核心問題片段教學(xué)設(shè)計(jì)《內(nèi)切圓》

《內(nèi)切圓》教學(xué)設(shè)計(jì)東莞市塘廈初級(jí)中學(xué)羅劍波年級(jí)分冊(cè)九年級(jí)（上冊(cè)）版本新人教版所屬章節(jié)學(xué)生層次中等教材分析教材背景：三角形內(nèi)切圓是在學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系，掌握了切線長定理，并理解了三角形外心之后，學(xué)習(xí)的又一個(gè)三角形與圓的位置關(guān)系。本課的地位和作用：本節(jié)內(nèi)容既是直線與圓位置關(guān)系的深化，又為今后的作圖和實(shí)際問題學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，具有非常高的實(shí)用價(jià)值，通過學(xué)習(xí)此內(nèi)容可以幫助學(xué)生掌握一些作圖技巧，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)技能目標(biāo)：使學(xué)生了解尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓的方法，理解三角形的內(nèi)切圓、三角形內(nèi)心的概念。過程性目標(biāo)：應(yīng)用類比、從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜、以及其他合情推理的數(shù)學(xué)思想方法研究內(nèi)切圓，逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究問題、系統(tǒng)總結(jié)的能力。情感、價(jià)值目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦主動(dòng)參與課堂教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和勇于探索的科學(xué)精神。學(xué)習(xí)重點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的作法；三角形內(nèi)切圓和三角形內(nèi)心的性質(zhì)。學(xué)習(xí)難點(diǎn)三角形內(nèi)切圓的作法及其性質(zhì)。學(xué)習(xí)準(zhǔn)備直尺、圓規(guī)和草稿紙；熟悉三角形外接圓的做法和三角形外心的性質(zhì)；掌握切線的判定、性質(zhì)以及切線長定理。教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)生活動(dòng)教師活動(dòng)一、創(chuàng)設(shè)情境1、先思考圓的面積不是最大的情況，再在老師的引導(dǎo)下考慮怎樣逐漸將圓的面積調(diào)整變大。2、觀察并討論，當(dāng)三角形內(nèi)部的圓的面積最大的時(shí)候與三角形有怎樣的關(guān)系。得出結(jié)果：圓與三角形的三邊都相切，其面積最大。1、提出問題：如圖，有一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？2、引導(dǎo)學(xué)生先從圓的面積不是最大時(shí)入手，再使用合情推理得出面積最大的圓的直觀形象。3、引導(dǎo)學(xué)生觀察并討論，當(dāng)三角形內(nèi)部的圓的面積最大的時(shí)候與三角形有怎樣的關(guān)系。二、引出課題1、在老師的引導(dǎo)下思考三角形內(nèi)切圓的存在性和唯一性。2、分組討論：怎樣確定一個(gè)圓？1、逐步呈現(xiàn)出三角形內(nèi)切圓的“存在性”和“唯一性”這兩個(gè)問題給學(xué)生思考。2、引導(dǎo)學(xué)生得出確定圓的兩個(gè)要素：圓心的位置和圓的半徑。三、探究新知之“找圓心”1、先思考：一個(gè)圓在一個(gè)角的內(nèi)部與這個(gè)角的兩邊都相切的情況，此時(shí)圓心的位置有什么特點(diǎn)？得出結(jié)果：圓心在角平分線上。2、再思考：如果一個(gè)圓與三角形的三邊都相切，那么時(shí)圓心在什么位置？得出結(jié)果：圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)。1、引導(dǎo)學(xué)生先考慮簡單的情況，即：一個(gè)圓在一個(gè)角的內(nèi)部與這個(gè)角的兩邊都相切的情況，此時(shí)圓心的位置有什么特點(diǎn)？為什么？2、再引導(dǎo)學(xué)生考慮：如果一個(gè)圓與三角形的三邊都相切，那么此時(shí)圓心在什么位置？三、探究新知之“確定圓”分組討論：如何確定一個(gè)與三角形三邊都相切的圓的圓心位置與半徑的長？得出結(jié)果：作出三個(gè)內(nèi)角的平分線（實(shí)際作出兩個(gè)內(nèi)角的平分線即可），三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是符合條件的圓心；過圓心作一邊的垂線，垂線段的長是符合條件的半徑（依據(jù)是角平分線的性質(zhì)和切線的判定）。引導(dǎo)學(xué)生討論：如何確定一個(gè)與三角形三邊都相切的圓的圓心位置與半徑的長？為什么？三、探究新知之“畫一畫”1、用尺規(guī)作出任意三角形的內(nèi)切圓。2、總結(jié)出作圖步驟：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為I。