數(shù)值運(yùn)算微分方程求解與函數(shù)優(yōu)化

關(guān)于數(shù)值運(yùn)算微分方程求解與函數(shù)優(yōu)化第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四一、命令行的基本操作創(chuàng)建矩陣的方法直接輸入法規(guī)則：矩陣元素必須用[]括住矩陣元素必須用逗號或空格分隔在[]內(nèi)矩陣的行與行之間必須用分號分隔

第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四》a=1;b=2;c=3;》x=[5bc;a*ba+cc/b]x=5.0002.0003.0002.0004.0001.500》y=[2,4,5;368]y=245368第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四

矩陣元素可以是任何matlab表達(dá)式，可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)可用特殊函數(shù)I，j輸入。大的矩陣可以用分行輸入，回車鍵代表分號。

a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

矩陣元素第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四符號的作用逗號和分號的作用

逗號和分號可作為指令間的分隔符，matlab允許多條語句在同一行出現(xiàn)。

分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結(jié)果。第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四注意：只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都存儲在工作空間中，以后可隨時(shí)顯示或調(diào)用。變量名盡可能不要重復(fù)，否則會(huì)覆蓋。當(dāng)一個(gè)指令或矩陣太長時(shí)，可用???續(xù)行第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四冒號的作用

用于生成等間隔的向量，默認(rèn)間隔為1。用于選出矩陣指定行、列及元素。循環(huán)語句第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當(dāng)一項(xiàng)操作無結(jié)果時(shí)，返回空陣。rand——隨機(jī)矩陣eye——單位矩陣zeros——全部元素都為0的矩陣ones——全部元素都為1的矩陣diag——產(chǎn)生對角矩陣第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例

》eye(2，3)》zeros(2，3)ans=ans=

1

0

00

0

00

1

00

0

0》ones(2，3)ans=1

1

11

1

1》V=[572]；A=diag(V)A=5

0

00

7

00

0

2第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例

》eye(2)

ans=

1

0

0

1》zeros(2)

ans=

0

0

0

0》ones(2)

ans=

1

1

1

1第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四也可用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù)。例

》a=linspace(1,10,10)a=

12345678910第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四

還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、魔方矩陣(magic)、對角矩陣、范德蒙等矩陣的創(chuàng)建，就不一一介紹了。注意：matlab嚴(yán)格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個(gè)不同的變量。

matlab函數(shù)名必須小寫。第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四3.用m文件創(chuàng)建矩陣對于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個(gè)M文件。下面通過一個(gè)簡單例子來說明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣。例利用M文件建立MYMAT矩陣。第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(1)啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或Matlab文本編輯器，并輸入待建矩陣。(2)把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設(shè)文件名為mymatrix.m)。(3)在Matlab命令窗口中輸入mymatrix，即運(yùn)行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四4.用冒號表達(dá)式創(chuàng)建矩陣?yán)妹疤柋磉_(dá)式可以線性等間距地建立一個(gè)向量來創(chuàng)建矩陣

一般格式是：e1:e2:e3

其中e1為初始值，e2為步長，e3為終止值。

或者為：（start:step:end）例》a=[1:2:10]a=13579第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四5.矩陣的修改直接修改可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動(dòng)到要修改的矩陣元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=來修改。第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四把Matlab工作空間中一些有用的數(shù)據(jù)長久保存下來的方法是生成mat數(shù)據(jù)文件。

save——將工作空間中所有的變量存到matlab.mat文件中。二、數(shù)據(jù)的保存與獲取默認(rèn)文件名第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四savedata——將工作空間中所有的變量存到data.mat文件中。savedataab——將工作空間中a和b變量存到data.mat文件中。

下次運(yùn)行Matlab時(shí)即可用load指令調(diào)用已生成的mat文件。第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四load——loaddata——loaddataab——mat文件是標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制文件，還可以ASCII碼形式保存。即可恢復(fù)保存過的所有變量第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四矩陣加、減（＋,－）運(yùn)算規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應(yīng)元素相加減。允許參與運(yùn)算的兩矩陣之一是標(biāo)量。標(biāo)量與矩陣的所有元素分別進(jìn)行加減操作。三、矩陣運(yùn)算第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.矩陣乘（）運(yùn)算規(guī)則：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)標(biāo)量可與任何矩陣相乘a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bc=143223

第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四d=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.2832

矩陣除的運(yùn)算在線性代數(shù)中沒有，有矩陣逆的運(yùn)算，在matlab中有兩種矩陣除運(yùn)算。第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四兩種除法：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四a^p——a自乘p次冪

方陣>1的整數(shù)3.矩陣乘方——a^n,a^p,p^a對于p的其它值,計(jì)算將涉及特征值和特征向量，如果p是矩陣，a是標(biāo)量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次冪；如a,p都是矩陣，a^p則無意義。第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※當(dāng)一個(gè)方陣有復(fù)數(shù)特征值或負(fù)實(shí)特征值時(shí)，非整數(shù)冪是復(fù)數(shù)陣。第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四a^0.5ans=

