四川省岳池聯(lián)考2022年中考數(shù)學模擬試題含解析及點睛

2021-2022中考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.如圖是由幾個大小相同的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小正方體的個數(shù)，則該

幾何體的左視圖是()

2

12

1

2.解分式方程二7+2=—；，分以下四步，其中，錯誤的一步是()

x+1x-1X

A.方程兩邊分式的最簡公分母是(x-1)(x+1)

B.方程兩邊都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解這個整式方程，得x=l

D.原方程的解為x=l

3.把三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個三角形，第②個圖案中有4個三角形，第③個圖案中

有8個三角形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中三角形的個數(shù)為()

△&正

①②③④

A.15B.17C.19D.24

4.一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180。，那么這個多邊形的邊數(shù)是()

A.7B.8C.9D.10

5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=—在同一

x

平面直角-坐標系中的圖象可能是()

A.4X+5J=9XJB.(-m)3*?z7=/n10

C.(x3^)5=x8j5D.a12-ra8=a4

7.如圖，RSABC中，NC=90。，NA=35。，點D在邊BC上，BD=2CD.把△ABC繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)m(0

<m<180)度后，如果點B恰好落在初始RtAABC的邊上，那么m=()

A.35°B.60°C.70°D.70°或120°

8.在武漢市舉辦的“讀好書、講禮儀”活動中，某學校積極行動，各班圖書角的新書、好書不斷增多，除學校購買外，

還有師生捐獻的圖書.下面是七年級(1)班全體同學捐獻圖書的情況統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，該班平均每人捐書的冊數(shù)

是()

班級捐書人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

A.3B.3.2C.4

9.如圖，M是AABC的邊BC的中點，AN平分NBAC,BN_LAN于點N,且AB=10,BC=15,MN=3,則AC的長

是（）

A.12B.14C.16D.18

10.若代數(shù)式2x2+3x-1的值為1,則代數(shù)式4x2+6x-1的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

11.一個幾何體的三視圖如圖所示，這個幾何體是（）

俯視圖主視圖左視圖

A.棱柱B.正方形C.圓柱D.圓錐

12.如圖，矩形ABC。中，AB=U,BC=13,以3為圓心，BA為半徑畫弧，交8C于點E,以。為圓心，DA

為半徑畫弧，交BC于息F,則Ef的長為（）

9

A.3B.4C.-D.5

2

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.分式一［與」］的最簡公分母是___.

3a2ba-b

14.當關于x的一元二次方程ax2+bx+c=O有實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍時，稱之為“倍根方程”.如果

關于x的一元二次方程x2+（m-2）x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值為.

13579

15.觀察下列一組數(shù)：它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第"個數(shù)是.

16.如圖，邊長為6的菱形ABCD中，AC是其對角線，NB=60。，點P在CD上，CP=2,點M在AD上，點N在

AC上，則△PMN的周長的最小值為.

17.函數(shù)y=3bl的自變量X的取值范圍是

x—3

18.計算(-a)392的結(jié)果等于.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)如圖，已知點。在△ABC的外部，AD//BC,點E在邊A3上，AB*AD=BC*AE.求證：ZBAC=ZAED,

AnAf

在邊AC取一點凡如果NAFE=N。，求證：—=—

BCAC

20.(6分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)v=A(x>0)的圖象與直線y=x-2交于點A(3,m).求k、m的值;

X

已知點P(n,n)(n>0),過點P作平行于x軸的直線,交直線y=x-2于點M,過點P作平行于y軸的直線,交函數(shù)y=-(x>Q)

X

的圖象于點N.

①當n=l時，判斷線段PM與PN的數(shù)量關系，并說明理由；

②若PNNPM,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍.

21.(6分)如圖，AABC三個定點坐標分別為A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).

22.(8分)在。ABCD中，過點D作DEJ_AB于點E,點F在邊CD上，DF=BE,連接AF,BF.

