高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-空間向量及其應(yīng)用

第節(jié)空向及應(yīng)考解1.空向量及其運(yùn).（）解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（）握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；（）握空間向量的數(shù)量積及其表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂.2.空向量的應(yīng)用（）解直線的方向向量與平面的法向量；（）用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；（）用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理（）用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng).命趨探立體幾何試題中，證明線面、面面的位置關(guān)系一般利用傳統(tǒng)方法（非向量法）證明，對于空間角和距離的計算既用統(tǒng)方法解答也可以用向量法解答而多數(shù)情況下向量法會更容易一些.預(yù)測在2015年考對本專題的考查會在解答題中以中檔題出現(xiàn)保持在分左.知點(diǎn)講一、空間向量及其加減運(yùn)算1.空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或.空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量

a

的起點(diǎn)是

A

，終點(diǎn)是，向量a也以記作AB，其模記為a或AB.2.零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向叫做零向量，記作

0

.當(dāng)有線段的起點(diǎn)

A

與終點(diǎn)

B

重合時，

.模為1的量稱為單位向量3.相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量空任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向.與向量

a

長度相等而方向相反的向量，稱為

a

的相反向量，記為

.4.空間向量的加法和減法運(yùn)算（）

OCOAOB，

.如圖8-152所示.

（）間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律a，二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1．?dāng)?shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)空向量的乘積稱向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)時，與量向相同；當(dāng)時向量與量方相反長度是a的度的倍2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配及結(jié)合律3.共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合些向量叫做共線向量或平行向量，

a

平行于

b

，記作

b

.4.共線向量定理對空間中任意兩個向量a，0，//b

的充要條件是存在實(shí)數(shù)使

b

.5.直線的方向向量如圖8-153所，

l

為經(jīng)過已知點(diǎn)

A

且平行于已知非零向量

a

的直線對間任意一點(diǎn)O

，點(diǎn)

P

在直線

l

上的充要條件是存在實(shí)數(shù)

t

，使

POA

①，其中向量

a

叫做直線

l的方向向量，在l取，式①可化為OPOAOA

②1①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)t，即點(diǎn)2OP1的點(diǎn)公式2

P

是線段

AB

的中點(diǎn)時，6.共面向量如圖8-154所，已知平面

與向量

a

，作

，如果直線

平行于平面

或在平面

內(nèi)，則說明向量

a

平行于平面

.平行于同一平面的向量，叫做共面向.

O

A圖8-1547.共面向量定理如果兩個向量，不線那向量向量面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對

,y

，使

xayb

.推論1）空間一點(diǎn)

P

位于平面

內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對

，使AB；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，x

，該式稱為空間平面

的向量表達(dá)式.（2）已知空間任意一點(diǎn)

O

和不共線的三點(diǎn)

A

，

B

，

，滿足向量關(guān)系式Oy

xy

的點(diǎn)

P

與點(diǎn)

A

，

B

，

共面反也成立三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間取一點(diǎn)，OA，OB，AOB叫向量，的角，記作a，常規(guī)定bb互相垂直，記作.

a,

，如果

ab

2

，那么向量，2.數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，，acosa叫，b的量，記作即bcosa,b

.零向量與任何向量的數(shù)量積為，特別地，

a

.3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算：

（分配律）四、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用（）

,3

,aa23

；,,a123

；

2222

abb12233

；//ba1122

；abbb13

.（）

y,

y

，則

ABOBOA,yy,11

.這就是說個向量在直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)（）個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公.①已知

,23

，則

a

aa213

；bb1

2

2

3

2

；abb2233

；cosb

ab11233a22221212

；②已知

Ay,yz1122

，則

AB

x1

1

2

1

2

,或者式

其中與B兩間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公（）量

在向量

上的射影為

cosab

.（5）

n0是面M的個法向量，，CD是M內(nèi)兩條相直線，則

，由此可求出一個法向量（向及已知）.（）用空間向量證明線面平行：設(shè)

n

是平面的一個法向量，

l

為直線

l

的方向向量，證明

l

圖8-155所示）.已直線l（l面的向量，l

，則

l//

.（空間向量證明兩條異面直線垂直條面直線中各取一個方向向量

a

，只要證明

b

，即

.（）用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個法向量與直線的方向向量共.

nl圖（）明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直（10）空間角公式.①異面直線所成角公式：設(shè)

，

分別為異面直線

l1

，

l

上的方向向量，異直線所成角的大小，則

cos

b

b

.②線面角公式：設(shè)l為平面的線，為l方向向量，為面的向量，l

與所成的大小，則

sin

cosa

.③二面角公式：設(shè)

1

，

2

分別為平面，的法向量，二面角的大小為

則

,n1

或

n,n12

（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)中

cos

1n12

.（11）點(diǎn)

A

到平面

的距離為

d

，

，

為平面

的法向量，則

AB

.題歸及路示題型116思提

空間向量及其運(yùn)算空間向量的運(yùn)算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，可以類比平面向量的運(yùn)算法則.一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算例8.41如8-156所示已知空間四邊形O，MN分別OA的點(diǎn)，且

，

，

OC

，用

a

，

b

，

c

表示

MN

，則

MN

.

