脆的關(guān)系，是和的二元函數(shù)，記為：(2.2.1)被稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)。2、一維概率密度函數(shù)假如存在二元函數(shù)，使(2.2.2)成立,則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù),是和的二元函數(shù)，且滿足(2.2.3)注：一維概率分布描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性。3、二維分布函數(shù)與，，和都有干脆的關(guān)系，是，，和的四元函數(shù)，記為：(2.2.4)被稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的二維分布函數(shù)。4、二維概率密度函數(shù)假如存在四元函數(shù)，使(2.2.5)成立,則稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)，是，，和的四元函數(shù)，且滿足(2.2.6)注：1、二維概率分布反映了隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)特性；2、隨機(jī)過(guò)程的二維概率分布與多維隨機(jī)變量的二維概率分布所描述的物理概念是不相同的。隨機(jī)過(guò)程的二維概率分布描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的關(guān)系，二維隨機(jī)變量的二維概率分布則描述不同變量之間的關(guān)系。5、n維分布函數(shù)和概率密度函數(shù)例2.2探討貝努里隨機(jī)過(guò)程的一、二維概率特性。解：貝努里隨機(jī)過(guò)程，在時(shí)刻，獨(dú)立地視察某個(gè)事務(wù)發(fā)生與否，建立事務(wù)的指示函數(shù)且有概率(2.2.7)設(shè)，單位步函數(shù)（階躍函數(shù)）貝努里隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布函數(shù)(2.2.8)一維概率密度函數(shù)(2.2.9)貝努里隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于不同的時(shí)刻，其隨機(jī)變量是彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。因此，可得(2.2.10)貝努里隨機(jī)過(guò)程的二維概率分布函數(shù)是

(2.2.11)其中，是二維單位階躍函數(shù)。(2.2.12)那么二維概率密度函數(shù)

(2.2.13)式中，(2.2.14)2.2.2、隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)在事實(shí)上是很難獲得的，甚至是不行能的。隨機(jī)過(guò)程（信號(hào)）的特征（或參數(shù)）在實(shí)際工作中運(yùn)用得特別廣泛。(1)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程由數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)具體描述。(2)困難背景下目標(biāo)識(shí)別、跟蹤所依靠的有效依據(jù)仍舊是目標(biāo)在時(shí)間、空間的特征。圖2-2-1云層背景下的飛機(jī)

由隨機(jī)過(guò)程的定義2，可知隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量集合：1、數(shù)學(xué)期望(均值函數(shù))隨機(jī)過(guò)程在隨意時(shí)刻的取值是一隨機(jī)變量，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望或，即(2.2.15)數(shù)學(xué)期望的取值與時(shí)刻是有干脆聯(lián)系的，是時(shí)刻的函數(shù)。它是該隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的搖擺中心。圖2-2-2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望2、均方值隨機(jī)過(guò)程在隨意時(shí)刻的取值是一隨機(jī)變量，隨機(jī)過(guò)程的均方值或，即(2.2.16)均方值的取值與時(shí)刻是有干脆聯(lián)系的，是時(shí)刻的函數(shù)。3、方差隨機(jī)過(guò)程在隨意時(shí)刻的取值是一隨機(jī)變量，稱(chēng)隨機(jī)變量的二階中心矩為隨機(jī)過(guò)程的方差。(2.2.17)圖2-2-3隨機(jī)過(guò)程的均方值、方差方差、均方值和均值有數(shù)學(xué)關(guān)系式：(2.2.18)方差描述在該時(shí)刻對(duì)其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。數(shù)學(xué)期望、均方值和均方差只能描述隨機(jī)過(guò)程孤立的時(shí)間點(diǎn)上的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過(guò)程孤立的時(shí)間點(diǎn)上的統(tǒng)計(jì)特性不能反映隨機(jī)過(guò)程的起伏程度。圖2-2-4隨機(jī)過(guò)程的起伏程度圖2-2-4隨機(jī)過(guò)程的起伏程度接受兩時(shí)刻或更多時(shí)刻狀態(tài)的相關(guān)性去描述隨機(jī)過(guò)程的起伏程度。4、自相關(guān)函數(shù)設(shè)和分別是隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻和的狀態(tài)，稱(chēng)它們的二階原點(diǎn)混合矩為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，記為(2.2.19)

