河北省高碑店2021-2022學(xué)年高考仿真卷數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知定義在R上的偶函數(shù)/'(幻，當(dāng)時(shí)，/(x)="—三手，設(shè)a=/(ln0),b=/(、/^),c=/(ln￥),

則()

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.c>a>b

2.曲線y=(ox+2)/在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-2x+〃，則而二()

A.-4B.-8C.4D.8

3.已知正四面體ABC。的棱長(zhǎng)為1,。是該正四面體外接球球心，且而=x旃+y*+z而，%,y,z￡R,則

x+y+z=（）

31

A.-B.-

43

11

C.一D.-

24

4.在平行四邊形ABC。中，48=3,4。=2,4戶=14反40=^415,若再.西=12,則乙4。。=()

5萬(wàn)c3兀C兀1、兀

A.—B.——C.—2U.一

6432

x-2,（x>10）

5.設(shè)/。）="…，則八5)=()

/[/（x+6）],（x<10）

A.10B.11C.12D.13

2.（2"+1）,

6,已知數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式是巴;

=nsinl---71\9貝!Jq+4+/+?一+%2=（）

A.0B.55C.66D.78

7.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上,PA_L平面ABC,AABC是邊長(zhǎng)為2百的等邊三角形，若球。

的表面積為20%,則直線PC與平面所成角的正切值為()

2

BD

4-Tc卡-T

8.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面，已知這三人都不會(huì)違約且無(wú)兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概

率是（）

1111

A.-B.—C.-D.一

3456

9.復(fù)數(shù)二”的虛部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

10.要得到函數(shù)y=；cosx的圖象，只需將函數(shù)y=；sin（2x+g］的圖象上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的1不（縱坐標(biāo)不變），再向左平移Z彳T個(gè)單位長(zhǎng)度

1兀

B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一（縱坐標(biāo)不變），再向右平移自個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移占個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度

11.已知{4}為等差數(shù)列，若4=2%+1，%=2%+7,則牝=（）

A.1B.2C.3D.6

12.已知集合A={y|y=|xL1,xGR},B={x|x>2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3GAB.3^BC.APB=BD.AUB=B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某部隊(duì)在訓(xùn)練之余，由同一場(chǎng)地訓(xùn)練的甲、乙、丙三隊(duì)各出三人，組成3x3小方陣開展游戲，則來(lái)自同一隊(duì)的戰(zhàn)士

既不在同一行，也不在同一列的概率為.

14.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

15.（5分）在長(zhǎng)方體A8C0-A4GA中，已知棱長(zhǎng)43=1,體對(duì)角線兩異面直線G。與4A所成的角

為45。，則該長(zhǎng)方體的表面積是.

16.若函數(shù)/（x）=sin2x-百cos2x的圖像向左平移g個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖像.則g（x）在區(qū)間-￡，子上的

最小值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,NA0C=9O。，平面底面

ABCD,。為AZ＞的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)且PM=3MC,PA=PD=2,8C=-A0=1,CD=2.

2

（1）求證：平面PQBJ_平面以PAQ；

（2）求二面角M-BQ-C的大小.

18.（12分）設(shè)數(shù)列（-）的前-項(xiàng)和為-且--；--_+；，數(shù)列廣、滿足---，點(diǎn)-（--1在

I--j——c一口+J——一丁,i--J_I':，一口

二一二+2=0上，二6I''

（1）求數(shù)列｛二_｝,｛二一｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)_求數(shù)列［二的前二項(xiàng)和二一

19.（12分）已知｛4｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,,且S”為％與一的等差中項(xiàng).

an

（1）求證：數(shù)列｛S,,2｝為等差數(shù)列；

（2）設(shè)么=上5-,求也｝的前100項(xiàng)和加.

%

20.（12分）已知函數(shù)/（幻=6、一/+2。+6（xeR）的圖象在x=0處的切線為y=/zx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求。）的值；

（2）若AeZ,且，（幻+耳（3——5X—2Q20對(duì)任意xeR恒成立，求Z的最大值.

