高考數(shù)學一輪復習專題九平面解析幾何3橢圓綜合篇課件新人教A版

考點一橢圓的定義及標準方程1.定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和①等于

常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.集合語言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c為常數(shù).注意若2a=|F1F2|,則動點的軌跡是線段F1F2;若2a<|F1F2|,則動點的軌跡

不存在.考點清單(1)中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓的標準方程為

+

=1(a>b>0);(2)中心在坐標原點,焦點在y軸上的橢圓的標準方程為

+

=1(a>b>0).注意(1)焦點位置的判斷焦點在x軸上?標準方程中含x2項的分母較大;焦點在y軸上?標準方程中

含y2項的分母較大.(2)a2=b2+c2,即a最大.2.標準方程3.焦點三角形(1)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點,F1,F2為橢圓的兩焦點,則

=b2tan

,其中∠F1PF2=θ.(2)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點,F1,F2為橢圓的兩焦點,則△PF1F2的周長為2(a+c).(3)過焦點F1的弦AB與橢圓另一個焦點F2構(gòu)成的△ABF2的周長為4a.考點二橢圓的幾何性質(zhì)1.橢圓的方程與簡單幾何性質(zhì)

焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程②

+

=1(a>b>0)

+

=1(a>b>0)一般方程Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)圖形

焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)范圍|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a長軸長|A1A2|=2a短軸長|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c離心率e=③

=

(0<e<1),2.常用結(jié)論(1)設P,A,B是中心在原點的橢圓上不同的三點,其中A,B兩點關(guān)于原點對

稱,且直線PA、PB的斜率都存在,則kPA·kPB=-

.注意適用于焦點在x軸上,當焦點在y軸上時,直線PA與PB的斜率之積為

定值-

.(2)P是橢圓上一點,F為橢圓的焦點,則|PF|∈[a-c,a+c],即橢圓上的點到焦

點距離的最大值為a+c,最小值為a-c.(3)橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為

,通徑是最短的焦點弦.考點三直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷把橢圓方程

+

=1(a>b>0)與直線方程y=kx+h聯(lián)立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式,則:Δ=B2-4AC直線與橢圓的位置關(guān)系Δ>0直線與橢圓相交,有兩個公共點Δ=0直線與橢圓相切,有一個公共點Δ<0直線與橢圓相離,無公共點知識拓展點與橢圓的位置關(guān)系已知點P(x0,y0),橢圓

+

=1(a>b>0),則(1)點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?

+

<1;(2)點P(x0,y0)在橢圓上?

+

=1;(3)點P(x0,y0)在橢圓外?

+

>1.2.弦長公式設直線l:y=kx+m與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2).則|AB|=

;|AB|=

|x1-x2|=

;|AB|=

(k≠0).注意

對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),Δ≥0,|x1-x2|=

.3.弦中點問題設A(x1,y1),B(x2,y2)為弦端點坐標,P(x0,y0)為線段AB中點,其中k=

(x1≠x2).若橢圓方程為

+

=1(a>b>0),則k=-

.若橢圓方程為

+

=1(a>b>0),則k=-

.考法一與橢圓定義相關(guān)的問題知能拓展例1(1)已知點P是圓F1:(x+1)2+y2=16上任意一點,點F2與點F1關(guān)于原點對

稱,線段PF2的垂直平分線m分別與PF1,PF2交于M,N兩點,則點M的軌跡方

程為

.(2)過點M(0,1)的直線l交橢圓

+

=1于A、B兩點,F為橢圓的右焦點,則△ABF周長的最大值為

.解題導引(1)由于P在圓上,故|PF1|為定值;M在PF2的垂直平分線上,則|

MF2|=|MP|,結(jié)合圖形可知,|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|為定值,且大于|F1F2|,則M的軌跡是橢圓,進而求出方程.(2)要求△ABF周長最值,一種方法是找到取最值的幾何位置,另一種方法

是建立周長關(guān)于變量的函數(shù),從而求最值;結(jié)合本題,三邊均變化,同時A,B

在橢圓上,考慮位置,由于|AB|≤|AF1|+|BF1|,當AB過F1時取“=”,因此△ABF的周長|AB|+|BF|+|AF|≤|AF1|+|BF1|+|AF|+|BF|=4a(a為橢圓長半軸的長).解析(1)如圖所示,連接MF2,由題意知F2(1,0).∵直線m是線段PF2的垂直平分線,∴|MP|=|MF2|,又知|MP|+|MF1|=4,∴|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2.∴點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且2a=4,2c=2.∴b2=3.∴點M的軌跡方程為

+

=1.(2)設橢圓的左焦點為F1.如圖所示,連接AF1,BF1,由題意,可知橢圓的左、右焦點坐標分別為F1(-2,0),F(2,0),a=2

,又由橢圓的定義可得|AF|=4

-|AF1|,|BF|=4

-|BF1|,所以△ABF的周長為|AF|+|BF|+|AB|=8

+|AB|-(|AF1|+|BF1|),顯然|AF1|+|BF1|≥|AB|,當且僅當A,B,F1三點共線時周長最大,最大值為8

.答案(1)

+

=1(2)8

經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2019浙江高考數(shù)學仿真卷,3)以雙曲線

-x2=1的頂點為焦點,離心率為

的橢圓的標準方程為

()A.

