圖形的軸對(duì)稱(chēng)講義

2.1圖形的軸對(duì)稱(chēng)

知識(shí)點(diǎn)梳理

1、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被同一條直線(xiàn)垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng);

②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，

就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn).

2、作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換

幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：

①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線(xiàn)作垂線(xiàn)，并確定垂足；

②直線(xiàn)的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線(xiàn)段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段的長(zhǎng)，得

到線(xiàn)段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

③連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形.

3、軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題

①、最短路線(xiàn)問(wèn)題

在直線(xiàn)L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B,在直線(xiàn)Z,上有到A、8的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以

通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)L

的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn).

1

A

B

P\：

②、凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線(xiàn)段的性質(zhì)定理.，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解

決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

題型梳理

題型一軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)直接運(yùn)用

1.如圖，在2X2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△48C,則與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格點(diǎn)

為頂點(diǎn)三角形共有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.如圖，直線(xiàn)MN是四邊形AM3N的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)尸是直線(xiàn)上的點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC./MAP=NMBPD./ANM=/BNM

2

3.如圖的2X4的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱(chēng)

為格點(diǎn)三角形，在網(wǎng)格中與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形一共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

4.如圖，若△ABC與△AbC關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，BB咬MN于點(diǎn)、0,則下列說(shuō)法不一定正

確的是（）

A.AC=A,CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

5.如圖，4鉆。與△￡?關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng),BE交/于點(diǎn)O,則下列說(shuō)法不一定正確的是（）

A.AC=DFB.BO=EOC.AD1.1D.AB//EF

題型二根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求邊和角

1.如圖，△48C和B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，若NA=50°,ZCZ=30°,則NB的

度數(shù)為（）

3

A.30°B.50°C.90°D.100°

2.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADIBC,垂足為Q,l\ADB與jl\

AZ）F關(guān)于直線(xiàn)AQ對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)5,則/。9的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

3.如圖，NMON內(nèi)有一點(diǎn)P,P點(diǎn)關(guān)于。歷的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是

H,G”分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若/MON=35°,則NGOH=（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.如圖，ZVIBC中，。點(diǎn)在BC上，NB=62°,NC=53°,將。點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)

稱(chēng)軸，畫(huà)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F,并連接AE、AF.則NE4F的度數(shù)為（）

BD

4

A.124°B.115°C.130°D.106°

5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在邊43,上，點(diǎn)A與點(diǎn)上關(guān)于直線(xiàn)CO對(duì)稱(chēng).若

AB=7,AC=9,8。=12,則△QBE的周長(zhǎng)為()

A.9B.10C.11D.12

6.如圖,△ABC與B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng),若NA=50°,ZC=20°,則N8度數(shù)

為()

C.90°D.30°

7.如圖，四邊形48co中，點(diǎn)8關(guān)于4C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"恰好落在CO上，若NBAD

=110°,則NAC8的度數(shù)為（)

A.40B.35°C.60°D.70°

8.如圖，四邊形A3CO中，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕恰好落在CO上，若NA4O

5

=a，則/ACB的度數(shù)為（)

11

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

9.如圖，中，/ACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處,

折痕為CQ,則NA'DB為.

10.如圖所示，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、08的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Pi,Pi,連接

P1P2交OA于交。8于N,PIP2=15,則△2m可的周長(zhǎng)為

X

0J/VA

耳

11.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖那樣折疊后，13、。兩點(diǎn)落在B'、。'點(diǎn)處，若得NAOB'

=70°,則/夕OG的度數(shù)為_(kāi)___.

6

12.如圖，正方形A8C。的邊長(zhǎng)為4c〃?，則圖中陰影部分的面積為cm2.

13.如圖，/MON內(nèi)有一點(diǎn)P,點(diǎn)P關(guān)于0M的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,點(diǎn)P關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

是H,GH分別交。例、ON于A、B點(diǎn)，若NMON=35°,則NGO，=.