(1)求證：四邊形DEBF是矩形；

(2)若AF平分NDAB,AE=3,BF=4,求^ABCD的面積.

23.(8分)某網(wǎng)店銷售甲、乙兩種羽毛球，已知甲種羽毛球每筒的售價比乙種羽毛球每筒的售價多15元，健民體育

活動中心從該網(wǎng)店購買了2筒甲種羽毛球和3筒乙種羽毛球，共花費255元.該網(wǎng)店甲、乙兩種羽毛球每筒的售價各

是多少元？根據(jù)健民體育活動中心消費者的需求量，活動中心決定用不超過2550元錢購進甲、乙兩種羽毛球共50筒,

那么最多可以購進多少筒甲種羽毛球？

"In

24.(10分)如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數(shù)>=—與y=—(x>(),0Vm<n)的圖象上，對角線

xx

BD//y軸，且BDLAC于點P.已知點B的橫坐標為1.當m=Ln=20時.

①若點P的縱坐標為2,求直線AB的函數(shù)表達式.

②若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由.四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m,

n之間的數(shù)量關系；若不能，試說明理由.

a

25.（10分）在AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點P是AABC內(nèi)一點，且NPAC+NPCA=一,連接PB,試探究PA、

2

PB、PC滿足的等量關系.

（1）當a=60。時，將AABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AACP。連接PP，，如圖1所示.由AABP^^ACP，可以證

得AAPP，是等邊三角形，再由NPAC+NPCA=30?？傻肗APC的大小為度，進而得到4CPP，是直角三角形，

這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關系為；

（2）如圖2,當a=120。時，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關系，并給出證明；

（3）PA、PB、PC滿足的等量關系為.

26.（12分）如圖，在RtAABC中，NC=90,AD平分/BAC,交BC于點D，點O

在AJB上，。。經(jīng)過A,D兩點，交AB于點E,交AC于點F.

求證：BC是。。的切線；若。。的半徑是2cm,F是弧AD的中點，求陰影部分的面積（結(jié)

BDC

果保留兀和根號）.

x+2x—1x-4

27.（12分）計算

x2-2xx2-4x+4x

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、D

【解析】

根據(jù)俯視圖中每列正方形的個數(shù)，再畫出從正面的，左面看得到的圖形：

幾何體的左視圖是：

故選D.

2、D

【解析】

先去分母解方程，再檢驗即可得出.

【詳解】

方程無解，雖然化簡求得X=1,但是將X=1代入原方程中，可發(fā)現(xiàn)義和-^―的分母都為零，即無意義,所以X。1,

即方程無解

【點睛】

本題考查了分式方程的求解與檢驗，在分式方程中，一般求得的X值都需要進行檢驗

3、D

【解析】

由圖可知：第①個圖案有三角形1個，第②圖案有三角形1+3=4個，第③個圖案有三角形1+3+4=8個，第④個圖案

有三角形1+3+4+4=12,…第n個圖案有三角形4(n-1)個(n>l時)，由此得出規(guī)律解決問題.

【詳解】

解：解：???第①個圖案有三角形1個，

第②圖案有三角形1+3=4個，

第③個圖案有三角形1+3+4=8個，

...第n個圖案有三角形4(n-1)個(n>l時)，

則第⑦個圖中三角形的個數(shù)是4x(7-1)=24個,

故選D.

【點睛】

本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)給定圖形中三角形的個數(shù)，找出an=4(n-1)是解題的關鍵.

4、A

【解析】

設這個正多邊形的邊數(shù)是〃，就得到方程,從而求出邊數(shù)，即可求出答案.

【詳解】

設這個多邊形的邊數(shù)為〃，依題意得：

180(/1-2)=360x3-180,

解之得

n=7.

故選A.

【點睛】

本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和與外角和，根據(jù)題目中的等量關系,構建方程求解

即可.