自相關(guān)函數(shù)反映了隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的相關(guān)程度。5、自協(xié)方差函數(shù)設(shè)和分別是隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻和的狀態(tài)，稱(chēng)它們的二階中心混合矩為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，記為(2.2.20)

自協(xié)方差函數(shù)反映了隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)相對(duì)于數(shù)學(xué)均值之間的相關(guān)程度。自協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)與數(shù)學(xué)均值有數(shù)學(xué)關(guān)系式：(2.2.20)自相關(guān)系數(shù)(2.2.21)(2.2.22)在，。隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)不相關(guān)假如對(duì)于隨意的，都有，則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程在隨意兩個(gè)時(shí)刻是不相關(guān)的。例2.3若隨機(jī)過(guò)程為式中，A為在[0,1]上勻整分布的隨變量，求的均值和相關(guān)函數(shù)。解已知A的概率密度函數(shù)為則隨機(jī)過(guò)程的均值隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)例2.4求隨機(jī)相位正弦波的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，為常數(shù)，是在區(qū)間上勻整分布的隨機(jī)變量。解依據(jù)題意有那么有

因?yàn)?在區(qū)間勻整分布)所以則方差那么，自相關(guān)函數(shù)例2.5試證明:(1)若隨機(jī)過(guò)程加上確定的時(shí)間函數(shù)，則協(xié)方差不變。(2)若隨機(jī)過(guò)程乘以非隨機(jī)過(guò)程因子，則協(xié)方差函數(shù)乘以積。證：(1)設(shè)，即需證。因?yàn)槎行幕S機(jī)函數(shù)為

所以故得證。(2)設(shè)，即要證因?yàn)槎行幕S機(jī)函數(shù)為所以故得證。例2.6求貝努里隨機(jī)過(guò)程的均值、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)系數(shù)。解貝努里隨機(jī)過(guò)程的均值

在不同時(shí)刻，信號(hào)取值獨(dú)立，則有

而在同一時(shí)刻，信號(hào)取值不獨(dú)立，即取相同的值，則有

因此，自相關(guān)函數(shù)為貝努里隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)貝努里隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)圖2-2-4貝努里隨機(jī)過(guò)程的均值，相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)(a)均值(b)相關(guān)與協(xié)方差函數(shù)(c)自相關(guān)系數(shù)§2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其性質(zhì)寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其性質(zhì)圖2-3-1初相角隨機(jī)的正弦信號(hào)

圖2-3-2幅度隨機(jī)的正弦信號(hào)

圖2-3-3頻率隨機(jī)的正弦信號(hào)

圖2-3-4頻率、相位和幅度隨機(jī)的正弦信號(hào)

圖2-3-5云層背景下的飛機(jī)

2.3.1隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(如概率密度函數(shù)、相關(guān)函數(shù))，部分或全部在視察點(diǎn)或視察點(diǎn)組的位置變更時(shí)，保持不變或變更。在隨機(jī)信號(hào)理論中就稱(chēng)該隨機(jī)信號(hào)的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性具有平穩(wěn)或非平穩(wěn)性。2.3.2隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)平穩(wěn)性有多種狀況：(1)對(duì)整個(gè)視察點(diǎn)位置變更的平穩(wěn)性；(2)對(duì)視察點(diǎn)中時(shí)間位置變更的時(shí)間平穩(wěn)性；(3)對(duì)視察點(diǎn)空間位置變更的平穩(wěn)性；(4)對(duì)視察點(diǎn)中空間位置的部分坐標(biāo)變更的平穩(wěn)性。2.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的分類(lèi)2.3.4嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1、定義設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，若它的維概率密度函數(shù)（或維分布函數(shù)）不隨時(shí)間起點(diǎn)選擇的不同而變更，即對(duì)于任何的和，過(guò)程的維概率密度函數(shù)（2.3.1）則稱(chēng)為嚴(yán)(格)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱(chēng)窄平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或狹義平穩(wěn)過(guò)程。2、實(shí)際的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程

一個(gè)工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的接收機(jī)輸出的噪聲電壓是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。噪聲電壓實(shí)質(zhì)上反映電子熱運(yùn)動(dòng)的猛烈程度。電子熱運(yùn)動(dòng)程度則取決于接收機(jī)的工作溫度T；一旦接收機(jī)穩(wěn)定工作，其工作溫度也相對(duì)穩(wěn)定，則噪聲電壓嚴(yán)格平穩(wěn)。