14.如圖，/BAC=110°,若A,8關(guān)于直線(xiàn)M尸對(duì)稱(chēng)，A,C關(guān)于直線(xiàn)NQ對(duì)稱(chēng)，則/B4Q

的度數(shù)是.

15.如圖，在RtZ\ABC中，NB4c=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為￡>,AADB與^

關(guān)于直線(xiàn)AO對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)8,則NCAS的度數(shù)為.

16.如圖是小明制作的風(fēng)箏，為了平衡制成了軸對(duì)稱(chēng)圖形，已知OC是對(duì)稱(chēng)軸，NA=35°,

/BCO=30°,那么N4OB=度.

7

A

17.如圖，△AOB與ACOB關(guān)于邊OB所在的直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D.若

ZBOD=46°,ZC=22°,則NADC=°.

18.在△4BC中，AB=AC,NABC=75°,AO_LBC于點(diǎn)。，點(diǎn)。關(guān)于AB、AC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

分別為E、F,連接EF分別交AB、AC于點(diǎn)M、N,分別連接￡>M、DN,若49=6,則

△DMN的周長(zhǎng)為.

題型三軸對(duì)稱(chēng)與最值問(wèn)題

I.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線(xiàn)，P是4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

下列線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于8P+EP最小值的是（）

8

A

A.BCB.CEC.ADD.AC

2.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,△A8E是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形A8CQ內(nèi),

在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）

A.2V3B.2V6C.3D.V6

3.如圖，已知NO,點(diǎn)尸為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在NO的兩邊上找點(diǎn)A、B,使△必8周長(zhǎng)最

小的是（）

A.B.

C.D.

4.某平原有一條很直的小河和兩個(gè)村莊，要在此小河邊的某處修建一個(gè)水泵站向這兩個(gè)村

莊供水.某同學(xué)用直線(xiàn)（虛線(xiàn)）/表示小河，P,。兩點(diǎn)表示村莊，線(xiàn)段（實(shí)線(xiàn)）表示鋪

設(shè)的管道，畫(huà)出了如下四個(gè)示意圖，則所需管道最短的是（)

9

5.如圖，N4O8=30°,0C為/AOB內(nèi)部一條射線(xiàn)，點(diǎn)P為射線(xiàn)0c上一點(diǎn)，0P=6,

點(diǎn)M、N分別為。4、。8邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為（）

A.3B.6C.3V3D.673

6.如圖，在銳角三角形ABC中4B=2,/BAC=45°,NBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)。，M、

N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

C.2D.V6

7.如圖，正方形A8CZ）的邊長(zhǎng)為4,/D4c的平分線(xiàn)交。C于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是4。

和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是.

10

8.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)

點(diǎn)，則EC+ED的最小值是.

9.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,ZXABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形A8CD內(nèi),

在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)產(chǎn)，使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為.

10.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90",AC=6,BC=8,AO平分/CAB交8c于。點(diǎn),

E,尸分別是A。，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為

11.(1)如圖1,在AB直線(xiàn)一側(cè)C、。兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P,使C、。、P三點(diǎn)組成的

三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,在/AOB內(nèi)部有一點(diǎn)尸，是否在0A、上分別存在點(diǎn)E、凡使得E、

11

F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

（3）如圖3,在/AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N,是否在OA、0B上分別存在點(diǎn)E、F,使得E、

F、M、N,四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn),并說(shuō)明理由.

題型四周長(zhǎng)最值求角

1.如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，0P=5c/n,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)04和射線(xiàn)上

的動(dòng)點(diǎn)，△「〃代周長(zhǎng)的最小值是5c/n,則/A08的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.如圖，點(diǎn)P是乙4OB內(nèi)任意一點(diǎn)，且408=40°,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)04和射

線(xiàn)08上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí)，則NMPN的度數(shù)為（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

3.如圖，四邊形A8C。中，ZBAD=nO°,NB=/￡>=90°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)

M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則NAMN+/AMW的度數(shù)為（）

12

A.130°B.120°C.110°D.100°

4.如圖，在銳角aABC中，ZACB=50°；邊A8上有一定點(diǎn)尸，M、N分別是AC和BC

邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，NMPN的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如圖，點(diǎn)P是/AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=8cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線(xiàn)OA和射線(xiàn)08上

的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是8cm,則NAOB的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.已知點(diǎn)P在NMON內(nèi).