5、C

【解析】

b

試題分析：?.?二次函數(shù)圖象開口方向向下，...aVO,?.?對稱軸為直線犬=———>0,?與y軸的正半軸相交,

2a

.?.c>0,...y=ox+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=￡圖象在第一三象限，只有C選項圖象符合.故

x

選C.

考點：1.二次函數(shù)的圖象：2.一次函數(shù)的圖象；3.反比例函數(shù)的圖象.

6、D

【解析】

各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】

解：A、4x+5y=4x+5y,錯誤；

B、(-m)3?m7=-m10,錯誤；

C、(xJy)5=x15y5,錯誤；

D、a12va8=a4,正確；

故選D.

【點睛】

此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

7、D

【解析】

①當點B落在AB邊上時，根據(jù)DB=DBi,即可解決問題，②當點B落在AC上時，在RTADCB?中，根據(jù)NC=90。,

DB2=DB=2CD可以判定NCBZD=30。，由此即可解決問題.

【詳解】

①當點B落在AB邊上時，

??

?，--「-—--一-」9J

?*?—―------_

一一一一一一1一一

二二=二匚二二/=1SOS-2x55s=70”

②當點B落在AC上時，

在二二A二二二;中，

VZC=90°,二二.=二二=二二二，

二二匚二；匚=30”

'二=二二+二二二;二=120”

故選D.

【點睛】

本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題關鍵是考慮多種情況，進行分類討論.

8、B

【解析】七年級⑴班捐獻圖書的同學人數(shù)為9+18%=50人，捐獻4冊的人數(shù)為50x30%=15人，捐獻3冊的人數(shù)為

50-6-9-15-8=12人，所以該班平均每人捐書的冊數(shù)為(6+9x2+12x3+15x4+8x5)+50=3.2冊，故選B.

9、C

【解析】

延長線段BN交AC于E.

平分NBAC,:.NBAN=NEAN.

在△A5N與△AEN中，

":NBAN=NEAN,AN=AN,NAN8=NANE=90。，

.'.△ABNg△AEN(AS4)，：.AE=AB=ld,BN=NE.

又?:M是AABC的邊BC的中點，:.CE=2MN=2x3=6,

.,.AC=AE+CE=10+6=16.故選C.

10、D

【解析】

由2x?+lx-1=1知2x?+lx=2,代入原式2(2x?+lx)-1計算可得.

【詳解】

解：V2x2+lx-1=1,

.*.2x2+lx=2,

則4x2+6x-1=2(2x2+lx)-1

=2x2-1

=4-1

=1.

故本題答案為：D.

【點睛】

本題主要考查代數(shù)式的求值，運用整體代入的思想是解題的關鍵.

11、C

【解析】試題解析：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形可判斷出該幾何體是柱體,

根據(jù)俯視圖是圓可判斷出該幾何體為圓柱.

故選C.

12、B

【解析】

連接DF,在用△￡>C尸中，利用勾股定理求出CF的長度，則EF的長度可求.

【詳解】

連接DF,

?四邊形ABCD是矩形

...AB=CO=8E=12,AO=8C=。尸=13

在中，NC=90°

:.CF=^DF2-CD2=A/132-122=5

-：EC=BC-BE=\3-n=\

.?.所=CF—EC=5—1=4

故選：B.

【點睛】

本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關鍵.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、3a2b

【解析】

利用取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次幕的積作公分母求解即可.

【詳解】

分式￡與3耳

的最簡公分母是342b.故答案為3a2b.

【點睛】

本題考查最簡公分母，解題的關鍵是掌握求最簡公分母的方法.

14、-1或-4

【解析】

分析：

設“倍根方程”f+（加一2）x-2m=0的一個根為a,則另一根為2a,由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得

tz+2?=-(w2-2),??-?=-m,由此可列出關于m的方程，解方程即可求得m的值.

