數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用舉例

數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用舉例數(shù)形結(jié)合思想辦法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用舉例

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1671-0568〔2022〕19-0033-03

一、數(shù)學(xué)思想辦法的含義

數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育工作者從不同的角度論述了數(shù)學(xué)思想辦法，其中最有影響力的是基于哲學(xué)的角度。所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思想比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具體、豐盛，而前者比后者更本質(zhì)、深刻。數(shù)學(xué)辦法那么是指在從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中所采用的各種方式、伎倆、途徑等。

數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)、辦法三者相互關(guān)聯(lián)、密不可分：如果人們站在某個(gè)位置，從某個(gè)角度運(yùn)用數(shù)學(xué)去察看和思考問(wèn)題，則數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)；而對(duì)于數(shù)學(xué)辦法來(lái)說(shuō)，思想是其相應(yīng)辦法的精神實(shí)質(zhì)和理論根底，辦法那么是踐行某種思想的技術(shù)伎倆。運(yùn)用數(shù)學(xué)辦法來(lái)解決問(wèn)題都包含了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想那么通過(guò)辦法來(lái)體現(xiàn)。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想辦法

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系中，一些重要、典型的數(shù)學(xué)思想辦法較為常見(jiàn)，常用的有如下幾種：轉(zhuǎn)換化歸的思想辦法、函數(shù)與方程的思想辦法、數(shù)形結(jié)合思想辦法、極限思想辦法。其中，數(shù)形結(jié)合思想辦法最為常用，下面將對(duì)數(shù)形結(jié)合思想辦法進(jìn)行簡(jiǎn)要表明。

三、數(shù)形結(jié)合思想辦法

1.數(shù)形結(jié)合思想辦法的涵義

數(shù)形結(jié)合思想辦法中的“數(shù)〞可以廣義地理解為數(shù)學(xué)文字表征，即數(shù)字、文字、式子、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理等概念和命題；相應(yīng)地，“形〞可以理解為圖形表征，即實(shí)物、圖象、圖形、符號(hào)等。

數(shù)學(xué)問(wèn)題中常常出現(xiàn)“數(shù)〞和“形〞的形態(tài)，兩者為研究對(duì)象的不同側(cè)面，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，可以通過(guò)數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)之間的彼此轉(zhuǎn)化或者綜合起來(lái)分析、解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合思想辦法不僅對(duì)其所含的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行了分析，還揭示了其所蘊(yùn)含的幾何直觀，實(shí)現(xiàn)了空間形式直觀形象與數(shù)量關(guān)系精確刻畫(huà)的有機(jī)結(jié)合。

2.采用數(shù)形結(jié)合思想辦法的意義

“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、開(kāi)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和辦法在更高層次上的抽象和概括，如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)等。〞由此可見(jiàn)，新課標(biāo)把數(shù)形結(jié)合思想辦法放在很重要的位置上。數(shù)與形貫通中學(xué)數(shù)學(xué)的整個(gè)知識(shí)體系，這兩者的結(jié)合是教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)。示例，有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值等都具有一定的幾何意義。再如，針對(duì)列方程解應(yīng)用題，解題的有效辦法就是找到等量關(guān)系列方程，但通過(guò)文字表述來(lái)尋找等量關(guān)系具有一定的難度，此時(shí)，較為有效的辦法就是結(jié)合題意畫(huà)出示意圖，并充沛利用圖形的形象化、直觀性、簡(jiǎn)單化等優(yōu)勢(shì)，將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

而在高中數(shù)學(xué)課程中，數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題那么更為普遍，所以數(shù)形結(jié)合的思想也就顯得尤為重要。示例，在解匯合題時(shí)，就可以通過(guò)圖示法直觀、形象地展現(xiàn)匯合與元素以及匯合之間的關(guān)系。實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合在解決二次、對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)局部問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著重要作用：可以通過(guò)圖象直觀地表示函數(shù)關(guān)系，從而更高效、準(zhǔn)確地展示函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等，最終到達(dá)分析、解決問(wèn)題的目的。

3.數(shù)形結(jié)合思想辦法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用舉例

在數(shù)形結(jié)合思想辦法中，“數(shù)〞研究的主要是代數(shù)元素，“形〞研究的那么是幾何元素，它們之所以有對(duì)應(yīng)關(guān)系，源于研究的是同一個(gè)問(wèn)題，只是研究角度不同而已。對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，我們從幾何角度認(rèn)識(shí)，能獲得幾何解法；而從代數(shù)角度認(rèn)識(shí)，那么能夠獲得代數(shù)的解決計(jì)劃。

