-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識1.2集合的基本關(guān)系學(xué)案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE7集合的基本關(guān)系新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理2.在具體情境中，了解空集的含義數(shù)學(xué)抽象3.能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系，體會圖形對理解抽象概念的作用數(shù)學(xué)抽象、直觀想象草原上，藍(lán)藍(lán)的天上白云飄，白云下面馬兒跑．如果草原上的棗紅馬組成集合A，草原上的所有馬組成集合B.[問題](1)集合A中的元素與集合B中的元素的關(guān)系是怎樣的？(2)集合A與集合B又存在什么關(guān)系？知識點(diǎn)子集、集合相等、真子集1．Venn圖用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合，稱為Venn圖．2．子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都屬于集合B，即若a∈A，則a∈B，那么稱集合A是集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么稱集合A與集合B相等，記作A＝B對于兩個集合A與B，如果A?B，且A≠B，那么稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示結(jié)論(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A；(2)空集是任何集合的子集，即??A；(3)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C若A＝B且B＝C，則A＝C(1)若AB且BC，則AC；(2)若A?B且A≠B，則ABeq\a\vs4\al()1．用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示集合間的關(guān)系，缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯．2．真子集概念的理解在真子集的定義中，A，B首先要滿足A?B，其次至少有一個x∈B，但x?A.1．任意兩個集合之間是否有包含關(guān)系？提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，這兩個集合就沒有包含關(guān)系．2．符號“∈”與“?”有什么區(qū)別？提示：①“∈”是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如1∈N，－1?N.②“?”是表示集合與集合之間的關(guān)系，比如N?R，{1，2，3}?{3，2，1}．③“∈”的左邊是元素，右邊是集合，而“?”的兩邊均為集合．1．下列Venn圖正確表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x|x2－x＝0}的關(guān)系的是()解析：選B由N＝{1，0}，知NM，故選B.2．設(shè)a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，則a＝________．解析：因?yàn)閧2，9}＝{1－a，9}，則2＝1－a，所以a＝－1.答案：－1集合間關(guān)系判斷[例1](鏈接教科書第7頁練習(xí)2題)集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之間的關(guān)系是()A．SPM B．S＝PMC．SP＝M D．P＝MS[解析]∵M(jìn)＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}，∴M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，S＝{…，－7，3，13，23，…}，故SP＝M，故選C.[答案]Ceq\a\vs4\al()判斷集合間關(guān)系的常用方法[跟蹤訓(xùn)練]1．(多選)下列關(guān)系中，正確的有()A．0∈{0} B．?{0}C．{0，1}{(0，1)} D．{(1，2)}＝{(2，1)}解析：選AB對于A，集合{0}中含有1個元素0，所以0∈{0}正確；對于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}正確；對于C，{0，1}是數(shù)集，{(0，1)}是點(diǎn)集，所以C錯誤；對于D，{(1，2)}與{(2，1)}是不同的點(diǎn)集，所以D錯誤．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A為方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈確定有限集合的子集、真子集及其個數(shù)[例2](鏈接教科書第7頁例4)(1)已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N＋，y∈N＋}，則集合A的子集的個數(shù)為()A．3 B．4C．7 D．8(2)(2020·北京海淀區(qū)月考)已知集合M滿足{1，2}M?{1，2，3，4，5}，則所有滿足條件的集合M的個數(shù)是()A．6 B．7C．8 D．9[解析](1)用列舉法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，則集合A的子集的個數(shù)為23＝8.(2)由題意可以確定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下．含有3個元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}．含有4個元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}．含有5個元素：{1，2，3，4，5}．故滿足條件的集合M為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．[答案](1)D(2)Beq\a\vs4\al()求集合子集、真子集個數(shù)的3個步驟[跟蹤訓(xùn)練]已知集合A＝{－1，0，1}，則含有元素0的A的子集的個數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選B根據(jù)題意，含有元素0的A的子集為{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4個.由集合間的關(guān)系求參數(shù)值(或范圍)[例3]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A?B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]∵A?B，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞－5，,m≤4，,m≥3，))故3≤m≤4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|3≤m≤4}．