21.（12分）已知｛4｝是遞增的等比數(shù)列，4=1,且2々、5%、4成等差數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)2=：；-------；-------,〃eN*，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“.

，，J

10g2a?+1-10g267?+3

1,

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=e'-ac+5x2,其中[>—1.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(D)設(shè)/i(x)=/(幻+奴一；/一]nx,求證：h(x)>2；

(III)若/(x)》gx2+%+〃對(duì)于xwR恒成立，求人一。的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷a，c關(guān)系；由x?O時(shí)，/(x)=e'-上f+二2A*，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)g(x)=",

由g'(x)進(jìn)而判斷函數(shù)/(x)在0時(shí)的單調(diào)性，即可比較大小.

【詳解】

/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以c=/In等卜(-卜母=/(ln碼

所以a=c；

當(dāng)x?0時(shí)，/(為=/_二2二

貝！J[(x)=e-—1,

令g(x)=6犬7-]

貝Ug'(x)="—1,當(dāng)x2O時(shí)，g'(x)=e*—120,

貝必(%—%20時(shí)單調(diào)遞增,

因?yàn)間(O)=e°—O—l=O,所以g(x)="-x-120,

即f'(x)=e'-x-1>Q,

-4-9Y

則/(幻="-土F在x20時(shí)單調(diào)遞增，

而O<ln0<&，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/ln^^/(lnV2)</(V2)

即a=c<〃，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

2.B

【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出。，根據(jù)切線過(guò)點(diǎn)(0,2)求出b即可.

【詳解】

因?yàn)閥=(ax+2)e”,

所以y'=e'(ax+2+a),

故％=>'Lo=2+a=-2,

解得a=-At

又切線過(guò)點(diǎn)(0,2),

所以2=—2x0+/?,解得b=2,

所以必=—8,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.

3.A

【解析】

3

如圖設(shè)"，平面BCD,球心。在AE上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得AO=-A/,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,

4

重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出x+y+z的值.

【詳解】

如圖設(shè)A/，平面BCD,球心。在A尸上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形8CQ是正三角形,

在直角三角形RO8中,

OB'=OF2+BF2nOA2=(夸一AO)2+(y^)2nAO=當(dāng)，

3___,________

AO^-AF,~AF=AB+BF>AF=Al5+DF>AF-AC+CF>因?yàn)槭瑸橹匦?，因此?FC+立i=6，則

4

.1/■..\13

3AF=AB+AC+AD>因此4。=一AB+4C+4。，因此x=y=z=-,則x+y+z=-,故選A.

4K'44

【點(diǎn)睛】

本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.

4.C

【解析】

..../.....I.

由CP=CB+BP=-AD——AB,CQ=CD+DQ=-AB——AD，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得NBAD=

323

利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】

如圖所示,

平行四邊形A8CO中，AB=3,AD=2,

AP=-AB,AQ=^AD,

______9__

:.CP=CB+BP=-AD——AB,

3

CQ=CD+DQ=-AB-^AD,

因?yàn)槌?詼=12,

221----24—------

=-AB+-AD+-ABAD

323

214

=-X32+-X22+-X3X2XCOSZBA￡>=12,

323

1Jt

cosABAD=-,：.ZBAD=—,

23

IT27r

所以NAOC=萬(wàn)—2=，,故選C.

33

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（1）平行四邊

形法則（平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是

和）.

5.B

【解析】

根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求應(yīng)10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值.

【詳解】

x-2（x>10）

???/⑸=Af（l）］

=/（9）=/［/,（15）］

=/（13）=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

2〃+1

先分?為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出sin--------兀的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后代入

2

q+%+%+…+4?轉(zhuǎn)化計(jì)算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

sin(甲萬(wàn)＞"〃萬(wàn)+總="乃+￡|=而與=7,

解：由題意得，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),

"空乃卜in(m+3=sin>l

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，%,=-〃2;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4=〃2,

所以4+%+%■)---《2

=-12+22-32+42-----112+122

=(22-12)+(42-32)+-+(122-112)

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+---+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

12x(1+12)

-2

=78

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

7.C

【解析】

設(shè)。為AB中點(diǎn),先證明CO，平面弘8,得出NCPO為所求角，利用勾股定理計(jì)算PA,PD,CD，得出結(jié)論.