11bab.11bab.解析MNONOM

，ONOC21122

，變式1如8-157所，已知間四邊形

OABC

，其對角線為

OB

，

，

M

和

分別是對邊和BC的點(diǎn)G在線段MN上MGGN用向O表示向量OG，設(shè)yOBzOC，則,,111A.y,z3311.x,y,z36111.x,yz3311D.xyz63

的值分別是（）變式2如圖8-158所在面

O

中

OC

，

D

為

的中點(diǎn)，

E

為

AD

的中點(diǎn)，則

（用

a

，

b

，

c

表示）變式3在空四邊形ABCD中，接對角線,，BCD是正三角形，且為重心，則

AB

13AD22

的化簡結(jié)果為.變式4如圖8-159所，在平六面體

BCD11

中，

M

為

AC1

與

D1

的交點(diǎn)，若

，

，

，則下列向量中與

BM

相等的向量是（）

32321A..211.D.a22二、空間共線向量定理的應(yīng)用空間共線向量定理：/a利用此定理可解決立體幾何中的平行問.

.例8.42已

b

，

且

,b,c

不共面若

/n

，求y值.解析因為m/

且

，所以

n

，即

又因為

,bc

不共面，所以y

，解得

xy

二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算aa,bxyz122

；求模長時，可根據(jù)

a

ax21

21

1

；求空間向量夾角時，可先求其余弦值

cosa,b

b

.要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，

ab

,為銳角a

；

,為鈍角a

此，通常通過計算值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍例8.43已空間四邊形

ABCD

的每條邊和對角線的長都等于

，點(diǎn)

,F

分別是

BCAD的中點(diǎn)，

AE

的值為（）

111111A

1..24

2

D

34

a

解析依題意，點(diǎn)EF分是BCAD的點(diǎn)，如圖8-160所，AE

AC24

4

2

.故選

.變式1如所，已知平行面體

ABCD1111

中，ABDAB6011

，且

AAAB1

，則

AC1

變式2如所，設(shè)

,BC,D

是空間不共面的個點(diǎn)，且滿足

，AD

，

AD

，則

BCD

的形狀是（）AC.

鈍角三角形銳角三角形

.D.

直角三角形無法確定例8.44如8-163示

45

的二面角

的棱上有兩點(diǎn)

AB

C,D

分別在

內(nèi)，且ACAB，ACBDAB，則CD的度為分析求CD的度轉(zhuǎn)化為求空間向量CD模.

22解因

AB，故CDCAABCA

，設(shè)點(diǎn)

在

內(nèi)的射影為

H

，則

，

,

.故HAHAcos135

12

.故

CD，CD

2

.變式1已二面角

P分在面內(nèi)，P到距離為

到

的距離為

2

，則

P

兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）A2

.2

C3

D.4變式2在角坐標(biāo)系中，設(shè)

，沿

y

軸把坐標(biāo)平面折成

20

的二面角AB后，.6

的長為（）

C.23

D11例8.45如8-164所動

P

在棱長為的正體

ABCD1111

的對角線

1上，記

DP1DB1

.當(dāng)APC為角時，求的值范圍解由設(shè)可知，以

DA,DC,DD

為單位正交基底，建立如圖8-165所示的空間直角坐標(biāo)系

Dxyz

，則有

.由

，

1

，PADD

，DCDP

顯然APC不是角，所以APC為鈍角，

cosPA

PA

，價于PA

，即

，得

13

.因，的值范圍是,1.評利向量知識將

為鈍角轉(zhuǎn)化為

,PC

求解是本題的關(guān)鍵.變式1已正方體

ABCD1111

的棱長為1在線段BD上大時，1三棱錐的積（）.A.