確定隨機(jī)信號(hào)的主要物理?xiàng)l件不變3、主要性質(zhì)(1)、若是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的一維概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)。證明令，則一維概率密度函數(shù)

得證。(2)、若是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的均值、均方值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。證明：依據(jù)題意有(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)(2)、若是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則它的均值、均方值和方差都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。證明：依據(jù)題意有嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的全部樣本曲線都是在同一水平直線四周隨機(jī)地波動(dòng)。圖2-3-6嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(3)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)只與兩個(gè)時(shí)刻和的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。

證明：令，則隨機(jī)過(guò)程的二維概率密度函數(shù)(2.3.5)式中，。(4)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與兩個(gè)時(shí)刻和的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。

證明：依據(jù)題意，則隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)

(2.3.6)式中，。例2.7設(shè)有隨機(jī)過(guò)程隨意時(shí)刻的隨機(jī)變量是高斯的，有概率密度函數(shù)

若其隨意視察時(shí)刻組的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，試推斷是否為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。解：在隨意n個(gè)時(shí)刻，隨機(jī)過(guò)程的n個(gè)隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的，即

明顯，的隨意n階概率密度函數(shù)對(duì)視察點(diǎn)時(shí)刻組是平穩(wěn)的。所以是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。例2.8設(shè)有隨機(jī)過(guò)程，式中A是高斯隨機(jī)變量，為確定的時(shí)間函數(shù)。試推斷是否為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。解：已知A的概率密度函數(shù)在固定的時(shí)刻，為常數(shù)。是隨機(jī)變量A的線性變更，仍為高斯分布。當(dāng)變更時(shí)，的數(shù)學(xué)期望和方差均與時(shí)間有關(guān)。因此，一維概率密度函數(shù)也與時(shí)間有關(guān)，不是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。2.3.5寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程探討隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性是很困難的；隨機(jī)過(guò)程一、二階矩函數(shù)在確定程度上描述了隨機(jī)過(guò)程的一些重要特性。(1)噪聲電壓是一平穩(wěn)過(guò)程，那么一、二階矩函數(shù)，就是噪聲平均功率的直流重量、溝通重量、總平均功率等參數(shù)。(2)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程由數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)具體描述。1定義若隨機(jī)過(guò)程滿足(2.3.7)

則稱(chēng)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或廣義平穩(wěn)過(guò)程。2、主要性質(zhì)隨機(jī)信號(hào)的嚴(yán)格平穩(wěn)性與廣義平穩(wěn)性之間有關(guān)系嚴(yán)格平穩(wěn)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程(2)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)卷積共軛的，即

(2.3.8)

證明必定是不確定是(3)隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)系數(shù)也是平穩(wěn)的，即(2.3.9)(2.3.10)例2-9推斷以下三個(gè)隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)？式中，是常數(shù)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程在上勻整分布。

相位振幅振幅、相位、頻率解：(1)當(dāng)幅度為常數(shù)，在上勻整分布時(shí)，數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分別為

因此，X(t)為廣義平穩(wěn)過(guò)程。(2)當(dāng)幅度為隨機(jī)變量，相位為常數(shù)時(shí)，那么每個(gè)樣本函數(shù)的幅度都是隨機(jī)變量A的一個(gè)可能取值，但它們同時(shí)到達(dá)零點(diǎn)或最大，均值和方差隨時(shí)間變更。因此它是一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。(3)當(dāng)幅度、相位和頻率都為隨機(jī)變量時(shí)，每個(gè)樣本函數(shù)的幅度、相位和頻率都可能不同。由于相互獨(dú)立，且在上勻整分布。X(t)的數(shù)學(xué)期望為