（1）如圖1,點(diǎn)尸關(guān)于射線(xiàn)0M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,點(diǎn)尸關(guān)于射線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H,連接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，則/GOH=；

②若PO=5,連接GH,請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)NMON為多少度時(shí)，GH=10；

13

(2)如圖2,若NMON=60°,A、8分別是射線(xiàn)。M、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)?/p>

周長(zhǎng)最小時(shí)，求NAPB的度數(shù).

14

答案與解析

題型一軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)直接運(yùn)用

1.如圖，在2X2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△力BC,則與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格點(diǎn)

為頂點(diǎn)三角形共有（）

15

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【分析】解答此題首先找到△ABC的對(duì)稱(chēng)軸，EH、GC、AO,BF等都可以是它的對(duì)稱(chēng)軸，

然后依據(jù)對(duì)稱(chēng)找出相應(yīng)的三角形即可.

【解答】解：與△ABC成軸對(duì)稱(chēng)且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形有aASG、/XCDF,AAEF.△

DBH,ABCG共5個(gè)，

故選：C.

2.如圖，直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P是直線(xiàn)MN上的點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC.NMAP=/MBPD.NANM=NBNM

【分析】根據(jù)直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸，得到點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

(解答［解：,??直線(xiàn)MN是四邊形AMBN的對(duì)稱(chēng)軸，

16

...點(diǎn)A與點(diǎn)8對(duì)應(yīng),

：.AM=BM,AN=BN,/ANM=NBNM,

?點(diǎn)P時(shí)直線(xiàn)MN上的點(diǎn)，

：.ZMAP=ZMBP,

C,。正確，B錯(cuò)誤，

故選:B.

3.如圖的2X4的正方形網(wǎng)格中，△A8C的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，這樣的三角形稱(chēng)

為格點(diǎn)三角形，在網(wǎng)格中與△A8C成軸對(duì)稱(chēng)的格點(diǎn)三角形一共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找出對(duì)稱(chēng)軸及相應(yīng)的三角形即可.

【解答】解:如圖:

共3個(gè)，

故選：B.

4.如圖，若△ABC與△A5C,關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，BB咬MN于點(diǎn)0,則下列說(shuō)法不一定正

確的是（）

17

A.AC=A'CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：..?△48C與aA'B'C關(guān)于直線(xiàn)MN對(duì)稱(chēng)，

：.AC=A'C',A4'LMN,BO=B'0,故4、B、C選項(xiàng)正確，

AB=B'C不一定成立，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤，

所以，不一定正確的是D

故選：D.

5.如圖,AABC與△。所關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng),BE交/于點(diǎn)0,則下列說(shuō)法不一定正確的是（）

A.AC=DFB.B0=E0C.ADA.ID.AB//EF

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【解答】解：:△ABC與△DEF關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，

:.△ACBQXDFE,直線(xiàn)/垂直平分線(xiàn)段A。，直線(xiàn)/垂直平分線(xiàn)段BE,

：.AC=DF,ADLl,OB=OE,

18

故選項(xiàng)A,B,C正確，

故選：D.

題型二根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求邊和角

1.如圖，△48C和B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，若NA=50°,ZCZ=30°,則NB的

度數(shù)為（）

A.30°B.50°C.90°D.100°

【分析】先根據(jù)△ABC和△A'B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)得出△ABCgZVl'B,Cf,故可

得出NC=NU,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：VAABCaiAA/4C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，NA=50°,NC'=30°,

???△ABC絲BrC,

/.ZC=ZCZ=30°,

.,.ZB=I80°-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故選：Q.