+

=1

B.

+

=1

C.

+

=1

D.

+

=1解析由題意得橢圓的焦點在y軸上,且c=

,由橢圓的離心率

=

?a=3,所以所求橢圓的標準方程為

+

=1,故選D.答案

D考法二橢圓離心率問題的求法例2(1)(2019江西南康中學第二次大聯(lián)考,10)橢圓G:

+

=1(a>b>0)的兩個焦點為F1(-c,0),F2(c,0),M是橢圓上的一點,且滿足

·

=0,則橢圓離心率e的取值范圍為()A.

B.

C.

D.

(2)(2020山東濟南6月模擬,14)已知F1,F2分別是橢圓C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦點,A,B是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點,AF2的中點P恰好落在y軸

上,若

·

=0,則橢圓C的離心率為

.解析(1)解法一:設點M的坐標為(x0,y0),∵

·

=0,F1(-c,0),F2(c,0),∴(x0+c)·(x0-c)+

=0,即

+

=c2①,又知點M在橢圓G上,∴

+

=1②,由①②聯(lián)立結(jié)合a2-b2=c2解得

=

,由橢圓的性質(zhì)可得0≤

≤a2,即

即

所以c2≥b2,又知b2=a2-c2,∴c2≥a2-c2,即2c2≥a2,解得e2≥

,又知0<e<1,∴

≤e<1,故選D.解法二:∵

·

=0,∴MF1⊥MF2,即△MF1F2是以M為直角頂點的直角三角形,∵|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,∴橢圓的離心率e=

=

,又知(|MF1|+|MF2|)2≤2(|MF1|2+|MF2|2)=2|F1F2|2=8c2,∴|MF1|+|MF2|≤2

c,∴e=

≥

=

,當且僅當|MF1|=|MF2|=

c時,等號成立,又知0<e<1,∴e∈

.故選D.(2)由于AF2的中點P恰好落在y軸上,A,B是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點,所以AB過左焦點F1,且AB⊥F1F2,則不妨令A

,B

.因為P是AF2的中點,則P

.又F2(c,0),所以

=

.因為

=

,

·

=0,所以2c2-

=0,即2c=

.又b2=a2-c2,所以2ac=

(a2-c2),即

e2+2e-

=0,解得e=

或e=-

(舍去).答案(1)D(2)

經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2020四川南充順慶月考,15)設點P是橢圓C:

+

=1上的動點,F為C的右焦點,定點A(2,1),則|PA|+|PF|的取值范圍是

.解析如圖,設橢圓左焦點為F',由橢圓方程

+

=1,得a=2

,∴|PF|=2a-|PF'|=4

-|PF'|,則|PA|+|PF|=4

+(|PA|-|PF'|)=4

-(|PF'|-|PA|).連接AF',當P在AF'的延長線上時,|PA|-|PF'|最大為|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最大值為4

+

;當P在F'A的延長線上時,|PF'|-|PA|最大為|AF'|=

=

,∴|PA|+|PF|的最小值為4

-

.∴|PA|+|PF|的取值范圍為[4

-

,4

+

].答案

[4

-

,4

+

]考法三直線與橢圓位置關(guān)系問題的解法例3

(2020山東臨沂、棗莊考前練,21)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,其左、右焦點分別為F1,F2,點P為坐標平面內(nèi)的一點,且

=

,

·

=-

,O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程;(2)設M為橢圓C的左頂點,A,B是橢圓C上兩個不同的點,直線MA,MB的傾

斜角分別為α,β,且α+β=

.證明:直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.解析(1)設P點坐標為(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),則

=(-c-x0,-y0),

=(c-x0,-y0),由題意得

解得c2=3.∴c=

.又e=

=

,∴a=2,∴b2=a2-c2=1,∴所求橢圓C的方程為

+y2=1.(2)由題可知直線AB的斜率存在,則設直線AB方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立得

消去y得,(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∵α+β=

,∴tanα·tanβ=1,設直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,則k1k2=1,∴

·

=1,即(x1+2)(x2+2)=y1y2,可化為(x1+2)·(x2+2)=(kx1+m)(kx2+m),∴(k2-1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2-4=0,∴(k2-1)

+(km-2)

+m2-4=0,化簡得20k2-16km+3m2=0,解得m=2k或m=

k.當m=2k時,y=kx+2k,過點(-2,0),不合題意(舍去);當m=

k時,y=kx+

k,過點

,∴直線AB恒過定點

.方法總結(jié)1.判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,可通過討論直線方程與橢圓

方程組成的方程組的實數(shù)解組數(shù)來確定.一般通過消元得關(guān)于x(或y)的一

元二次方程,若Δ>0,則直線與橢圓相交;若Δ=0,則直線與橢圓相切;若Δ<0,

則直線與橢圓相離.2.弦長公式:設A(x1,y1),B(x2,y2)為直線與橢圓的兩個交點,直線AB的斜率存

在,設為k(k≠0),則|AB|=

|x1-x2|或|AB|=

|y1-y2|.3.設A(x1,y1),B(x2,y2)為橢圓

+

=1(a>b>0)上兩點,弦AB的中點為