0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四inv——矩陣求逆det——行列式的值eig——矩陣的特征值diag——對角矩陣’——矩陣轉(zhuǎn)置sqrt——矩陣開方4.矩陣的其它運(yùn)算第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四5.矩陣的范數(shù)矩陣范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算矩陣V的

2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計(jì)算矩陣V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計(jì)算矩陣V的∞—范數(shù)。第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四6.矩陣的一些特殊操作矩陣的變維

a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向

rot90:旋轉(zhuǎn);fliplr:左右翻;flipud:上下翻矩陣的抽取

diag:抽取主對角線;(對于非方陣的情況?)

tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角，然后其余補(bǔ)零元素矩陣的擴(kuò)展第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四關(guān)系運(yùn)算

關(guān)系符號意義<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四

關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四(3)當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。注意：其書寫方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號不盡相同。第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)組運(yùn)算指元素對元素的算術(shù)運(yùn)算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運(yùn)算不同。數(shù)組加減(.+,.-)a.+ba.-b7.矩陣的數(shù)組運(yùn)算對應(yīng)元素相加減（與矩陣加減等效）第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.數(shù)組乘除(，./，.\）ab——a，b兩數(shù)組必須有相同的行和列兩數(shù)組相應(yīng)元素相乘。a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四a./b=b.\aa.\b=b./aa./b=b.\a—都是a的元素被b的對應(yīng)元素除，“/”是斜杠a.\b=b./a—都是b的元素被a的對應(yīng)元素除，“\”是反斜杠例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000——給出a,b對應(yīng)元素間的商.第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四3.數(shù)組乘方(.^)—元素對元素的冪例:a=[123];b=[456];z=a.^2z=1.004.009.00z=a.^bz=1.0032.00729.00(1.^42.^53.^6)第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四matlab語言把多項(xiàng)式表達(dá)成一個(gè)行向量，該向量中的元素是按多項(xiàng)式降冪排列的。

f(x)=a0xn+a1xn-1+……an-1x+an

可用行向量p=[a0a1……an-1an]表示poly——產(chǎn)生特征多項(xiàng)式系數(shù)向量特征多項(xiàng)式一定是n+1維的特征多項(xiàng)式第一個(gè)元素一定是1四、多項(xiàng)式運(yùn)算第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多項(xiàng)式p(x)=x3-6x2-72x-27的系數(shù)matlab描述方法，我們可用：p1=poly2str(p,‘x’)—函數(shù)文件，顯示數(shù)學(xué)多項(xiàng)式的形式p1=x^3-6x^2-72x–27注意：多項(xiàng)式中缺少的冪次用‘0’補(bǔ)齊。第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.roots——求多項(xiàng)式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)---------求由p構(gòu)成的多項(xiàng)式的根r=12.12-5.73——顯然r是矩陣a的特征值

-0.39第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)然我們可用poly令其返回多項(xiàng)式形式(這是poly的第二個(gè)功能)p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab規(guī)定多項(xiàng)式系數(shù)向量用行向量表示，一組根用列向量表示。第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四P=poly(r),輸入r是多項(xiàng)式所有根，返回值為代表多項(xiàng)式的行向量形式。P=poly(A)，輸入是N*N的方陣，返回值p是長度為N+1的行向量多項(xiàng)式，它是矩陣A的特征多項(xiàng)式，也就是說多項(xiàng)式p的根是矩陣A的特征值。第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四求根的另一種方法str1='x^3-6x^2-72x-27';p1=str2poly(str1);r=roots(p1);注：str2poly實(shí)現(xiàn)把一個(gè)字符串表示的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為一個(gè)行向量表示的多項(xiàng)式。

poly2str同理。第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四3.conv多項(xiàng)式乘運(yùn)算(向量卷積)例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)或c=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,‘x’)其中x表示自變量p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+18第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四4.deconv多項(xiàng)式除運(yùn)算(解卷積)a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)它們之間的關(guān)系為:c=conv(a,d)+r第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四5.多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)或微分matlab提供polyder函數(shù)計(jì)算多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)。命令格式：polyder(p):求p的導(dǎo)數(shù)polyder(a,b):求多項(xiàng)式a,b乘積的導(dǎo)數(shù)[p,q]=polyder(a,b):求多項(xiàng)式a除以b的商的導(dǎo)數(shù)，并以p/q的格式表示。

