離散型隨機(jī)變量的期望與方差

離散型隨機(jī)變量的期望與方差考點(diǎn)搜索●數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式●期望與方差的基本性質(zhì)，二項(xiàng)分布的期望與方差公式猜想1.以實(shí)際問題為背景，求隨機(jī)變量的期望與方差.2.利用期望和方差對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行決策與比較.1.若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為則稱Eξ=①___________________________為數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望.ξx1x2…xn…PP1P2…Pn…x1p1+x2p2+…+xnpn+…2.如果離散型隨機(jī)變量ξ所有可能取的值是x1，x2

，…，xn，…且取這些值的概率分別為p1，p2，…，pn，…，則稱Dξ=②——————————————————————————————叫做隨機(jī)變量ξ的方差.Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的③________，記作④___.(x1-Eξ)2·p1+(x2-Eξ)2·p2+…+(xn-Eξ)2·pn+…標(biāo)準(zhǔn)差σξ3.期望與方差的基本性質(zhì)：(1)E(aξ+b)=⑤_________，D(aξ+b)=⑥______;(2)若ξ～B(n，p)，則Eξ=⑦_(dá)___，Dξ=⑧___________.aEξ+ba2Dξnpnp(1-p)1.設(shè)投擲1顆骰子的點(diǎn)數(shù)為ξ，則(

)

A.Eξ=3.5，Dξ=3.52B.Eξ=3.5，Dξ=C.Eξ=3.5，Dξ=3.5D.Eξ=3.5，Dξ=B解：ξ可以取1，2，3，4，5，6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=16，所以Dξ=［(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2］2.設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的事故率為0.01，若發(fā)射10次，其出事故的次數(shù)為ξ，則下列結(jié)論正確的是()A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-kD.P(ξ=k)=解：ξ～B(n，p)，Eξ=10×0.01=0.1，P(ξ=k)=A3.有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量ξ1、ξ2，已知Eξ1=Eξ2，Dξ1＞Dξ2，則自動(dòng)包裝機(jī)

的質(zhì)量較好.解：Eξ1=Eξ2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣；Dξ1>Dξ2說明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定，所以乙機(jī)質(zhì)量好.乙題型1

利用基本公式求數(shù)學(xué)期望1.(1)某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響.設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中去，設(shè)ξ表示空盒子的個(gè)數(shù)，求Eξ.分析：第(2)小題中每個(gè)球投入到每個(gè)盒子的可能性是相等的，所以總的投球方法數(shù)為44，空盒子的個(gè)數(shù)可能為0個(gè)，此時(shí)投球方法數(shù)為，所以；空盒子的個(gè)數(shù)為1時(shí)，此時(shí)投球方法數(shù)為所以.同樣可分析得出P(ξ=2)，P(ξ=3).解：(1)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”“客人游覽乙景點(diǎn)”“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件A、B、C，由已知A、B、C相互獨(dú)立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(C)=0.6.據(jù)題意，ξ的可能取值為1，3.其中P(ξ=3)=P(A·B·C)+P(··)=2×0.4×0.5×0.6=0.24.P(ξ=1)=1-0.24=0.76.所以Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.(2)ξ的所有可能的取值為0，1，2，3.所以ξ的分布列為所以點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.計(jì)算數(shù)學(xué)期望可以在求得分布列后，直接按公式計(jì)算即可.ξ0123P

某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球、1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出兩個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額.求：(1)X的分布列；(2)X的數(shù)學(xué)期望.解：(1)X的所有可能取值為0，10，20，50，60.

故X的分布列為

(2)X010205060P題型2求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望2.為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).記ξ為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.解:記第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai,Bi,Ci，i=1，2，3.由題意知A1,A2,A3相互獨(dú)立，B1,B2,B3相互獨(dú)立，C1,C2,C3相互獨(dú)立，Ai,Bj,Ck(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)=

，P(Bi)=

，P(Ci)=

.解法1：設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為η，由已知η~B(3，)，且ξ=3-η.所以故ξ的分布列為ξ的數(shù)學(xué)期望ξ0123P解法2：第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Di，i=1,2,3，由已知，D1，D2，D3相互獨(dú)立，且P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=所以ξ~B(3,),即故ξ的分布列為ξ的數(shù)學(xué)期望點(diǎn)評(píng)：若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)式分布時(shí)，可由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式(若ξ~B(n，p)，則Eξ=np)更簡(jiǎn)便的求得期望.ξ0123P為了拓展網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)，騰訊公司為用戶推出了多款應(yīng)用，如“農(nóng)場(chǎng)”“音樂”“讀書”等．市場(chǎng)調(diào)查表明，用戶在選擇以上三種應(yīng)用時(shí)，選擇農(nóng)場(chǎng)、音樂、讀書的概率分別為、、，現(xiàn)有甲、乙、丙三位用戶獨(dú)立任意選擇以上三種應(yīng)用中的一種進(jìn)行添加．(1)求三人所選擇的應(yīng)用互不相同的概率；(2)記ξ為三人中選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場(chǎng)”或“音樂”的人數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：記第i名用戶選擇的應(yīng)用是“農(nóng)場(chǎng)”“音樂”“讀書”分別為事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由題意知A1，A2，A3相互獨(dú)立，B1，B2，B3相互獨(dú)立，C1，C2，C3相互獨(dú)立，且Ai，Bj，Ck(i，j，k=1,2,3且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P(Ai)=，P(Bi)=，P(Ci)=.(1)他們選擇的應(yīng)用互不相同的概率P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.解：(2)設(shè)3位用戶選擇的應(yīng)用是“讀書”的人數(shù)是η，由已知η～B(3，)，且ξ=3-η，題型3

利用分解與合成原理求數(shù)學(xué)期望3.甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官悾筷?duì)三名隊(duì)員，甲隊(duì)隊(duì)員是A1，A2，A3，乙隊(duì)隊(duì)員是B1，B2，B3.根據(jù)以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：A1勝B1的概率為，A2勝B2的概率為，A3勝B3的概率為，按上述對(duì)陣方式出場(chǎng)，每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)甲、乙兩隊(duì)最后所得總分分別為ξ、η，求Eξ、Eη.解法1：根據(jù)題意，ξ的可能取值為3，2，1，0，且ξ+η=3.所以因?yàn)棣?-ξ+3，所以解法2：設(shè)甲隊(duì)隊(duì)員Ai(i=1，2，3)每場(chǎng)的得分為ξi，則ξ=ξ1+ξ2+ξ3.因?yàn)棣?的可能取值為1，0，且所以同理所以點(diǎn)評(píng)：如果兩個(gè)隨機(jī)變量ξ、η滿足一定的關(guān)系式：η=aξ+b，則E(aξ+b)=aEξ+b，利用這個(gè)公式可方便快捷地求相關(guān)隨機(jī)變量的期望.某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班.若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一