（新課標(biāo)）2023春高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)新人教A版必修5

PAGEPAGE10學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)(解三角形、數(shù)列局部)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．在銳角三角形ABC中，A＝2C，那么eq\f(a,c)的范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742572)(C)A．(0,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(2)，eq\r(3)) D．(eq\r(3)，2)[解析]eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sin2C,sinC)＝2cosC，又A＋B＋C＝π，A＝2C，∴eq\f(π,6)<C<eq\f(π,4)，∴eq\r(2)<eq\f(a,c)<eq\r(3).2．(2022·安徽蚌埠市質(zhì)檢)2a＝3b＝m，且a，ab，b成等差數(shù)列，那么m＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742573)(C)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．eq\r(6) D．6[解析]∵2a＝3b＝m，∴a＝log2m，b＝log又∵a，ab，b成等差數(shù)列，∴2ab＝a＋b?2＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logm2＋logm3＝logm6，∴m＝eq\r(6).3．在△ABC中，假設(shè)(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，那么這個(gè)三角形是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742574)(D)A．底角不等于45°的等腰三角形B．銳角不等于45°的直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形[解析]由正弦定理，得asinB＝bsinA，∴asinBcosB＝csinAcosC，sinAsinBcosB＝sinCsinAcosC．∴sin2B＝sin2C∴B＝C，或2B＝π－2C，即B＋C＝eq\f(π,2).4．等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，那么數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和S9等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742575)(B)A．66 B．99C．144 D．297[解析]設(shè)bi＝ai＋ai＋3＋ai＋6，那么由條件知{bn}為等差數(shù)列，且b1＝39，b3＝27，∴公差d＝eq\f(b3－b1,2)＝－6，∴數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和a1＋a2＋…＋a9＝b1＋b2＋b3＝3b2＝3(b1＋d)＝3×(39－6)＝99.5．△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，那么△ABC的外接圓的直徑為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742576)(C)A．4eq\r(3) B．5C．5eq\r(2) D．6eq\r(2)[解析]∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB，∴c＝4eq\r(2).由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝25，∴b＝5.由正弦定理，得2R＝eq\f(b,sinB)＝5eq\r(2)(R為△ABC外接圓的半徑)，應(yīng)選C．6．(2022·新課標(biāo)Ⅰ文，7){an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．假設(shè)S8＝4S4，那么a10＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742577)(B)A．eq\f(17,2) B．eq\f(19,2)C．10 D．12[解析]由題可知：等差數(shù)列{an}的公差d＝1，因?yàn)榈炔顢?shù)列Sn＝a1n＋eq\f(nn－1d,2)，且S8＝4S4，代入計(jì)算可得a1＝eq\f(1,2)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d，那么a10＝eq\f(1,2)＋(10－1)×1＝eq\f(19,2).故此題正確答案為B．7．在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>b>c，a2<b2＋c2，那么A的取值范圍為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742578)(C)A．(eq\f(π,2)，π) B．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) D．(0，eq\f(π,2))[解析]由題意，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，∴A<eq\f(π,2).又a>b>c，∴A>B>C．又∵A＋B＋C＝π，∴A>eq\f(π,3)，應(yīng)選C．8．(2022·唐山市一模)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝eq\f(5,2)，a2＋a4＝eq\f(5,4)，那么eq\f(Sn,an)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742579)(C)A．4n－1 B．4n－1C．2n－1 D．2n－1[解析]設(shè)公比為q，那么a1(1＋q2)＝eq\f(5,2)，a2(1＋q2)＝eq\f(5,4)，∴q＝eq\f(1,2)，∴a1＋eq\f(1,4)a1＝eq\f(5,2)，∴a1＝2.∴an＝a1qn－1＝2×(eq\f(1,2))n－1，Sn＝eq\f(2[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))＝4[1－(eq\f(1,2))n]，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(4[1－\f(1,2)n],2×\f(1,2)n－1)＝2(2n－1－eq\f(1,2))＝2n－1.[點(diǎn)評(píng)]用一般解法解出a1、q，計(jì)算量大，假設(shè)注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求eq\f(Sn,an)，可簡(jiǎn)明解答如下：∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝eq\f(1,2)，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a11－qn,1－q),a1qn－1)＝eq\f(1－qn,1－q·qn－1)＝eq\f(1－\f(1,2n),\f(1,2)·\f(1,2n－1))＝2n－1.9．