2.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為O,△A￡>3與4

A。笈關(guān)于直線(xiàn)AQ對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)5的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)8,則NC4笈的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

19

【分析】由余角的性質(zhì)可求NC=40°,由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得N488=N5=50°,由外

角性質(zhì)可求解.

【解答】解：?.?N8AC=90°,NB=50°,

???NC=40°,

??,XADB與△AO8關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)

???NA88=N8=50°,

：.ZCAB'=AAB'B-ZC=10°,

故選：A.

3.如圖，NMON內(nèi)有一點(diǎn)P,尸點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是

H,G"分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若NMON=35°,則NGO”=()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【分析】連接OP,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得NGOM=NMOP,ZPON=ZNOH,然后求

出NGO”=2NMON,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，連接OP,

???P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,尸點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H,

：.NGOM=/MOP,/PON=/NOH,

JZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2AMON,

???/MON=35°，

：.ZGOH=2X35°=70°.

20

故選：B.

4.如圖，ZVIBC中，力點(diǎn)在BC上，NB=62°,/C=53°,將。點(diǎn)分別以A8、AC為對(duì)

稱(chēng)軸，畫(huà)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F,并連接AE、AF.則NEA尸的度數(shù)為（）

A.124°B.115°C.130°D.106°

【分析】連接4。利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：連接AO,

?.?。點(diǎn)分別以AB、AC為對(duì)稱(chēng)軸，畫(huà)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E、F,

:.NEAB=/BAD,ZFAC=ZCAD,

VZB=62°,ZC=53°,

：.ZBAC=ZBAD+ZDAC=\SQO-620-53°=65°,

：.ZEAF=2ZBAC^130Q,

21

5.如圖，在AABC中，點(diǎn)。，E分別在邊AB,BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)CQ對(duì)稱(chēng).若

AB=7,AC=9,BC=12,則△￡>?￡：的周長(zhǎng)為（）

A.9B.10C.11D.12

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到：AD=DE,AC=CE,結(jié)合已知條件和三角形周長(zhǎng)公式

解答.

【解答】解：???點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)C。對(duì)稱(chēng)，

：.AD=DE,AC=CE=9,

；AB=7,AC=9,BC=12,

：.ADBE的周長(zhǎng)=BQ+QE+BE=BQ+AO+BC-AC=AB+BC-AC=7+12-9=10.

故選：B.

6.如圖，ZVIBC與B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，若NA=50°,NC=20°,則Nb度數(shù)

為（）

22

23

A.110°B.70°C.90°D.30°

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出N5,再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【解答】解：?.?△ABC與B'C關(guān)于直線(xiàn)/對(duì)稱(chēng)，

:?/B'=/B,

VZB=180°-ZA-ZC=180°-50°-20°=110°,

：.ZBf=110°,

故選：A.

7.如圖，四邊形ABC。中，點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)"恰好落在C。上，若NBA。

=110°,則NAC5的度數(shù)為（）

A.40°B.35°C.60°D.70°

【分析】連接AS,BB\過(guò)A作AE_LCD于￡依據(jù)N3AC=N8AC,ZDAE=ZB'AEf

即可得出NCAE=4/84。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到/AC8

1

=ZACB'=90°-"BAD.

【解答】解：如圖，連接AS,BB',過(guò)A作AEJ_CQ于七，

23

點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8恰好落在CD上，

??.AC垂直平分8B，，

：.AB=AB\

：.ZBAC=ZB'AC,

\'AB=AD9

：.AD=AB\

又YA及LC。，

???ZDAE=ZB'AE,

i

/.ZCAE=|ZBAD=55°,

又???NAEC=90°,

AZACB=ZACB,=35°,

故選:B.

8.如圖，四邊形ABC。中，A8=A。，點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)夕恰好落在CD上，若NB4O

=a,則NAC3的度數(shù)為（）

24

D

1i

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

【分析】連接AB',BB',過(guò)A作AE_LC￡)于E,依據(jù)NB'AC,ZDAE^ZB'AE,

即可得出NC4E=；NBA￡),再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到NAC8

1

=ZACB'=90°-^BAD.