詳解：

由題意設“倍根方程—2)x-2m=0的一個根為c,另一根為加，則由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得:

a+2cr=-{ini-2),?a-a=—m,

.m-2

..a=--------,a~2=—m,

3

.(加-2、2_

..(-------)=~m,

3

化簡整理得：trr+5w+4=0?解得肛=-4,

故答案為：-1或-4.

點睛：本題解題的關鍵是熟悉一元二次方程根與系數(shù)的關系：若一元二次方程。12+法+。=。3工())的兩根分別為

hc

aa

、(39則+，=—9ctp=—.

2/7-1

15、

(〃+1)2

【解析】

2n—1

試題解析：根據(jù)題意得，這一組數(shù)的第〃個數(shù)為：一(一

(〃+1)

2n-l

故答案為7―市?

(〃+1)

點睛：觀察已知一組數(shù)發(fā)現(xiàn)：分子為從1開始的連續(xù)奇數(shù)，分母為從2開始的連續(xù)正整數(shù)的平方，寫出第〃個數(shù)即可.

16、2721

【解析】

過P作關于AC和AD的對稱點，連接6和鳥，過P作丹C_LBC,《和鳥，M,N共線時最短，根據(jù)對稱性得知

△PMN的周長的最小值為［鳥.因為四邊形ABCD是菱形，AD是對角線，可以求得NOb=60。，根據(jù)特殊三角形

函數(shù)值求得CF=l,Pb=G，PE=2y/3,再根據(jù)線段相加勾股定理即可求解.

【詳解】

過P作關于AC和AD的對稱點，連接《和鳥，過P作鳥C_L8C,

???四邊形ABCD是菱形，AD是對角線,

Z5=ABAC=ZBCA=ZDCA=ADAC=ND=60°,

vZfiCD+ZZ)CF=180°,

.NZXT=180°-120。=60°,

CFPF

?—=cos60°,—=sin60°

CPCP

.CF=I,PF=6

PE

?PD=CD-CP=4,——=sin60°

PD

.PE=26

又由題意得PE=2E,gP=PE+gE=46

:.FRuFP+PRu市

?.?[b=4C+CF=3

.,邛="『+（叼=2扃

【點睛】

本題主要考查對稱性質(zhì)，菱形性質(zhì)，內(nèi)角和定理和勾股定理，熟悉掌握定理是關鍵.

17、x>----且x#l

2

【解析】

分析：根據(jù)被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

詳解：根據(jù)題意得2x+l>0,x-#0,

解得且存1.

故答案為x>-—且X抖.

2

點睛：本題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍的確定，根據(jù)分母不等于0,被開方數(shù)大于等于0列式計算即可，是基

礎題，比較簡單.

18、-a5

【解析】

根據(jù)哥的乘方和積的乘方運算法則計算即可.

【詳解】

解：(-a)3?a2=-a3?a2=-a3+2=-as.

故答案為：-at

【點睛】

本題考查了塞的乘方和積的乘方運算.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、見解析

【解析】

(1)欲證明NA4C=NAE。，只要證明△CA4s即可；

ATyT)p

(2)由AD4EsZ\CA4,可得一=—,再證明四邊形4DE尸是平行四邊形，推出OE=AR即可解決問題;

BCAC

【詳解】

證明(1)'JAD//BC,

：.ZB=ZDAE,

'：ABAD=BC-AE,

.AB_BC

''~AE~~AD'

:ACBAsADAE，

：.ZBAC=NAED.

(2)由(1)得△OAEsacRl

AD_DE

:.ND=NC,

BC-AC

'：ZAFE=ZD,

:.NAFE=NC,

：.EF//BC,

?:AD//BC,

：.EF//AD,

'：ZBAC=ZAED,

：.DE//AC,

...四邊形ADEF是平行四邊形，

：.DE=AF,

?AD-AF

BC-AC"

【點睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考

常考題型.

20、(l)k的值為3,m的值為1；(2)0＜吐1或*3.

