第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

根據(jù)這一準(zhǔn)則，則稱該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這時(shí)，

由于即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是一個(gè)單調(diào)增的數(shù)列.我們知道，單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

我們可得到判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一個(gè)定理.因此有≥≥第二節(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第十二章無窮級(jí)數(shù)

定理

1

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界.即其部分和數(shù)列有界，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)例

1

試判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)解

由于該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且部分和定理2(比較審斂法)

設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)那么:≤證結(jié)論(1)的證明

:為了利用定理1，≤

就有常數(shù)M

存在，

證明結(jié)論(2)的方法讀者不難自行完成，這里從略.≤于是Sn≤M例

2

討論級(jí)數(shù)此級(jí)數(shù)稱為

p

級(jí)數(shù).解

當(dāng)p=1時(shí)，

此時(shí)

p

級(jí)數(shù)故發(fā)散.當(dāng)p<1時(shí)，而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，這時(shí)

p級(jí)數(shù)發(fā)散.

其中

p

為正常數(shù).≥所以由比較審斂法的結(jié)論(2)可知，yOx123nn+1圖12-1

即圖中帶陰影線的面積和.當(dāng)

p>1時(shí)，觀察其前

n

項(xiàng)和對(duì)于每一個(gè)確定的p

值，

于是由定理1可知，這時(shí)p級(jí)數(shù)收斂.根據(jù)定積分的幾何意義，顯然所以部分和數(shù)列有界.綜上所述可知:p級(jí)數(shù)當(dāng)p≤1時(shí)發(fā)散;

p>1時(shí)收斂

.例

3證利用比較審斂法.注意到

根據(jù)級(jí)數(shù)性質(zhì)2知道，例

4

試判定解所給正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.它是收斂的，所以由比較審斂法可知，仔細(xì)分析例3與例4，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，或無理式時(shí)，該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，否則發(fā)散.而其分子分母都是n

的多項(xiàng)式(常數(shù)是零次多項(xiàng)式)只要分母的最高次數(shù)高出分子最高次數(shù)一次以上(不包括一次)，例

5

試判定以下正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性:分子是n的一次多項(xiàng)式，

解

(1)因?yàn)橥?xiàng)的分母中，n

的最高次數(shù)為二次，

分母僅比分子高一次，故該級(jí)數(shù)發(fā)散.其中分母n

的最高次數(shù)為次，分子是零次，分母比分子高次，

定理

3(達(dá)朗貝爾(dAlembert)比值審斂法)

設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果極限存在，那么(1)

當(dāng)

<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂;(2)

當(dāng)

>1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)

當(dāng)

=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.證明從略，只作以下的說明:(1)當(dāng)<1時(shí)，則當(dāng)

n充分大后有而大于0且小于1的等比級(jí)數(shù)，(2)當(dāng)>1時(shí)，有而

>1，所以級(jí)數(shù)的后一項(xiàng)大于前一項(xiàng).則當(dāng)

n充分大后，也可能發(fā)散.例

6

試證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)證利用比值審斂法，因?yàn)樗约?jí)數(shù)收斂.例

7

討論級(jí)數(shù)解因?yàn)楫?dāng)x<e，即<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)x>e，即>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)x=e時(shí)，但是，由于數(shù)列