筆者認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合具體可以體現(xiàn)為“以數(shù)助形〞“以形助數(shù)〞。其中，“以數(shù)助形〞是以“數(shù)〞為伎倆，以“形〞為目的，充沛利用數(shù)的精確性、嚴(yán)密性等優(yōu)勢(shì)，來(lái)表述形的特性內(nèi)容，如應(yīng)用曲線方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)等；而“以形助數(shù)〞那么以“形〞為伎倆，以“數(shù)〞為目的，它利用形的生動(dòng)性、直觀性來(lái)說(shuō)明數(shù)之間的聯(lián)系。

〔1〕以數(shù)助形。學(xué)生在研究幾何問(wèn)題時(shí)，需要通過(guò)分析圖形中的數(shù)量關(guān)系來(lái)探討圖形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。經(jīng)常用到的辦法是通過(guò)建立坐標(biāo)系，化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題，即坐標(biāo)法。另外，比擬常用的辦法還有三角法和向量法。

第一，利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題。在研究幾何問(wèn)題時(shí)利用坐標(biāo)系，可以對(duì)幾何圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，從而用代數(shù)的辦法解決幾何問(wèn)題。用坐標(biāo)法求解幾何問(wèn)題的步驟是：①建立圖形〔立體圖形〕與空間向量的聯(lián)系，用坐標(biāo)表示問(wèn)題中所波及的點(diǎn)、線、面，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；②通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系；③根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題。

實(shí)踐證明，利用坐標(biāo)系解決幾何問(wèn)題，可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。因此，在解決幾何問(wèn)題時(shí)，如果找不到直接的解決思路，那就可以把它放在直角坐標(biāo)系中，從而實(shí)現(xiàn)順利解題。筆者認(rèn)為，在利用坐標(biāo)系解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中，建立坐標(biāo)系是最關(guān)鍵的一步。對(duì)于平面幾何問(wèn)題，只需使用平面直角坐標(biāo)系就可以解決，而對(duì)于空間立體幾何問(wèn)題，那么需要建立空間直角坐標(biāo)系。值得注意的是，在確定坐標(biāo)軸時(shí)，要盡量使圖形中的各邊、各頂點(diǎn)都落在坐標(biāo)軸上，這樣既能很方便地表示出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，而且求解的過(guò)程也很簡(jiǎn)便，數(shù)據(jù)相對(duì)較小，更容易計(jì)算。

第二，利用三角法解決幾何問(wèn)題。學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，時(shí)常會(huì)遇到一些“不能達(dá)到的距離問(wèn)題〞“不能觸及的高度問(wèn)題〞“測(cè)量工具不夠的情況下測(cè)量角度的問(wèn)題〞，或者是“航海問(wèn)題〞“計(jì)算面積問(wèn)題〞等，此時(shí)是不能直接從原模型中計(jì)算出來(lái)的，對(duì)此，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，將它們轉(zhuǎn)化為三角形，用正弦定理、余弦定理等三角形的工具來(lái)解決。解決這一類題的步驟是：①分析題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖；②把題目中的已知量和未知量都放在三角形中，建立解三角形的模型；③利用正弦和余弦定理，把所要求解的目標(biāo)解出來(lái)。第三，利用向量法解決幾何問(wèn)題。向量是既有大小又有方向的量，大小是代數(shù)方面的表現(xiàn)，方向是幾何方面的表現(xiàn)，所以向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物。用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟如下：①建立平面幾何與向量之間的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中波及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。示例兩條直線相互垂直，就可以用兩條直線的方向向量a《b=0來(lái)表示；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯〞成幾何關(guān)系。示例a=？姿b，表示以a和b為方向的兩條直線相互平行。用向量研究平面幾何問(wèn)題，是向量的一個(gè)重要應(yīng)用，也是高考的熱點(diǎn)，主要考查應(yīng)用向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算去解決平面幾何中的長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直等問(wèn)題。

〔2〕以形助數(shù)。在思考和解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于某些從外表上看來(lái)與幾何毫不相關(guān)的概念和問(wèn)題，有時(shí)可以從某些特定的角度出發(fā)，畫(huà)出一個(gè)圖形或者是示意圖，把所要討論的問(wèn)題進(jìn)行幾何直觀的描述，這樣就會(huì)對(duì)問(wèn)題的求解提供很多有益的啟示。由此可見(jiàn)，借助圖形可以把代數(shù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系揭示得更加直觀、形象。

我們常用的運(yùn)用幾何思想解決代數(shù)問(wèn)題的辦法有：利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)問(wèn)題；把函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)看成是方程的根，從而解決方程和不等式問(wèn)題；通過(guò)畫(huà)出約束條件表示的區(qū)域，然后求出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，從而解決線性規(guī)劃問(wèn)題等。

