常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法

nn§11-2一正級及審法

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法正項(xiàng)級數(shù)

n

0n

(1)n顯然，部分和數(shù)n

s

2

s

n

.

1.斂準(zhǔn)則定理

正項(xiàng)級收部分?jǐn)?shù)nn例1判別正項(xiàng)級數(shù)

sin2

2

的收斂性1解2

sin2

22

sin2

2n

111222n

2n

上界

級數(shù)收斂2.較審斂法定理設(shè)

n

v都是正項(xiàng)級數(shù)，unn

n

(n1,2,)若

v收斂,nn收斂；反之，發(fā)散，發(fā)散．nnnn分析，的部分和nnn

nsvn1212n

(n

)n

TH1收斂。反之，發(fā)散，必發(fā)散.因?yàn)槿鬾nnnnv收斂,由上面已證結(jié)論也收斂，與假設(shè)矛盾nnn1

(npnp(npnpn推論

都是正項(xiàng)級數(shù),如果級收斂，且存在自然數(shù)N，使nnN時kv(0)成立,則級收斂果級發(fā)散當(dāng)Nnnnnn時kv(k成立,則級數(shù)n

n

u發(fā)散.n分析：因?yàn)榧墧?shù)的每一項(xiàng)同乘不為零的常數(shù)k，以及去掉級數(shù)前面的有限項(xiàng)不會影響級數(shù)的收斂性.例2

討論—級數(shù)

n

1np

(2)

的收斂性，其中常數(shù)p>0．解設(shè)p，則

11但調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)(2)發(fā)散．n11設(shè)p，xn時，有所以npp1n111nppnpp(n

2,3,1考慮級數(shù),

(3)

級數(shù)(3)的部分和s1

2

113p

n

1

1(

1=1(p因級數(shù)(3)斂．由推論1知，級數(shù)(3)當(dāng)>1收斂.n總之：p—級數(shù)2)當(dāng)p時發(fā)散，當(dāng)時收斂．注：比較審斂法的：必須有參考級數(shù)。常用：幾何級數(shù)，p—級數(shù)（調(diào)級數(shù)）例3判別下列級數(shù)的斂散性.

2n

un

n

2

nn2

2

18

nn

發(fā)散,

原級數(shù)發(fā)散(2).

sinn

un

1n2

1n2n

收斂,

原級數(shù)收斂練習(xí).

2

1123nn2

uu3.較審斂法極限形定理

都是正項(xiàng)級數(shù),nnn(1)如limn

(0

且級收斂，則級收斂；n(2)如lim

或limn發(fā)散，則級發(fā)散vvn例4

判別下列級數(shù)的斂散性.(1)sinn

1n

limn

sin

1nn

發(fā)散

原級數(shù)發(fā)散(2)n

n

tan

13

lim

2

13n

n

n

收斂

收斂4比值審斂法定理

設(shè)u

為正項(xiàng)級數(shù)，如果limn

unun

則當(dāng)

u數(shù)收;(limnnun

時級數(shù)發(fā);時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散證略，可參考教材）例5

判別下列級數(shù)的斂散性：(1)

n

3n

ulimnu3n

級數(shù)收斂!(2)n(3)nx

n

limn

un級數(shù)發(fā)散u2nnlimn

unun

x

0x斂,

x發(fā)散

x發(fā)散5.根值審斂---柯西判別法3

或limr或limr定理

為正項(xiàng)級數(shù)nnnnn

則

時級數(shù)收斂或limn

n

時級數(shù)發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散（證略，可參考教材）n例6判別下列級數(shù)的斂散性(1)

n

1nn

n

un

n

110(nn

級數(shù)收斂(2)

n

n

n

un

53

級數(shù)發(fā)散6根限斂法（與—級數(shù)作比較）定理

為正項(xiàng)級數(shù)，nn(1)如nunn

nn

發(fā)散；nn(3)如果limn

u

收斂。nn例7

判別下列級數(shù)的斂散性（1n

n

limnn

,

發(fā)散.（2n

n

2

limunnn

tan22

,斂二交級及審法交錯級數(shù)：(4)13或14

其u

都是正數(shù)．定理(萊布尼茲定理

如累交錯級

n

u滿足條件:nun

n

n(1,2,3,);(2)limnn則級數(shù)收斂，且其S,其余項(xiàng)的絕對值rn

n

.4

nn分析：先證明S的極限存在,為此把S寫成兩種形式:2n2ns

2

)1234

2n

)2及

s

2

u))145

u

2

2

)

2

.根據(jù)條件(1)知所有括弧中的差非負(fù)的由第一種形式可

2n

二種形式可見s

2n

1

，因單調(diào)有界數(shù)列必有極限，當(dāng)

,

2n

趨于一個極限

s，且limsn

2n

u.1再證明項(xiàng)的和的極限也是s,事實(shí)上，s2n+1

2

2

2

.由條件(2)知limn

2

,因limn

2n

lim(n

2n

2n

).由limn

2n

sn

2n

n

n

u收斂于和s,且s.n最后rn

(

n

n

,

rn

n

n

,上式右端是一個交錯級數(shù)，它滿足收斂的兩個條件，所以rn(n例8判別級的斂散性。nn

n

.畢．1解unn

u

n

(

1,2,

)limunnn

1n

,所以它是收斂的，且其和。三絕收與件斂任意項(xiàng)級數(shù)134

它的各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)絕對值級數(shù)：

為正項(xiàng)級數(shù)，如果收斂,則稱級nnnnn

u絕對收斂；n如果級收斂,發(fā)散，則條件收斂。nnnnn如

((絕對收斂nnn

n

條件收斂定理

如果級絕對收斂,則級必定收斂.nn5

分析收斂，vnn

12

()(nnn

),顯vun

n

().由比較審斂法收斂，從v也收斂.nnnn,n

u

n

2n

u,所n

u收斂。nnn注意上述定理的逆定理并不成立TH8說明,,用正項(xiàng)級數(shù)的審斂法判定收斂。一般地，發(fā)nnn

nn散不能斷定

u也發(fā)散但是若用比值審斂法或根值審斂法判定n

u發(fā)散則可斷nn

n發(fā)散，因?yàn)閺倪@兩個審斂法的證明,上述兩種審斂法判u發(fā)散的依據(jù)nnn是不趨于n