【解析】

分析：(1)將A點代入y=x-2中即可求出m的值，然后將A的坐標代入反比例函數(shù)中即可求出k的值.

(2)①當n=l時，分別求出M、N兩點的坐標即可求出PM與PN的關系；

②由題意可知：P的坐標為(n,n),由于PNNPM,從而可知PNN2,根據(jù)圖象可求出n的范圍.

詳解：(1)將A(3,m)代入y=x-2,

:.m=3-2=l,

AA(3,1),

將A(3,1)代入y=￡

X

k=3xl=3,

m的值為1.

(2)①當n=l時，P(1,1),

令y=L代入y=x-2,

x-2=L

/?x=3,

AM(3,1),

/.PM=2,

3

令x=l代入y=—,

x

?**y=3,

AN(1,3),

APN=2

APM=PN,

②P(n,n),

點P在直線y=x上，

過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點M,

M(n+2,n),

APM=2,

VPN>PM,

即PN>2,

AO<n<l或n>3

點睛：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，本題屬于基

礎題型.

21、(1)見解析；(2)圖見解析；

4

【解析】

(1)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構找出點A、B、C關于y軸的對稱點Ai、Bi、G的位置，然后順次連接即可.

(2)連接AiO并延長至Az,使A2O=2AQ,連接B.O并延長至B2,使B2O=2BIO,連接CiO并延長至C2,使C2O=2CIO,

然后順次連接即可，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答.

【詳解】

解：(1)△AiBiCi如圖所示.

(2)AAzB2c2如圖所示.

???△AiBiG放大為原來的2倍得到AAzB2c2,???△AIBICS^A2B2c2,且相似比為

22

?'?SAAIBICI：SAA2B2C2=(-)2=—.

24

22、（1）證明見解析（2）3

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可證DF〃EB,然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可證四

邊形DEBF是平行四邊形，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可證；

（2）根據(jù)（1）可知DE=BF,然后根據(jù)勾股定理可求AD的長,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求得DF=AD,

然后可求CD的長，最后可用平行四邊形的面積公式可求解.

試題解析：（1）???四邊形48CD是平行四邊形，

：.DC//AB,BPDF//EB.

又,：DF=BE,

二四邊形DEBF是平行四邊形.

'：DE±AB,

：.ZEDB=*）O°.

...四邊形。EBF是矩形.

（2）,四邊形OE5尸是矩形，

：.DE=BF=4,BD=DF.

DEA.AB,

40=VAE2+DE2=V32+42=1-

\'DC//AB,

：.ZDFA=ZFAB.

?.,A尸平分NZMB,

：.NDAF=NFAB.

：.ZDAF=ZDFA.

：.DF=AD=1.

：.AB=AE+BE=3+1=2.

；?SOABCD=AB?BF=2X4=3.

23、(1)該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元；(2)最多可以購進1筒甲種羽毛球.

【解析】

(1)設該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為x元，乙種羽毛球每筒的售價為y元，根據(jù)“甲種羽毛球每筒的售價比乙種羽

毛球每筒的售價多15元，購買了2筒甲種羽毛球和3筒乙種羽毛球共花費255元”，即可得出關于x,y的二元一次方

程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設購進甲種羽毛球，〃筒，則購進乙種羽毛球(50-%)筒，根據(jù)總價=單價x數(shù)量結(jié)合總費用不超過2550元，

即可得出關于機的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)設該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為x元，乙種羽毛球每筒的售價為y元,

x-y=15

依題意，得:

2x+3y=255

x=60

解得：〈

y=45

答：該網(wǎng)店甲種羽毛球每筒的售價為60元，乙種羽毛球每筒的售價為45元.

(2)設購進甲種羽毛球，"筒，則購進乙種羽毛球(50-m)筒，

依題意，得：60/n+45(50-/n)<2550,

解得：31.