第一，利用函數(shù)圖象來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)的圖象和性質(zhì)是利用數(shù)形結(jié)合思想辦法解決問(wèn)題的良好載體。在平時(shí)的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們常見(jiàn)的函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)的對(duì)應(yīng)主要有下列幾個(gè)方面：函數(shù)的定義域、值域與坐標(biāo)軸全部或者是局部對(duì)應(yīng)；函數(shù)的最大值和最小值與函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)；函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)為函數(shù)圖象的走向；函數(shù)的奇偶性表現(xiàn)在函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱還是關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)的周期性表現(xiàn)在函數(shù)圖象是否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)或是重疊。學(xué)生知道函數(shù)圖象與性質(zhì)的以上對(duì)應(yīng)，那就可以充沛利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想辦法來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。

第二，利用函數(shù)圖象解決方程和不等式問(wèn)題。方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)〔函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)〕是一一對(duì)應(yīng)的，解方程時(shí)如果遇到一些不能用求根公式的方程，這時(shí)我們就可以利用函數(shù)圖象來(lái)找出函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根。此外，還有一類題目可以把方程的左右兩邊看成是兩個(gè)函數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，這兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)的共同解的個(gè)數(shù)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根。

不等式問(wèn)題同理，因?yàn)椴坏仁骄褪前逊匠讨械牡忍?hào)換成不等號(hào)。在方程中，方程的根可以看成是函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在不等式中，不等式的解集和方程也是相似的：當(dāng)不等式大于零時(shí)，就代表著函數(shù)圖象在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值；當(dāng)不等式小于零時(shí)，代表著函數(shù)圖象在x軸下方時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值。所以在解不等式時(shí)，把函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái)，可以通過(guò)察看函數(shù)圖象從而得到不等式的解集。特別地，在解決高次不等式問(wèn)題時(shí)，首先把不等式分解成一次式乘積的形式，使用穿針引線法把標(biāo)在數(shù)軸上的各個(gè)根連接起來(lái)，注意奇過(guò)偶不過(guò)的原那么，然后把數(shù)軸上方或下方對(duì)應(yīng)的x的值表示出來(lái)就是不等式的解集。

第三，利用函數(shù)圖象解決線性規(guī)劃問(wèn)題。線性規(guī)劃問(wèn)題是高考中的?？碱}目，這類問(wèn)題一般是先給出一個(gè)不等式組，稱之為約束條件，然后給出一個(gè)函數(shù)〔目標(biāo)函數(shù)〕，來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題。解決這類問(wèn)題的一般步驟是：①在平面直角坐標(biāo)系中做出可行域〔約束條件所表示的區(qū)域〕；②在了解目標(biāo)函數(shù)幾何意義的根底上，通過(guò)一系列辦法將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；③確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而得到最優(yōu)解；④求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值。

有時(shí)候題目不會(huì)直接給出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，而是給出一個(gè)應(yīng)用題的形式，這時(shí)，我們就需要分析里邊的數(shù)據(jù)關(guān)系，列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件，然后再根據(jù)求解典型線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟去解答。

第四，利用函數(shù)圖象解決數(shù)列的問(wèn)題。我們可以把數(shù)列看成是一類特殊的函數(shù)，它的圖象就是一些孤立的點(diǎn)。特別是對(duì)于等差數(shù)列，它的圖象就是一條直線上孤立的點(diǎn)，它的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)，它的前N項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)。既然數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，當(dāng)然可以利用函數(shù)圖象來(lái)解決數(shù)列的問(wèn)題。但是，要注意的是數(shù)列的定義域和函數(shù)的定義域是不一樣的，數(shù)列的定義域是不連續(xù)的，它只有一些離散的點(diǎn)。比方說(shuō)等差數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則假設(shè)要求滿足an≥Sn時(shí)n的取值，就可以通過(guò)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象來(lái)求解。

但不是所有數(shù)列的題目都可以用數(shù)形結(jié)合的辦法，只有當(dāng)函數(shù)圖象很容易畫(huà)出時(shí)求解類似的問(wèn)題才比擬簡(jiǎn)單。所以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想辦法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題最常見(jiàn)的問(wèn)題是等差數(shù)列的問(wèn)題。

除了以上4種以形助數(shù)的情況外，還有很多可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想辦法來(lái)解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。示例，利用韋恩圖或數(shù)軸的辦法表示匯合，這樣利用數(shù)形結(jié)合的辦法，可以使得某些