11.D24189例8.46如8-166所示四錐

中側(cè)面

PAD

為正三角形底面

為正方形，側(cè)面

PAD

底面

，

M

為底面

內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足

MPMC

，則點(diǎn)

M

在正方形

內(nèi)的軌跡為（）解取AD的點(diǎn)，為軸垂直于的OE為軸，OPz軸，建立空間

222222直角坐標(biāo)系如圖8-167所.

M

，正方形的邊長為

，

P

32

a

，aC,2

，則

MC

x，MPx

2

y

2

2

，MC，得

ayx22

3a4

2

，即

axy2

.所以點(diǎn)

M

在正方形

ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段，且過D點(diǎn)和AB的點(diǎn)故.評本利用空間線面位置關(guān)系求解也很.由題意知空間內(nèi)與兩定點(diǎn)離相等的點(diǎn)均在線段中垂面內(nèi)，即

M

在線段

的中垂面內(nèi)又

M

為底面

內(nèi)一動點(diǎn)，則

M

的軌跡為兩平面的交線落在底面內(nèi)的部分，排除

、

D

.又

BC

，故排除

B

.故選

A

.變式1到互相垂直的異面直線距離相等的點(diǎn)過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是（）A

直線B橢拋線D.雙曲線變式2空點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個點(diǎn)到這個平面的距離知平面互相垂直

A到

的距離都是3，點(diǎn)P是上的動點(diǎn)，滿足P到距離是點(diǎn)P到距離的2倍則P

的軌跡上的點(diǎn)到

的距離的最小值是（）A.33.33.63D題型117思提

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距.因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡.用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一

a,0,cN11a,0,cN11111些點(diǎn)的坐標(biāo)而求出向量的坐進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算一種是基底法先擇基向除要求不共面外要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn).一、證明三點(diǎn)共線（如A，B，三點(diǎn)共線）的方法先構(gòu)造共起點(diǎn)的向量，，后證明存在非零實(shí)數(shù)使得

.例8.47如8-168所知長方體

ABCD1111

中

M

為

1

的中點(diǎn)

在

上，且

:NC

，點(diǎn)

E

為

BM

的中點(diǎn)求：

1

，

E

，

三點(diǎn)共線.解析

以為標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角標(biāo)系Dxyz，圖8-169所不妨，

DD1

2

ba,,0E,

，，

a,33

，則

AE

a3c2a2b,，N,,，為N，A，，三2333點(diǎn)共線變式1在方體

ABCD1111

中，

E

,

分別為棱

1

和

CC1

的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線

D，EF，都交的直線（）1A

不存在B有只有兩條且只有三條D有數(shù)條變式2如8-170所示在空間四邊形ABCD中M，N分是AB和CD的點(diǎn)，P為線段

的中點(diǎn)，

Q

為

的重心求：

APQ

三點(diǎn)共.

二、證明多點(diǎn)共面的方法要證明多點(diǎn)（如

A

，

B

，

，

D

）共面，可使用以下方法解題先作出從同一點(diǎn)出發(fā)的三個向量（如

AB

，

，

AD

后明存在兩個實(shí)數(shù)

xy

，使得

ADyAC

.例如所，平面平面，邊形ABEF與ABCD都直角梯形，

BADFAB90

，

BC//

1，/2

.求證：

C,DE

四邊共解由面ABEF面，AF，面ABEF

平面AB，得

AF

平面

ABCD

，以

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

Axyz

，如圖示.設(shè)AB，BC，，則B

，

，

D

,0

，

c

，F(xiàn)c，所以/

，則CEDF

確定一個平面，即

C,DE

四點(diǎn)共面.變式

如圖8-173所，已知平行六面體

ABCD1111

，

,GH

分別是棱AD,DC,1111

的中點(diǎn)求證：

,GH

四點(diǎn)共面.

三、證明直線和直線平行的方法將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共設(shè)

ab

是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為

,b

，則

/a

.例8.49如8-174所正體

ABCD中是面直線AD與AC的111公垂線段.求證：

MN//BD1

.解析以

D

為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz

，如圖8-175所示設(shè)方體的長為a，則,01

.設(shè)

MN,z

，由

是異面直線

D1

與

AC

的公垂線段，得

MNA1

，AC，MND故，，MN

，

令，y，所以

，即BD//MN

.因此

MN//BD1

.四、證明直線和平面平行的方法（共向量定.設(shè)

a

為平面

內(nèi)不共線的兩個向量存兩個實(shí)數(shù)

x,y

，使得

lxa則l//

.（）化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平.（）化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用.例8.50如8-176所，在直四棱柱

BCD11

中，已知DC221

，

DC

，

AB/DC

，

E

是

的中點(diǎn)求：

//1

平面

BD1

.解因

DDE1

，

DD1

，

E

是

的中點(diǎn)，

12

DCAB

，所以DAAB.因為E平ABDD//11

，所以

//1

平面

BD1

.評利空間向量證明線面平行知直線的方向向量為只在平面內(nèi)找到一條直線的方向向量為，題轉(zhuǎn)化為證

即可.變式1如8-177所知是正方形ABCD所平面外一點(diǎn)M分是PA、BD上點(diǎn)，且PMMA:

.求證：直線平PBC.