【詳解】

P

設(shè)。,E分別是AB,的中點(diǎn)AEA8=尸

?.?Q4_L平面ABC:.PALCD

?.?AABC是等邊三角形：.CD±AB

又P4n4?=A

\CC)A平面的，/。尸。為PC與平面Q鉆所成的角

?「AA3C是邊長(zhǎng)為2百的等邊三角形

2

CO=AE=3,AF=—AE=2且口為A43C所在截面圓的圓心

3

???球。的表面積為207，球。的半徑。4=行

:.OF=^O^-AF2=1

?.?44,平面ABC:.PA-2OF=2

:.PD=y/PAr+AD2=S

CD33不

tanNCPD=——

PD

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來(lái)求解

出線段長(zhǎng)，屬于中檔題.

8.D

【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事

件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.

【詳解】

甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，

其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，

所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是

6

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

,5i5/(1-20等=2+，,所以居的虛部是1

故選C.

因?yàn)椤?+2;=(l7+2Lz)(l-2」z)、

10.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

=，sin[x+四]

為得到？=5。。5尤2I2)

將y=；sin[2x+橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),

式

故可得y=]SinX4---

3

再將y=；sin(x+?)向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，

-1.(7in\1.(%)1

故可得y=7；sin|x+—+—=—sinx+—~—cosx.

2I3oJ2I2)2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a$.

【詳解】

同｝為等差數(shù)列，a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a1+d=2(a[+2d)+1

e，[a,+3d=2(a,+2d)+7'

解得a】=-10,d=3,

:.a5=a1+4d=-10+11=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

試題分析：集合A={y|yN-l}.?.8=A，AcB=B

考點(diǎn)：集合間的關(guān)系

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.

140

【解析】

分兩步進(jìn)行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，對(duì)每一行選人；最后，利用計(jì)算出概率即可.

【詳解】

首先，第一行隊(duì)伍的排法有A；種；第二行隊(duì)伍的排法有2種；第三行隊(duì)伍的排法有1種；然后，第一行的每個(gè)位置的

人員安排有種；第二行的每個(gè)位置的人員安排有種；第三行的每個(gè)位置的人員安排有1x1x1種.所以

=42.CCCC；C；C；

來(lái)自同一隊(duì)的戰(zhàn)士既不在同一行，也不在同一列的概率尸

140

故答案為：——.

140

【點(diǎn)睛】

本題考查了分步計(jì)數(shù)原理，排列與組合知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

1

14.-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張,

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,

（2,2）,（2,4）,（3,3）,（4,4）.

O1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為P=T7=-.

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15.10

【解析】

作出長(zhǎng)方體ABC。/14GA如圖所示，由于AA〃R。，則NCQR就是異面直線G。與A4所成的角，且

NCQD|=45。，在等腰直角三角形G。力中，由CQ=48=1,得。Q=l,又AC=在工逅?二指，則4。=2,

從而長(zhǎng)方體ABCD-A,B]CR的表面積為2x(lxl+lx2+2xl)=10.

16.一也

【解析】

注意平移是針對(duì)自變量X,所以g(x)=/(x+g7)T=2sin(2xT-TW),再利用整體換元法求值域(最值)即可.

o12

【詳解】

7171TC713乃兀兀27r

2sin[2(x+-)--]-2sin(2x--),又XG，故2x一有w[-7,丁],

o312l_KK」1233

2sin(2x[-6,2],所以g(x)的最小值為_垂).

故答案為：.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見解析；(2)30。.

【解析】

（1）推導(dǎo)出8//BQ,QB1AD,從而8QL平面PA0,由此證明平面PQB，平面以9。

（2）以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求出二面角"-8Q-C的大小.