根據(jù)下邊框圖，對(duì)大于2的整數(shù)N，輸出的數(shù)列的通項(xiàng)公式是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742580)(C)A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝2(n－1)C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n－1[解析]由程序框圖可知a1＝2，a2＝22，a3＝23，∴an＝2n.10．等比數(shù)列{an}中，an>0，a5、a95為方程x2－10x＋16＝0的兩根，那么a20·a50·a80的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742581)(B)A．32 B．64C．256 D．±64[解析]由條件知a5＋a95＝10，a5·a95＝16，∵{an}是等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,50)＝16，∵an>0，∴a50＝4，∴a20a50a80＝aeq\o\al(3,50)＝64.11．△ABC中，A︰B＝1︰2，∠ACB的平分線CD把△ABC的面積分成3︰2兩局部，那么cosA等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742582)(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．0[解析]∵CD為∠ACB的平分線，∴點(diǎn)D到AC與點(diǎn)D到BC的距離相等，∴△ACD與△BCD的高相等．∵A︰B＝1︰2，∴AC>BC．∵S△ACD︰S△BCD＝3︰2，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2).由正弦定理，得eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2)，又∵B＝2A，∴eq\f(sin2A,sinA)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(3,2)，∴cosA＝eq\f(3,4).12．假設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，那么函數(shù)f(x)的圖象eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742583)(B)A．與x軸相切 B．在x軸上方C．在x軸下方 D．與x軸交于兩點(diǎn)[解析]函數(shù)f(x)相應(yīng)方程的判別式Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c＝(2bccosA)2－4b2c＝4b2c2(cos2∵0<A<π，∴cos2A－1<0，∴Δ∴函數(shù)圖象與x軸沒(méi)交點(diǎn)．應(yīng)選B．二、填空題(本大題共4小題，每題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)13．(2022·安徽文，13)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,2)(n≥2)，那么數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于27.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742584)[解析]∵n≥2時(shí)，an＝an－1＋eq\f(1,2)，且a1＝1，∴{an}是以1為首項(xiàng)，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴S9＝9×1＋eq\f(9×8,2)×eq\f(1,2)＝9＋18＝27.14．三角形一邊長(zhǎng)14，它對(duì)的角為60°，另兩邊之比為8︰5，那么此三角形面積為40eq\r(3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742585)[解析]設(shè)另兩邊長(zhǎng)為8x和5x，那么cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2)，∴x＝2，∴另兩邊長(zhǎng)為16和10，此三角形面積S＝eq\f(1,2)×16×10·sin60°＝40eq\r(3).15．假設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)，那么a2022＝－1.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742586)[解析]∵a1＝2，an＝1－eq\f(1,an－1)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，a3＝1－eq\f(1,a2)＝－1，a4＝1－eq\f(1,a3)＝2，a5＝1－eq\f(1,a4)＝eq\f(1,2)，……∴數(shù)列{an}的值呈周期出現(xiàn)，周期為3.∴a2022＝a3＝－1.16．(2022·新課標(biāo)Ⅰ理，16)a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，那么△ABC面積的最大值為eq\r(3).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742587)[解析]由a＝2，(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC及正弦定理可得，(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴A＝60°.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，(等號(hào)在b＝c時(shí)成立)，∴bc≤4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(此題總分值12分)(2022·河北邯鄣市一模)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足acosB＋bcosA＝2ccosC．eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742588)(1)求C；(2)假設(shè)△ABC的面積為2eq\r(3)，a＋b＝6，求∠ACB的角平分線CD的長(zhǎng)度．[解析](1)acosB＋bcosA＝2ccosC，由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，所以sin(A＋B)＝2sinCcosC，即sinC＝2sinCcosC．因?yàn)?<C<π，所以cosC＝eq\f(1,2)，故C＝eq\f(π,3).(2)方法一：由，得S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab＝2eq\r(3)，所以ab＝8.又a＋b＝6，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝4))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2.))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝4))時(shí)，由余弦定理，得c2＝4＋16－2×2×4×eq\f(1,2)＝12，所以c＝2eq\r(3).所以b2＝a2＋c2，△ABC為直角三角形，∠B＝eq\f(π,2).因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠BCD＝eq\f(π,6).在Rt△BCD中，CD＝eq\f(2,cos\f(π,6))＝eq\f(4\r(3),3).