11五、證明平面與平面平行的方法（）明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平.（）化為證兩平面的法向量平行（常用此方法例8.51如8-178所示體

ABCD中M,分是CBC,C1111111的中點(diǎn)求：平面

MNP/

平面

BD1

.解析解一：以

1

為坐標(biāo)原點(diǎn)，

11

為

軸，

1

為

軸，

D1

為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系

1

，如圖8-179所.設(shè)方體的長為a，

，

aa0,a,，P0,,0，,02

，AMN

aa,0,AD，所以MN//AD，即/A22

，

，

1,0BD22

，所以

//

，即

PNBD

.因為MNN

，

ABDD1

，所以平面

MNP/

平面

BD1

.解法二：設(shè)平面

MNP

的法向量為

,z1

，由

MN

，

PN

，

1111211112xz得ax

，令

z1

，得

11z1

，所以

.設(shè)平面

1

的法向量為

z

，由

D

，

BD

，得22

，令z，2z2

，所以

.因為

n/

，所以平面

//

平面

1

.變式1如8-180所示在平行六面體A,DC的中點(diǎn)111

BC中,11

分別是求證:平面

EFG//

平面

ABC1

.六、證明直線與直線垂直的方法設(shè)直線

ll1

2

的方向向量為,b，則

.這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方.例8.52如8-181所，四棱錐

BCDE

中，底面

為矩形，側(cè)面

ABC

底面

，

，

CD2

，

.求證：

.分平

平面

，在平面

內(nèi)作

AOBC

平面

，以點(diǎn)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo).解作

AOBC

，垂足為

O

，則

AO

平面

，且

O

為

的中點(diǎn)，以

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖8-182所示直角坐標(biāo)系xyz.設(shè)

已條件知

DAD1,2,.因為CE，以AD。AD評：m。變?nèi)鐖D所，已知空間四邊形ABCD每條邊和對角線長都等于.MN分別為邊，CD中.求證：MN為和CD的公垂線七證明直線與平面垂直的方法(1)證明直線和平面內(nèi)的兩天相交線垂(2)證明直線和平面內(nèi)的任一直線(3)轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向共.例如所,在直四棱柱ACD中已知∥111=.A

B⊥AD.求：⊥平面.1解析

如圖8-185所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系

22D,DB(1,1,0),C(0,2,0),,1所以,,)D1

(,因0以1CD1

D因為1

DBDD，DB面D,所以BC平面D.11變1正棱錐的條棱OBOC兩垂直長均為2分是AB，的中點(diǎn)是的點(diǎn)的個平面與側(cè)棱OA,或延長線分別交于AB,，1113OA=。求證：面OAH.1變2如所在四棱錐⊥底面⊥ADACCD,ABC=60°,PA=AB=BC是PC的中.明⊥面八證明平面和平面垂直的方法(1)轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互垂直(2)轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直垂直于另一個平例如所，在正方體ACD中，，F(xiàn)分別是BB，的點(diǎn)，求11證：平面⊥平面A。11解如所，以D為坐原,建立空間直角坐標(biāo)系D,令,則1(0,0,0),D(0,0,2),AA））11

設(shè)nx,),分為平面與面的向量，112211則nDA又DA(2,0,0),DE11則

x1x1

令，得n(0,-11同理可得。以n。平面DEA⊥面221變?nèi)缢?，已知四棱錐底面為直角梯形∥，DAB=90°，⊥底面ABCD且=AD==求：平面PAD⊥平面。九．求兩異面直線所成角的方法設(shè)兩異面直線a和b的向量為a和，用求角余弦公式可求得和的夾角，由π于兩向量所成角的范圍是[0,π],而兩異面直所成角的范圍，]。所以2|ao||=。|b|例8.55如圖所示，已知點(diǎn)P在方體BCD的對角線上，11∠PDA=60°，求所成角的大小。分從PDA=60°入手，確定點(diǎn)的坐標(biāo)與其相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積來

==就是異面直線所成角的余弦值。解：如圖所，以為點(diǎn)為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則AC(0,1,0(0,1,1