是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)。X(t)的自相關(guān)函數(shù)為也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與時(shí)間差有關(guān)的函數(shù)，是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。例2-10廣義平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)乘法調(diào)制器得到隨機(jī)信號(hào)，是確定常數(shù)，是在勻整分布的隨機(jī)相位，與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，試問(wèn)是否廣義平穩(wěn)。乘法調(diào)制器圖2-3-8調(diào)制器輸出信號(hào)特性解：調(diào)制器輸出為其均值為因?yàn)樵谏蟿蛘植迹逃兴暂敵龊瘮?shù)的自相關(guān)函數(shù)表示為Y(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)對(duì)視察時(shí)間是平穩(wěn)的，因此Y(t)是廣義平穩(wěn)的。例2-11設(shè)隨機(jī)過(guò)程式中，為常數(shù)；為隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為

試證：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程。證明：依據(jù)題意，過(guò)程X(t)的均值為而有所以過(guò)程X(t)的相關(guān)函數(shù)為因?yàn)橛兴员绢}得證?！?.4隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，在做各類(lèi)統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，理論上須要無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)。使得測(cè)試工作(集合平均)變得特別困難：(1)實(shí)際生產(chǎn)、生活中難以供應(yīng)如此多的樣本函數(shù)。(2)假如削減樣本函數(shù)的數(shù)量，而統(tǒng)計(jì)特征的精度就會(huì)受到影響。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程概念的引入，使得統(tǒng)計(jì)特性的測(cè)試可以選在便利測(cè)試時(shí)刻上進(jìn)行，且測(cè)試時(shí)刻的移動(dòng)不影響該統(tǒng)計(jì)特性。借助平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，能否找到一種簡(jiǎn)化的方法來(lái)代替原有的統(tǒng)計(jì)方法。(a)(b)圖2-4-1兩種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一個(gè)樣本沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)過(guò)程的整個(gè)狀態(tài)。任何一個(gè)樣本經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)過(guò)程的整個(gè)狀態(tài)。辛欽證明：在具備確定的條件下，對(duì)平穩(wěn)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)取時(shí)間平均(視察時(shí)間足夠長(zhǎng))，從概率意義上趨近于此過(guò)程的統(tǒng)計(jì)(集合)均值，即

例如：處于穩(wěn)態(tài)工作的n臺(tái)雷達(dá)接收機(jī)，其噪聲電壓X(t)的統(tǒng)計(jì)平均與一臺(tái)雷達(dá)接收機(jī)的時(shí)間平均x(t)。

2-4-2雷達(dá)接收機(jī)的統(tǒng)計(jì)平均和時(shí)間平均2-4-3雷達(dá)接收機(jī)的自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間自相關(guān)函數(shù)2.4.1各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的定義1、各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程的前提條件：隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程。2、各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程分為嚴(yán)(或狹義)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程和寬(或廣義)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。3、嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程定義假如一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)，它的各種時(shí)間平均(時(shí)間足夠長(zhǎng))，依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均，則稱(chēng)此隨機(jī)過(guò)程X(t)為嚴(yán)(或狹義)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，該隨機(jī)過(guò)程X(t)具有嚴(yán)(或狹義)各態(tài)歷經(jīng)性。4、寬(或廣義)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程(1)、隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均對(duì)隨機(jī)過(guò)程X(t)中隨意一條樣本函數(shù)x(t)沿整個(gè)時(shí)間軸的積分：分別稱(chēng)為X(t)的時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)函數(shù)。(2)、如依概率1成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。(2)、如依概率1成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。(3)、如依概率1成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。當(dāng)時(shí)，如該式也成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的均方值具有各態(tài)歷經(jīng)性(2)、如依概率1成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。(3)、如依概率1成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。當(dāng)時(shí)，如該式也成立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程的均方值具有各態(tài)歷經(jīng)性(4)、若的均值和自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱(chēng)是寬(或廣義)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。2.4.2各態(tài)歷經(jīng)性的實(shí)際意義1、隨機(jī)過(guò)程X(t)中隨意一樣本函數(shù)x(t)代表了該隨機(jī)過(guò)程，也就是各樣本函數(shù)具有完全相同的特性。圖2-4-2噪聲電壓的輸出波形2、接受隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替隨機(jī)過(guò)程的集合平均，給很多實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了極大的便利。圖2-4-3噪聲電壓的輸出波形3、遍歷過(guò)程X(t)的一、二階矩函數(shù)有明確的物理意義。若遍歷過(guò)程X(t)代表噪聲電壓(或電流)，則(1)、遍歷過(guò)程的時(shí)間平均是的直流重量。