2.過點(diǎn)I作ID⊥BC.垂足為D。3.以I為圓心，ID為半徑作☉I?！啜慖就是所求的圓。1、示范用尺規(guī)作出任意三角形的內(nèi)切圓。2、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出作圖的步驟。三、探究新知之“想一想”分組討論：與△ABC的三條邊都相切的圓有多少個(gè)？得出結(jié)果：因?yàn)椤螧和∠C的平分線的交點(diǎn)只有一個(gè),并且交點(diǎn)I到△ABC三邊的距離相等且唯一，所以與△ABC三邊都相切的圓有且只有一個(gè)。在三角形內(nèi)切圓的“存在性”已經(jīng)解決的情況下，引導(dǎo)學(xué)生思考其“唯一性”。提問出問題：與三角形的三條邊都相切的圓有多少個(gè)？四、回顧小結(jié)之“記一記”1、齊讀三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。2、分組搶答并總結(jié)出三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的性質(zhì)。得出結(jié)果：性質(zhì)1：內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。性質(zhì)2：內(nèi)心與頂點(diǎn)連線平分內(nèi)角；性質(zhì)3、切點(diǎn)將三角形三邊分為六段，得到三對(duì)切線長分別相等。在圖中即為：AE=AF，BF=BD，CD=CE。1、提煉出三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義。2、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出三角形內(nèi)切圓和內(nèi)心的性質(zhì)。四、回顧小結(jié)之“比一比”引導(dǎo)學(xué)生將三角形內(nèi)切圓和外接圓進(jìn)行比較，總結(jié)出三角形內(nèi)切圓和外接圓、以及三角形內(nèi)心和外心的性質(zhì)的異同。五、后續(xù)問題的處理設(shè)計(jì)：例題講解1、讀題并分析題目，找出題目中相等的線段。2、設(shè)AF＝x，學(xué)生口答用含有x的式子表示其他線段的長度，再口述所得到的等量關(guān)系和一元一次方程，最后學(xué)生板演解題過程，得到第一種解法：3、在老師的引導(dǎo)下再次對(duì)題目進(jìn)行分析，題目要求的是三條線段的長，這需要三個(gè)獨(dú)立的方程，進(jìn)而設(shè)AE＝AF=x，BD＝BF=y，CD＝CE=y，列出三元一次方程組并解出來，得到第二種解法，學(xué)生板演完整的解答過程：1、與學(xué)生一起讀題：如圖，在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的內(nèi)切圓分別和BC、AC、AB切于點(diǎn)D、E、F，求AF、BD和CE的長。2、分析題目并引導(dǎo)學(xué)生找出圖中相等的線段。3、設(shè)AF＝x，要求學(xué)生用含有x的式子表示其他線段的長度，并引導(dǎo)學(xué)生找出等量關(guān)系、列出一元一次方程、解出方程、作答，板演學(xué)生完整的解題過程。4、為進(jìn)一步挖掘例題中所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合的思想，與學(xué)生一起再次分析題目，指出題目要求的是三條線段的長，這需要三個(gè)獨(dú)立的方程，進(jìn)而引導(dǎo)出學(xué)生設(shè)AE＝AF=x，BD＝BF=y，CD＝CE=y，列出三元一次方程組并解出來。五、后續(xù)問題的處理設(shè)計(jì)：例題變式一1、運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，列三元一次方程組接觸題目。2、反過來思考，在老師的引導(dǎo)下運(yùn)用逆向思維提煉并解出以下問題：已知三對(duì)切線段的長，求三角形三邊的長度，即：設(shè)AE＝AF=x，BD＝BF=y，CD＝CE=y，則：1、將例題中的具體數(shù)字改成字母，引導(dǎo)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，使用方程組解出題目，即：已知三角形三邊的長度，求出三對(duì)切線段的長。如圖，設(shè)△ABC的邊BC=a，CA=b，AB=c，p=(a+b+c)/2，其內(nèi)切圓O和各邊分別相切于D、E、F。求證：AE=AF=p-a，BD=BF=p-b，CD=CE=p-c2、提問學(xué)生：反過來，已知三對(duì)切線段的長，怎樣求三角形三邊的長度，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維提煉出解答上述問題的思路。五、后續(xù)問題的處理設(shè)計(jì)：例題變式二1、在老師的引導(dǎo)下猜測(cè)四邊形ODCF是正方形，再運(yùn)用切線的性質(zhì)和正方形的判斷給出證明，從而將此題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決了的例題變式一的情形。2、在老師的引導(dǎo)下進(jìn)行多角度思考，運(yùn)用面積法再次解答此題。1、將例題中的一般三角形改成直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生在例題變式一的基礎(chǔ)上探討以下問題：怎樣求直角三角形內(nèi)切圓的半徑。