對一能量類連接體問題的深入探討李中玉

對一能量類連接體問題的深入探討中山一中李中玉生活中“能量”一詞有著非常廣泛的運用.在物理學中，能量的知識和解決問題的方法都有著舉足輕重的地位.可以說，能量不僅影響著我們的日常生活，其知識點和求解思路也是歷年高考必查內容.教師和各類參考資料在這方面都非常重視，但有些題目在使用時卻需要謹慎.因為物理學是對實際問題的提煉和再現(xiàn)，必須符合客觀現(xiàn)實，并在此基礎上培養(yǎng)學生科學思維能力.如違背這一點，會將學生思維發(fā)展方向引上歧途，不利于其健康發(fā)展.筆者在教學中就遇到這樣一道題目，該類題型也見諸于其它參考資料中.該題目似是而非的解答，對教師和學生都有著相當?shù)牟涣加绊?。筆者將其整理如下，請各位讀者雅正。【原題】如圖1所示，質量為2m和m的可看作質點的小球A、B，用不計質量、不可伸長的細線相連，跨在固定光滑圓柱兩側，圓柱截面圓半徑為R.開始時，A球和B球與圓柱軸心同高，然后釋放A球，求：B球在圓柱上最高點時的速率.圖1B圖1BA【原解析】A、B兩球組成系統(tǒng)機械能守恒，所以所以B球在圓柱上最高點時速率.該解析是諸多教師、學生和參考資料的解答過程。從該解析用、求解，可看出該解析默認B球在圓柱上最高點為圓截面頂點.筆者以為，這是不合理的.因為有可能B球沒有上升到圓截面頂點時，已脫離圓柱.為此，應先分析B球脫離圓柱的位置，然后求解B球在圓柱上最高點時的速率.圖2圖2BAG1G2TθG設B球和圓柱截面圓心連線與水平方向夾角為θ時，B球與圓柱間彈力為零.此時對B球受力分析，如圖2.由向心力公式得(1)從釋放A球到B球剛要脫離圓柱時,A、B球組成系統(tǒng)機械能守恒,故(2)由(1)、(2)聯(lián)立得(3)這是一個超越方程，要中學生求解，存在非常大的難度。但對于一個出題者來說卻是不可或缺的。筆者在這里先用作圖法，再用半分插值法求解.1粗略分析用Excel，θ從零開始每增加200描一個點，在同一坐標圖中，分別作方程y=4θ和方程y=5sinθ的圖象，它們交點的橫坐標就是方程(3)的解，如圖3.yyθ05圖3y=4θy=5sinθ從圖3可看出方程(3)有兩個解.一個是θ＝0，另一個在～之間.這兩個解都小于，故原解析不正確.可是，僅這樣分析并不能解出最終結果.應怎樣才能解出B球在圓柱上最高點時速率呢？2用半分插值法精確求解為求出最終結果，筆者采用了半分插值法.該操作，依然在Execl中進行，其思路如下：(1)確定插值前兩端數(shù)值.首次是和，并求出各自對應的4θ-5sinθ值.(2)半分插值.求得θ在～之間的中間值，以及該中間值對應的4θ-5sinθ值.(3)確定新的兩端數(shù)值.比較θ為中間值時4θ-5sinθ值，與和時哪一個4θ-5sinθ值正負號相反，將該θ值與中間值作為下次插值端點數(shù)值.因與的4θ-5sinθ值正負號相反，故和為下次插值兩端數(shù)值.(4)以新兩端數(shù)值進行半分插值，至所需精度內4θ-5sinθ值等于零為止.筆者將該值精確到了小數(shù)點后兩位，如表1.表1插值次序θ(度)θ(弧度)4θ5sinθ4θ-5sinθ60π/3325π/72451π/1445103π/2886207π/57626513π/361707π/18804π/9從表1，可看出在所需精度內θ=即時，B球已脫離圓柱表面.將θ=帶入方程(1)解得B球到達圓柱上最高點時的速率v==.至此，我們已較為精確地解出了最終結果.對類似問題的求解，也當如此.半分插值法盡管對所有該類問題都能求解，但B球能到達圓柱圓截面頂點時，依然用該辦法求解，就顯得繁瑣了.因此，進一步探討B(tài)球上升至圓截面頂點的條件，將為我們解答此類問題帶來便捷.3B球能達到圓截面頂點的條件B球能上升是由A、B兩球質量不同引起的.對于A、B兩球質量之比為何值時，B球才能到達圓柱圓截面頂點呢？為此，我們不妨設A球質量是B球質量m的X倍，即Xm，令，帶入方程(1)、(2)中去求解，此時可解得X=；即A球質量為B球的倍時，B球可到達圓柱圓截面頂點，且恰好對圓柱無擠壓.根據(jù)能量轉化的關系可知，若X>，則B球在到達圓柱圓截面頂點前已脫離；若X<，則B球上升至圓柱圓截面頂點時，對圓柱有擠壓.要讓B球上升，A球的質量不能小于B球的.故B球能上升至頂點，A、B兩球質量之比X的范圍為：≥X>1.而原題中的X=2，顯然不在此范圍.這樣，在今后遇到該類問題時，我們便能確定其求解方法.若A、B兩球質量之比X范圍為：≥X>1，B球能到達圓截面頂點，采用原解析思路.若X取值范圍大于，B球不能上升至圓截面頂點，采用半分插值法.若X取值范圍小于1，則A球上升，其思路與B球上升時完全相同.這便為我們出