第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四6.多項(xiàng)式的積分matlab提供polyint函數(shù)計(jì)算多項(xiàng)式的積分。命令格式：polyint(p,k):求多項(xiàng)式p的積分，設(shè)積分的常數(shù)項(xiàng)為k，polyint(p)默認(rèn)k=0例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyint(a,8)b=0.20.51.02.05.08.0poly2str(b,'x')ans=0.2x^5+0.5x^4+x^3+2x^2+5x+8第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四五、代數(shù)方程組求解matlab中有兩種除運(yùn)算左除和右除。對于方程ax=b，a為an×m矩陣，有三種情況：當(dāng)n=m時(shí)，此方程成為“恰定”方程當(dāng)n>m時(shí)，此方程成為“超定”方程當(dāng)n<m時(shí)，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運(yùn)算可以很方便地解上述三種方程第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四1.恰定方程組的解方程ax=b(a為非奇異)x=a-1

b

矩陣逆兩種解:x=inv(a)b—采用求逆運(yùn)算解方程x=a\b—采用左除運(yùn)算解方程注：若a為奇異的，則Matlab適當(dāng)給出警告信息或者給出結(jié)果為inf。第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=13第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.超定方程組的解方程的個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，方程一般無解。方程解(a'a)x=a'bx=(a‘

a)-1a’b——求逆法(也用到了最小二乘解的原理)x=a\b——matlab用最小二乘法找一個(gè)準(zhǔn)確地基本解。第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3a=[12;23;34];b=[1;2;3];

解1x=a\b

解2x=inv(a'a)a'b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四3.欠定方程組的解

當(dāng)方程數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)時(shí),即不定情況,有無窮多個(gè)解存在。matlab可求出兩個(gè)解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小長度或范數(shù)的解，這個(gè)解是基于偽逆pinv求得的。第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多種，常用的有Euler（歐拉法）、RungeKutta(龍格-庫塔法。Euler法稱一步法，用于一階微分方程第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)給定仿真步長時(shí)：所以

yn+1=yn+h·f(xn,yn)n=0,1,2…y(x0)=y0第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四RungeKutta法龍格-庫塔法：實(shí)際上取兩點(diǎn)斜率的平均斜率來計(jì)算的，其精度高于歐拉算法。龍格-庫塔法：ode23ode45

k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k1)第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例：x+(x2-1)x+x=0為方便令x1=x，x2=x分別對x1,x2求一階導(dǎo)數(shù)，整理后寫成一階微分方程組形式

x1=x2x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程······第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四建立m文件functionxdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)給定區(qū)間、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=[00.25]';[t,x]=ode23('wf',t0,tf,x0)plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四命令格式:[T,Y]=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件functiondxdt=wf(t,x)dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];求解微分方程[t,x]=ode23(@wf,[030],[00.25]);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2))第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四七、函數(shù)優(yōu)化尋優(yōu)函數(shù)：fmin——單變量函數(shù)fmins——多變量函數(shù)constr——有約束條件無約束條件第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例1：f(x)=‘x2+3x+2’在[-55]區(qū)間的最小值f=fmin('x^2+3*x+2',-5,5)例2：f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在x1=a,x2=a2處有最小值functionf=xun(x,a)f=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(a-x(1)).^2;x=fmins('xun',[0,0],[],[],sqrt(2))第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四八、數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析相關(guān)的函數(shù)位于目錄：toolboxs\matlab\datafun下Matlab對矩陣操作的規(guī)定：如果是向量，則對數(shù)據(jù)整體操作；如果是矩陣，則對矩陣的列操作。max——各列最大值mean——各列平均值sum——各列求和std——各列標(biāo)準(zhǔn)差var——各列方差sort——各列遞增排序cumsum——元素累計(jì)和cumprod——元素累計(jì)積第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四八、數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)分析相關(guān)的函數(shù)位于目錄：toolboxs\matlab\datafun下。Matlab對矩陣操作的規(guī)定：如果是向量，則對數(shù)據(jù)整體操作；如果是矩陣，則對矩陣的列操作。max——各列最大值mean——各列平均值sum——各列求和std——各列標(biāo)準(zhǔn)差var——各列方差sort——各列遞增排序cumsum——元素累計(jì)和cumprod——元素累計(jì)積第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四例：x=[1324],y=[1238;5674]sort(x),sort(y),max(y)>>1234>>12345678>>5678第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四九、擬合與插值多項(xiàng)式擬合采用最小二乘法對給定的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，最后給出多項(xiàng)式的系數(shù)。

p=polyfit(x,y,n)，采用n次多項(xiàng)式p來擬合數(shù)據(jù)x和y，從而使得y與p(x)最小均方差最小。第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四x0=0:0.1:1;y0=[-.4471.9783.115.255.024.664.014.583.455.359.22];p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915-87.117440.0070-0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四曲線擬合圖形用戶接口Matlab7.0提供了支持曲線擬合的圖形用戶接口。在“Figure”窗口“Tools\BasicFitting”菜單中。為了使用該工具，先用待擬合的數(shù)據(jù)畫圖。x=0:0.2:10;y=0.25*x+20*sin(x);plot(x,y,'ro');在復(fù)選框“Plotfits”中選擇“cubic”。第72頁，共81頁，2023年，2月20日，星期四2.插值插值的定義——是對某些集合給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)之間函數(shù)的估值方法。當(dāng)不能很快地求出所需中間點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，插值是一個(gè)非常有價(jià)值的工具，它可以在已知數(shù)據(jù)之間尋