當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝2))時(shí)，同理可得CD＝eq\f(2,cos\f(π,6))＝eq\f(4\r(3),3).方法二：在△ABC中，因?yàn)镃D平分∠ACB，所以∠ACD＝∠BCD＝eq\f(π,6).因?yàn)镾△ABC＝S△ACD＋S△BCD，所以S△ABC＝eq\f(1,2)b·CD·sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)a·CD·sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)CD·sineq\f(π,6)·(a＋b)＝eq\f(1,4)(a＋b)·CD．因?yàn)镾△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，即2eq\r(3)＝eq\f(1,4)×6·CD，解得CD＝eq\f(4\r(3),3).18．(此題總分值12分)(2022·甘肅省一診)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，假設(shè)m＝(cos2eq\f(A,2)，1)，n＝(cos2(B＋C)，1)，且m∥n.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742589)(1)求角A；(2)當(dāng)a＝6，且△ABC的面積S滿足eq\r(3)＝eq\f(a2＋b2－c2,4S)時(shí)，求邊c的值和△ABC的面積．[解析](1)因?yàn)閙∥n，所以cos2(B＋C)－cos2eq\f(A,2)＝cos2A－cos2eq\f(A,2)＝cos2A－eq\f(cosA＋1,2)＝0，即2cos2A－cosA－1＝0，(2cosA＋1)(coaA所以cosA＝－eq\f(1,2)或cosA＝1(舍去)，即A＝120°.(2)由eq\r(3)＝eq\f(a2＋b2－c2,4S)及余弦定理，得tanC＝eq\f(\r(3),3)，所以C＝30°.又由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝2eq\r(3).所以△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝3eq\r(3).19．(此題總分值12分)(2022·廣西自治區(qū)質(zhì)檢)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq\f(3,2)an－1(n∈N*).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742590)(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2log3eq\f(an,2)＋1，求eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bn－1bn).[解析](1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(3,2)a1－1，∴a1＝2.∵Sn＝eq\f(3,2)an－1，①Sn－1＝eq\f(3,2)an－1－1(n≥2)，②∴①－②得an＝(eq\f(3,2)an－1)－(eq\f(3,2)an－1－1)，即an＝3an－1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，∴an＝2·3n－1.(2)由(1)得bn＝2log3eq\f(an,2)＋1＝2n－1，∴eq\f(1,b1b2)＋eq\f(1,b2b3)＋…＋eq\f(1,bn－1bn)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋…＋eq\f(1,2n－32n－1)＝eq\f(1,2)[(1－eq\f(1,3))＋(eq\f(1,3)－eq\f(1,5))＋…＋(eq\f(1,2n－3)－eq\f(1,2n－1))]＝eq\f(n－1,2n－1).20．(此題總分值12分)用分期付款的方式購(gòu)置一批總價(jià)為2300萬(wàn)元的住房，購(gòu)置當(dāng)天首付300萬(wàn)元，以后每月的這一天都交100萬(wàn)元，并加付此前欠款的利息，設(shè)月利率為1%.假設(shè)從首付300萬(wàn)元之后的第一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月，問(wèn)分期付款的第10個(gè)月應(yīng)付多少萬(wàn)元？全部貸款付清后，買(mǎi)這批住房實(shí)際支付多少萬(wàn)元？eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742592)[解析]購(gòu)置時(shí)付款300萬(wàn)元，那么欠款2000萬(wàn)元，依題意分20次付清，那么每次交付欠款的數(shù)額依次購(gòu)成數(shù)列{an}，故a1＝100＋2000×0.01＝120(萬(wàn)元)，a2＝100＋(2000－100)×0.01＝119(萬(wàn)元)，a3＝100＋(2000－100×2)×0.01＝118(萬(wàn)元)，a4＝100＋(2000－100×3)×0.01＝117(萬(wàn)元)，…an＝100＋[2000－100(n－1)]×0.01＝121－n(萬(wàn)元)(1≤n≤20，n∈N*)．因此{(lán)an}是首項(xiàng)為120，公差為－1的等差數(shù)列．故a10＝121－10＝111(萬(wàn)元)，a20＝121－20＝101(萬(wàn)元)．20次分期付款的總和為S20＝eq\f(a1＋a20×20,2)＝eq\f(120＋101×20,2)＝2210(萬(wàn)元)．實(shí)際要付300＋2210＝2510(萬(wàn)元)．即分期付款第10個(gè)月應(yīng)付111萬(wàn)元；全部貸款付清后，買(mǎi)這批住房實(shí)際支付2510萬(wàn)元．21．(此題總分值12分)在△ABC中，假設(shè)a2＋c2－b2＝ac，log4sinA＋log4sinC＝－1，S△ABC＝eq\r(3)，求三邊a，b，c的長(zhǎng)及三個(gè)內(nèi)角A，B，C的度數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)54742593)[解析]由a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2).∵0°<B<180°，∴B＝60°.∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)ac×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴ac＝4.①由log4sinA＋log4sinC＝－1，得sinAsinC＝eq\f(1,4).由正弦定理，得eq\f(ac,4R2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(4,4R2)＝eq\f(1,4)，∴R＝2(負(fù)值舍去)．∴b＝2RsinB＝2×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).由，得a2＋c2－(2eq\r(3))2＝4.②當(dāng)a>c時(shí)，由①②，得a＝eq\r(6)＋eq\r(2)，c＝eq\r(6)－eq\r(2).∴三邊的長(zhǎng)分別為a＝eq\r(6)＋eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2).由正弦定理，得sinA＝eq\f(a,2R)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝sin105°.∴A＝105°，即C＝15°.同理，當(dāng)a<c時(shí)，a＝eq