答：最多可以購進1筒甲種羽毛球.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：(D找準等量關系，正確列出二元一

次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式.

24、(1)①y=-;x+3；②四邊形ABC。是菱形，理由見解析；(2)四邊形ABCD能是正方形，理由見解析，m+n=32.

【解析】

(1)①先確定出點A,B坐標，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

②先確定出點D坐標，進而確定出點P坐標，進而求出PA,PC,即可得出結(jié)論；

i/lJ1

(2)先確定出B(LD(1,一)，進而求出點P的坐標，再求出A,C坐標，最后用AC=BD,即可得出結(jié)論.

44

【詳解】

(1)①如圖1,

當x=4時，>=1,

.--5(4,1),

當y=2時,

:.2=-,

X

x=2,

??.A(2,2),

設直線AB的解析式為y=kx+b,

'2k+b=2

"“4女+。=1'

k=--

<2,

b=3

直線AB的解析式為y=—gx+3；

②四邊形ABC。是菱形,

理由如下：如圖2,

\o圖2X

由①知，

3D//.V軸，

￡＞（4,5）,

???點P是線段BO的中點，

??.P（4,3）,

44

當y=3時，由＞=一得，%=-,

x3

20320

由＞=—得，x=—,

x3

_8

:.PA^4--=-,PC=--4=—>

3333

:.PA^PC,

?;PB=PD,

■.四邊形ABC。為平行四邊形，

\'BD±AC,

四邊形ABCD是菱形；

（2）四邊形A3CD能是正方形，

理由：當四邊形ABCD是正方形,記AC,BD的交點為P,

BD=AC,

mmn_n

當Mx=4時，y=—=—,y=一

x4x~4

?斗》wa

“8mm+幾、~8nm+n、

???A(--------，C(---------，——)

m+nX//+〃8

-AC=BD9

.Sn8m_nm

,,-9

m+nm+n44

：.m+n=?>2.

【點睛】

此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，判斷出

四邊形ABCD是平行四邊形是解本題的關鍵.

25、(1)150,P/e+PC2=PB-(1)證明見解析(3)4PA2sin2-+PC2=PB2

2

【解析】

(D根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△步尸'為等邊三角形，得到NP?C=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

(1)如圖1,作將△43尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)110°得到AACP,連接尸產(chǎn)，作于。，根據(jù)余弦的定義得到PP

=y/3PA,根據(jù)勾股定理解答即可；

(3)與(1)類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關系計算即可.

試題解析：

【詳解】

解：(1)VAABP^AACP%

：.AP=AP',

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=60°,P'C=PB,

.?.△aiP，為等邊三角形，

ANAPP=60。，

VZPAC+ZPCA=-x60°=30°,

2

AZAPC=150°,

NP'PC=90°,

...PP"+PCi=P，Ci,

.?.■BV+PC』/〉外,

故答案為150,PA^PC^PB'；

(1)如圖，作NPAP=12()。，使AP'=AP,連接尸P，CP'.過點A作AD_LPP于。點.

???ZBAgNE4P=120°,

即ABAP+APAC=APAC+ACAP',

/.ZBAP=ZCAP'.

'：AB=AC,AP=AP,,

：.^BAP^CAP'.

1Qn°_/DAP'

/.P'C=PB,NAPAZAP'D=—~上±=30。.

2

'.'ADIPP',

：.ZADP=90°.

二在RtZ^APD中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

pp'=2PD=>/3AP.

VZPAC+NPC4=60。，

二ZAPC=180-ZPAC-ZPC4=120°.

:.ZP,PC=ZAPC-ZAPD=90°.

：.在RtAP'PC中，PP?+PC2=P'C1.

:.3PA2+PGPB?；

(3)如圖1,與(1)的方法類似，

作將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a得到△ACP',連接PP',

作于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=a,P'C=PB,

,a

：.NAPP=90?！?

2

a

VZPAC+ZPCA=—

29