[母題探究]1．(變條件)本例中若將“A?B”改為“B?A”，其他條件不變，求m的取值范圍．解：當(dāng)B＝?時，m－6＞2m－1，即m＜－5.當(dāng)B≠?時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－6≤2m－1，,m－6≥－2，,2m－1≤5，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥－5，,m≥4，,m≤3，))即m∈?.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＜－5}．2．(變條件，變設(shè)問)本例若將集合A，B分別改為A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的值又是什么？解：因?yàn)锽?A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，當(dāng)m＝1時，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，滿足B?A.所以m的值為1.eq\a\vs4\al()由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的方法(1)當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時應(yīng)注意分類討論；(2)當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，應(yīng)注意端點(diǎn)處是實(shí)點(diǎn)還是虛點(diǎn)．[提醒](1)不能忽視集合為?的情形；(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般要分類討論．[跟蹤訓(xùn)練]已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．(1)若?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M?N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)由題意得，方程x2＋2x－a＝0有實(shí)數(shù)解，∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M?N，∴當(dāng)M＝?時，Δ＝22－4×(－a)＜0，得a＜－1；當(dāng)M≠?時，當(dāng)Δ＝0時，a＝－1，此時M＝{－1}，滿足M?N，符合題意．當(dāng)Δ＞0時，a＞－1，M中有兩個元素，若M?N，則M＝N，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝－2，,（－1）×0＝－a，))無解．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1]．子集個數(shù)的探究觀察下表并回答后面的問題.集合B集合A關(guān)系集合C的所有子集集合C的個數(shù){a}{a，b}B?C?A{a}，{a，b}2{a}{a，b，c}B?C?A{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}4{a}{a，b，c，d}B?C?A{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}8[問題探究]1．若集合A有n個元素，則集合A有多少個子集？多少個真子集？多少個非空真子集？提示：若集合A含有n個元素，則集合A有2n個子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n－1個；非空真子集要去掉集合A本身與空集，故有2n－2個．2．對于有限集A，B，C，設(shè)集合A中含有n個元素，集合B中有m個元素(n，m∈N，且n>m)．(1)當(dāng)B?C?A時，滿足條件的C有多少個？(2)如果集合C分別滿足如下條件：B?CA，BC?A，BCA，那么C的個數(shù)為多少？提示：(1)由表格中的集合可知，若B?C?A，則集合C中一定有集合B的全部元素，也就是A中元素去掉B中元素后剩余元素構(gòu)成的集合的子集，故有2n－m個．(2)①當(dāng)B?CA時，在問題(1)的基礎(chǔ)上，去掉與集合A相等的集合，故滿足條件的C有2n－m－1個．②當(dāng)BC?A時，在問題(1)的基礎(chǔ)上，去掉與集合B相等的集合，故滿足條件的C有2n－m－1個．③當(dāng)BCA時，在問題(1)的基礎(chǔ)上，去掉與集合A，B相等的兩個集合，故有2n－m－2個．[遷移應(yīng)用]1．已知M為非空數(shù)集，M?{1，2，3}，且M中至少有一個元素是奇數(shù)，則這樣的集合M共有()A．6個 B．5個C．4個 D．3個解析：選A集合{1，2，3}的子集共有23＝8(個)，集合{2}的子集共有2個，所以滿足要求的集合M共有8－2＝6(個)．故選A.2．設(shè)集合Sn＝{1，2，3，…，n}，若X是Sn的子集，我們把X中所有無素的和稱為X的容量(規(guī)定空集的容量為0)，若X的容量為奇(偶)數(shù)，則稱X為Sn的奇(偶)子集．則S4的所有奇子集有________個．解析：因?yàn)镾4＝{1，2，3，4}，所以S4的所有奇子集為{1}，{3}，{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，{1，2，4}，{2，3，4}，共有8個．答案：81．下列各組兩個集合A和B，表示相等集合的是()A．A＝{π}，B＝{3.14159}B．A＝{2，3}，B＝{(2，3)}C．A＝{1，eq\r(3)，π}，B＝{π，1，|－eq\r(3)|}D．A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}解析：選C集合相等，兩集合中的元素完全相同．選項(xiàng)A，∵π≠3.14159，∴A≠B；選項(xiàng)B，∵2，3表示兩個實(shí)數(shù)，而(2，3)表示一個點(diǎn)，∴A≠B；選項(xiàng)C，∵|－eq\r(3)|＝eq\r(3)，∴A＝B；選項(xiàng)D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B.2．(2021·溫州高一月考)已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，則()A．P∈Q B．P?QC．Q?P D．Q∈P解析：選C集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，因?yàn)榧螿中的元素都在集合P中，所以Q?P.故選C.3．(多選)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，則下列式子表示正確的有()A．3∈A B．{－3}∈AC．??A D．{3，－3}?A解析：選ACD根據(jù)題意知，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4個式子：對于