具體來說：如圖，直角三角形的兩直角邊長分別是a，b,斜邊長為c，其內(nèi)切圓O和各邊分別相切于D、E、F，求⊙O的半徑ｒ。2、引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)四邊形ODCF是正方形，再運(yùn)用切線的性質(zhì)和正方形的判斷給出證明，從而將此題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決了的例題變式一的情形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生使用例題變式一中的結(jié)論解出此題。3、提出問題，還有沒有其他的方法解呢？提示學(xué)生運(yùn)用面積法解答此題。五、后續(xù)問題的處理設(shè)計(jì)：深入思之勾股定理的一個(gè)證明1、分組討論，嘗試從ｒ的兩個(gè)不同的表示形式推出a，b,c之間的關(guān)系。2、在老師的引導(dǎo)下，將ｒ的兩個(gè)不同的表示形式看成兩個(gè)方程，再運(yùn)用方程的消元思想消去ｒ，從而得到關(guān)于a，b，c的方程：2、思考：上述消去r，再化簡后所得的結(jié)果是勾股定理，但這個(gè)過程是否能看成是勾股定理的一個(gè)證明？3、在老師的引導(dǎo)下提煉出上述推理過程的依據(jù)：切線長定理、切線的性質(zhì)、正方形的判定以及面積的計(jì)算，再窮究這些依據(jù)的基礎(chǔ)是三角形全等、切線的定義，再考慮到這些基礎(chǔ)以及面積的計(jì)算都是獨(dú)立于勾股定理的，因此：這個(gè)過程是勾股定理的一個(gè)證明。4、在老師的引導(dǎo)下，利用逆性思維得到上述推理過程是可逆的，由此得出：這兩個(gè)不同的表達(dá)形式是由勾股定理作為橋梁聯(lián)系起來的，本質(zhì)上是一樣的。1、提出問題：由例題變式二，我們得到直角三角形的兩直角邊長分別是a，b,斜邊長為c，其內(nèi)切圓的半徑ｒ有兩個(gè)不同的表示形式，這兩個(gè)不同的表達(dá)形式有什么聯(lián)系呢？2、引導(dǎo)學(xué)生將ｒ的兩個(gè)不同的表示形式看成兩個(gè)方程，再運(yùn)用方程的消元思想消去ｒ，從而得到關(guān)于a，b,c的方程，再要求學(xué)生所得到的將方程整理化簡，最后得到勾股定理。3、提出問題：前述消去r，再化簡后所得的結(jié)果是勾股定理，但這個(gè)過程是否能看成是勾股定理的一個(gè)證明？4、引導(dǎo)學(xué)生窮究上述推理過程的依據(jù)：切線長定理、切線的性質(zhì)、正方形的判定以及面積的計(jì)算，而所有這些依據(jù)的基礎(chǔ)是三角形全等、切線的定義，注意到這些基礎(chǔ)以及面積的計(jì)算都是獨(dú)立于勾股定理的，因此：這個(gè)過程的確是勾股定理的一個(gè)證明。5、引導(dǎo)學(xué)生再次利用逆向思維思考上述過程是否具有可逆性，從而得出：這兩個(gè)不同的表達(dá)形式是由勾股定理作為橋梁聯(lián)系起來的，本質(zhì)上是一樣的。五、后續(xù)問題處理設(shè)計(jì)：變式三：1、先猜測(cè)等邊三角形的外心和內(nèi)心重合，再分組討論怎樣證明這個(gè)猜測(cè)。2、學(xué)生板演完整的解題過程。3、總結(jié)出：等邊三角形的外心、內(nèi)心、重心、垂心重合。4、思考：等邊三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值是否保持不變？如果是，這個(gè)比值是多少？5、在老師的引導(dǎo)下從例題變式三的特殊情況下求出其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑得到其比值是二分之一，再分組討論：怎樣證明這個(gè)比值對(duì)任意的等邊三角形都成立。1、將例題中的一般三角形改成對(duì)稱性極強(qiáng)的等邊三角形，再與三角形的外心相結(jié)合，利用三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)以及等邊三角形的對(duì)稱性，探討其外接圓和內(nèi)切圓的半徑。具體來說：求邊長為６ｃｍ的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R。2、先引導(dǎo)學(xué)生猜想等邊三角形的外心和內(nèi)心重合，再引導(dǎo)對(duì)此進(jìn)行證明，即：運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到等邊三角形的中垂線和對(duì)應(yīng)的角平分線重合，進(jìn)而得到等邊三角形的外心和內(nèi)心重合，即等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓是兩個(gè)同心圓。3、要求學(xué)生板演出此題的完整解答過程。4、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：等邊三角形的外心、內(nèi)心、重心、垂心重合。5、提出問題：等邊三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值是否保持不變？如果是，這個(gè)比值是多少？6、引導(dǎo)學(xué)生從例題變式三的特殊情況下求出其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑可得到其比值是二分之一，