2-4-4基本交流RLC電路電流(2)、遍歷過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)代表噪聲電壓消耗在單位電阻上的總平均功率。

2-4-4基本交流RLC電路電流(3)、遍歷過(guò)程的方差代表噪聲電壓消耗在單位電阻上的溝通平均功率。2-4-4基本交流RLC電路電流(4)、很多實(shí)際的信號(hào)，尤其無(wú)線電技術(shù)領(lǐng)域里遇到的各種平穩(wěn)的信號(hào)和噪聲，都是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。例2-12探討隨機(jī)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性。其中，為常數(shù)，是在上勻整分布的隨機(jī)變量。解：由例2-9知是平穩(wěn)過(guò)程，其數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分別為時(shí)間均值時(shí)間自相關(guān)函數(shù)可得：所以，隨機(jī)過(guò)程具有寬遍歷性。例2-13探討隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y的各態(tài)歷經(jīng)性，式中Y是方差不為零的隨機(jī)變量。圖2-4-5例2-13中X(t)解：隨機(jī)過(guò)程X(t)的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)分別為時(shí)間平均時(shí)間平均是一隨機(jī)變量，隨Y的取值不同而變更，所以故不是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程?！?.5平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)隨機(jī)過(guò)程的基本特征：數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)則成為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。

自相關(guān)函數(shù)供應(yīng)隨機(jī)過(guò)程各狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度，還是求取隨機(jī)過(guò)程功率譜以及從噪聲中提取信息的工具。1、實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)

證明：2、平穩(wěn)過(guò)程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點(diǎn)在處證明：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為非負(fù)值，有綻開(kāi)固有例如相位隨機(jī)正弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)2-5-1相位隨機(jī)正弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

3、周期平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，則它的周期與過(guò)程的周期相同，即若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，則稱(chēng)此為周期平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其中T為過(guò)程的周期。證明：得證。例如相位隨機(jī)正弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)2-5-2相位隨機(jī)正弦信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

4、若平穩(wěn)過(guò)程X(t)含有一個(gè)周期重量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個(gè)同周期的周期重量。

4、若平穩(wěn)過(guò)程X(t)含有一個(gè)周期重量，則自相關(guān)函數(shù)也含有一個(gè)同周期的周期重量。證明：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，式中為在內(nèi)勻整分布的隨機(jī)變量，為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。明顯，隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)ab2-5-3周期信號(hào)＋噪聲信號(hào)5、對(duì)任何不含周期重量的非周期平穩(wěn)過(guò)程均有證明：對(duì)于此類(lèi)非周期平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)增大時(shí)，隨機(jī)變量之間的相關(guān)性會(huì)減弱；當(dāng)?shù)臉O限的狀況下，兩者相互獨(dú)立，故有6、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必需滿足且對(duì)于全部的都成立。2-5-4自相關(guān)函數(shù)(a)(b)(c)(d)2-5-5非自相關(guān)函數(shù)相關(guān)系數(shù)：圖2-５-6自相關(guān)系數(shù)相關(guān)時(shí)間：圖2-5-7自相關(guān)時(shí)間相關(guān)性減弱不相關(guān)用平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)表示數(shù)字特征：(1).數(shù)學(xué)期望(2).均方值(3).方差(4).協(xié)方差圖2-5-8隨機(jī)過(guò)程數(shù)字特征平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的電路形式：延時(shí)積分平均電路圖2-5-9自相關(guān)儀例2-14、設(shè)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為求的均值、均方值、方差和自協(xié)函數(shù)方差。解：第六節(jié)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布和相互關(guān)函數(shù)探討了單個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。須要探討多個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。接收機(jī)輸入輸出信號(hào)＋噪聲圖2-6-1接收機(jī)輸入為信號(hào)與噪聲2.6.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布

兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程和的聯(lián)合事務(wù)其發(fā)生概率為設(shè)概率密度函數(shù)分別為和，定義此兩個(gè)隨機(jī)的維聯(lián)合分布函數(shù)為假如存在函數(shù)滿足：則稱(chēng)為此兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的維聯(lián)合概率密度函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程相互獨(dú)立：若隨機(jī)過(guò)程和滿足或則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程和相互獨(dú)立。聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程若隨機(jī)過(guò)程和的聯(lián)合概率分布滿足：或則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程和是聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)