，(0,0,1)。1連接B，平面中延長DP交于H，設(shè)DHm,,1)(0)11由已知,DADHDA

1，即DA|

,1(,),可11

2

22=，得m=，以DH,,1)22因為cos,

(

22222

22所以DH,CC=45°，即求DPCC所成角的大小為°11變1已正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等E是SB的點(diǎn)，則AE與SD所角余弦值（）132A.BCD.333變2如8-192所三形正方形ABDE有公共邊AB角C-AB-D的余弦值為

33

，，分是ACBC的點(diǎn)，則和AN所角的余弦值等于。變3如所，在四棱錐P-ABCD中PA平面，底面ABCD是形，，=60，若＝，求PBAC所角余弦值。

十．求直線與平面所成角的方法（１）先作出該角，再利用求角余弦公式來求。（２）改求直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角，如圖８－１９４所示，設(shè)直l的方向向量為l，面α的法向量為，線l和面α所成角θ，,1

2

或,1

，因為的取值范圍是[0,]，以2

n1

|ln|1|l||n1

。例５６如圖８－１９５所示，四棱錐S-ABCD中底面為平行四邊形，側(cè)面⊥面，已知∠ABC＝４５°，＝，＝２＝＝，直線SD與面SAB所成角的正弦值。解如所，作SO垂足為O，接，側(cè)面面，得底面，由，得OAOB由∠ABC=45°，得△ABO為腰直角三角形，OA建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則(B(0,2,0),C(0,2,0),(2,，DS=-2,2SA2,0,2,，由0,得

211211

令2，得n2)，1設(shè)直線SD與面所角θ，DSn=則cosDS,n|DS||n11所以直線SD與面所角的正弦值為

2211

變1如所，在四棱錐P-ABCD中⊥底面ABCD底面ABCD為方形，PD，，分別的點(diǎn)，求與面DEF所角的正弦值。變2如所，在四棱錐P-ABCD中底面是形PA⊥底面ABCD，=4,AB=2,以AC的點(diǎn)O為球心，以為徑的球面交PD于M求直線CD與平面ACM所角的正弦值。變3,如所，四棱錐S-ABCD中∥CD，⊥CD，側(cè)面等邊三角形，=，CD==1.求AB與面所角的正弦值十一、求平面與平面所成角的方法（1在平面α內(nèi)al平β內(nèi)bl（l是線l方向向量向圖所示，則二面角α-lβ的面角的余弦值為

a|a|

。

設(shè)是面α-l-β的兩個半平面的法向量其向一個指向二面角內(nèi)側(cè)另一個指12向二面角的外側(cè)，則二面α-l-的余弦值為

12|n|1

。例8.57如圖8-201所，已知四棱錐，底ABCD為形PA⊥面ABCD，=2∠ABC°，,分為BC的點(diǎn)，求二面角余弦值。解因AE，AD兩垂直，以A為標(biāo)原點(diǎn)，建如圖所的空間直角坐標(biāo)系，E，分為，PC的中點(diǎn)，所（,００3,C3,1,0),D(0,2,0),(0,0,2),E(），F(xiàn)(

312203設(shè)平面AEF的向量為n=(x,y,z)，則，AE=(）AF=(,,1)2得

x31x2

，令z則。因為BD⊥AC，BD⊥PA∩AC=，所以BD平面，故BD為面的向量。又BD=-）BD=所以cos,|由圖知所求的二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為

155

。

變?nèi)?-203所示，已知四棱錐，PB⊥，側(cè)面是長等于2的正三角形，底面ABCD為形，側(cè)面與面ABCD所成二面角為°，求平面APB與平面CPB所二面角的余弦值。變2如示，四棱錐中⊥底面，AB∥DC，⊥DC，=AD=1=SD=2E為上一點(diǎn)平面⊥平面求二面角的小。變3如所，直三棱柱ABCAC中，∠ACB=90，AC=1=1，側(cè)棱AA=1，側(cè)面AA的條對角線的交點(diǎn)為D，BC的點(diǎn)為M求平面BD與111平面CDM所二角的正弦值。十二求點(diǎn)到平面距離的方法如圖8-206所示平面α的向量為,Q是面內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)是面外的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到平面α的距離就等于向PQ在法向量n方向上的影絕對值即PQcosPQ或d=

|PQ|PQ|n|

44例8.58如圖所示該面體是由底面為ABCD的方體被截而得到的中=4,CC,=1,點(diǎn)C到面AEC的離.1解析建立如圖8-208

所示的空間