【詳解】

解：（1）AD〃BC,BC=^AD,。為的中點(diǎn)，

二四邊形BCDQ為平行四邊形，二CD//BQ.

vZA￡）C=90°,.,?^AQB=90°,即

又?平面RS，平面ABC。，且平面24。A平面ABC。=4），

BQJ_平面PAD.

???BQu平面P08,

???平面平面PAQ.

（2）-/PA=PD,。為AO的中點(diǎn)，

PQ1AD.

???平面Q4￡>J_平面ABCO,且平面PAOn平面ABCD=AD,

PQ，平面ABC。.

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則平面BQC的一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,

2（0,0,0）,網(wǎng)0,0,@,B（0,2,0）,C（-l,2,0）,

設(shè)M（x,y,z）,則PM=（x,y,z-G）,MC=（-l-x,2-y,-z）,

PM=3MC>

x—3(—1—x)

，y=3(2-y),

z—5/3=—3z

3

x=——

4

3

V3

Z-——

4

_33叵

在平面中，()西=

M8Q9=0,2,0,~~~,~9~~9

424J

設(shè)平面MBQ的法向量為m=(x,y,z),

2y=0

m-QB=0

則，即〈336，、，

m-QM=0——x+—y+——z=0

I42.4

:?平面MQB的一個(gè)法向量為m=(1,0,百,

./_一\(1,0,73).(0,0,1)73

一cos----------------------=——'

22

由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為30。.

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.(1)二二=3j二二=1+(二-J>2=2二

【解析】

(1)利用-_與--的遞推關(guān)系可以--的通項(xiàng)公式；-點(diǎn)代入直線方程得-一，_-_=、，可知數(shù)列廠_、是等差數(shù)列,

用公式求解即可.(2)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

【詳解】

。)由二二U=2二匚+/可得口口=2二二-+/(□>2)，

兩式相減得---二二+[=3二二(二2

又二、=二二+1=產(chǎn)所以二.=3二1故｛二一:是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列?所以二_=3二々.

由點(diǎn)二（二二，二二+Q在直線二一二+2=。上，所以二二+/-二二=

則數(shù)列｛二7是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.則二_=j+（二_1）.二=二二一］

-,因?yàn)?...?所以，^：—,?

l口二/，一/L_I_JJ-/

-==—=-r_-=f十一？十一s十…十?一，

7^D=p+/+p+-+—+—

兩式相減得:

?J，J，?JJLJ-J

Un=:+不+…+TTTF.........-

LI3r3..尸

所以一

【點(diǎn)睛】

用遞推關(guān)系二_=二__二一;（二之二求通項(xiàng)公式時(shí)注意二的取值范圍，所求結(jié)果要注意檢驗(yàn)二=二的情況；由一個(gè)等差數(shù)

列和一個(gè)等比數(shù)列的積組成的數(shù)列求和，常用錯(cuò)位相減法求解.

19.（1）證明見解析；（2）10.

【解析】

（1）利用已知條件化簡(jiǎn)出2s“凡一。“2=1,當(dāng)〃=1時(shí)，H=l,當(dāng)“22時(shí)，再利用a,,=S“一S'-進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出

5/-S,,.,2=1,（?>2）,即可證明出｛S,：｝為等差數(shù)列；

（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為=冊(cè)-JF,再化簡(jiǎn)出

b?=9匕=/㈠？=（一D"（4+標(biāo)方），可直接求出也｝的前100項(xiàng)和小.

an7n7n-T

【詳解】

解：（1）由題意知2s“=4+」-,即2s“%—4：=i,①

當(dāng)”=1時(shí)，由①式可得E=1

又〃22時(shí)，有a“=S”—S,i，

代入①式得2s.(S?-S?_t)-(Sn-%『=1,

整理得S“2-S“T2=I,(〃N2),

{S:}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得S/=1+〃-1=〃，

???{4}是各項(xiàng)都為正數(shù)，S,=&,

，an=Sn-=G7n-毆n>2),

又4=￡=1,

:.an—4n-y]n-\,

=(-1)"(VH+

則bn==/(?y/n-1),

any/n-yjn-l

.-.7；?,=-l+(V2+l)-(^+V2)+----(x/100-l+7100-2)+(7100+Vux)-i)

=Vwo=io,

即：(00=10.

.,?{〃}的前100項(xiàng)和7^=10.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和，考查分析解題能力和計(jì)算能力.

20.(l)a=-l,b=l;(2)-l.

【解析】

⑴對(duì)/(X)求導(dǎo)得/'(x)=e'-2x,根據(jù)函數(shù)/(X)的圖象在x=o處的切線為y=版，列出方程組，即可求出。力

的值；(2)由(1)可得/(x)=e，一f一1,根據(jù)〃力+5(3/一5%-2k"0對(duì)任意工€??恒成立，等價(jià)于

女《/+(工2一^^一1對(duì)任意恒成立，構(gòu)造〃(x)="+gx2__|x-l,求出〃'(x)的單調(diào)性，由〃'(())<0,

“⑴>0,嗚

<0,可得存在唯一的零點(diǎn)看€使得〃'(占)=0,利用單調(diào)性可求出

//(xL=〃(％)，即可求出攵的最大值.

(1)/(x)=ev-x2+2〃+b,=-2x.

'/?(O)=l+2a+Z?=O

由題意知：l，(O)=j=Cl——1

b=1

(2)由(1)知：/(x)=e*-￡-i,

一51一2左）20對(duì)任意》€(wěn)/?恒成立

0/+工/一3%一1一人20對(duì)任意工€氏恒成立

22

1,5

=kMe'+-x一一x-1對(duì)任意xeR恒成立.

22

令/z(x)=e*+gx2-gx-1,貝！j“(x)=eX+x-；.

由于/(x)="+1>0,所以〃'(x)在R上單調(diào)遞增.

又“(0)=_g<0,“(l)=e_|>0,嗚卜混一2<0,"圖=/_(〉]+?_：=0,

23

所以存在唯一的與e，使得〃(%)=0,且當(dāng)XG(-00,Xo)時(shí),〃'(x)<o,%€(%,+8)時(shí)，”(同>0.即

254

在（-0。,天）單調(diào)遞減，在（不，+8）上單調(diào)遞增.

所以〃（x）min=〃（Xo）=e"+gx：_|xo_L

f

又〃'（5）=（）,即e%+x°=0,e°=^--x0.

〃（％）=|'一/+3%；一|'%0-1=；（片一7七+3）.

27」

；xeA(x)6

0o32，-8

又因?yàn)閆We'+g/—|X一1對(duì)任意恒成立一攵〈〃（%）,

又kwZ，：.kmaK=-l.

點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得

出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

〃

,c32+3

21.(D??=2-5(n)5fl=-2(〃+])(〃+2)?

【解析】

(i)設(shè)等比數(shù)列｛““｝的公比為4,根據(jù)題中條件求出q的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(H)求得勿=：(，-一]],然后利用裂項(xiàng)相消法可求得S“.

n〃+2

【詳解】

(I)設(shè)數(shù)列｛q｝的公比為由題意及q=1,知4>1.

3

2a2、彳4、4成等差數(shù)列成等差數(shù)列，，3。3=%+2/，???3d=/+2q,

即/-3q+2=0,解得4=2或q=l(舍去)，.?.4=2.

數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為《,=q/i=2"一

log2a?+1-log2tzn+3〃(〃+2)2n〃+2

+…+

n〃+2

_j_<3__1___1>3\(11>_3_2/2+3

212〃+1n+2)42(〃+1n+2)42(n+l)(n+2)*

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.(I)函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)減區(qū)間為(一8,0)；(II)證明見解析；(HI)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求導(dǎo)可得r'(x)=e'+l>0,所以r(x)在R上為增函數(shù)，進(jìn)而可得