【解答】解：如圖，連接A8,BB\過(guò)A作AEJ_CD于E,

,/點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8恰好落在CD上,

???AC垂直平分BB',

：.AB=AB\

；?NBAC=NB，AC,

VAB=ADf

：.AD=AB\

又???AEJ_CO,

：.ZDAE=ZB'AEf

25

.".ZCAE^^ZBAD=^a,

又；/4￡：3'=/4。8'=90°,

二四邊形AOB'E中，NEB'O=180°-1a,

1i

AZACB'=ZEB'O-ZCOB'=180°-*a-90°=90°-1a,

i

AZACB=ZACB'=90Q-^a,

故選：B.

9.如圖，RtZXABC中，/ACB=90°,ZA=50°,將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A'處,

折痕為CD,則/A'DB為10°.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知NCA'￡>=NA=50°,然后根據(jù)外角定理可得出/A'

DB.

【解答】解：由題意得：ZCA'O=NA=50°,ZB=40°,

由外角定理可得：NCA'￡>=/8+NA'DB,

可得：NA'DB=\0°.

故答案為：10°.

10.如圖所示，點(diǎn)P為/AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OA、。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸1,Pi,連接

P1P2交0A于M,交。8于N,P\P2=\5,則△PMN的周長(zhǎng)為交.

26

p

2B

□J/VA

耳

【分析】P點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)是點(diǎn)Pi,P點(diǎn)關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2,故有PM=P\M,PN

=P1N.

【解答】解：點(diǎn)關(guān)于04的對(duì)稱(chēng)是點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2,

：.PM=P\M,PN=P1N.

/XPMN的周長(zhǎng)為PM+PN+MN=MN+PIM+P2N=PiP2=15.

故答案為：15

11.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙按圖那樣折疊后，B、。兩點(diǎn)落在B'、D'點(diǎn)處，若得NAOB'

=70°,則/夕0G的度數(shù)為55°.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得NB'OG=NBOG,再根據(jù)NAOB'=70°,可得出NB'

0G的度數(shù).

【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：/B'OG=NBOG

又NAOB'=70°,可得NB'OG+/BOG=110°

1

；.NB'<?G=|xllO°=55°.

12.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4c加，則圖中陰影部分的面積為」a〃2.

27

【分析】正方形為軸對(duì)稱(chēng)圖形，一條對(duì)稱(chēng)軸為其對(duì)角線(xiàn)；由圖形條件可以看出陰影部分

的面積為正方形面積的一半.

【解答】解：依題意有5牌=3乂4乂4=8。m2.

故答案為：8.

13.如圖，NMON內(nèi)有一點(diǎn)P,點(diǎn)P關(guān)于0M的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,點(diǎn)P關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

是H,GH分別交OM、ON于A、8點(diǎn)，若NMON=35°,則/GOH=70°.

【分析】連接0P，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得/GOM=/MOP,4P0N=NN0H,然后求

出NGO//=2/MON,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，連接。P,

點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是G,P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是H,

:.NGOM=/MOP,NPON=NNOH,

：.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

■:NMON=35°,

：.ZGOH=2X35°=70°.

故答案為：70。.

28

14.如圖，NBAC=110°,若A,B關(guān)于直線(xiàn)MP對(duì)稱(chēng)，A,C關(guān)于直線(xiàn)NQ對(duì)稱(chēng)，則N41Q

的度數(shù)是40。.

【分析】由/54C的大小可得與NC的和，再由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，可得

/QAC=NC,進(jìn)而可得/%。的大小.

【解答】解：,??NBAC=110°,

：.ZB+ZC=70°,

B關(guān)于直線(xiàn)MP對(duì)稱(chēng)，4,C關(guān)于直線(xiàn)N。對(duì)稱(chēng)，

又；MP,NQ為AB，4c的垂直平分線(xiàn)，

:.NBAP=NB,ZQAC=ZC,

：.ZBAP+ZCAQ^10°,

：.ZPAQ^ZBAC-ZBAP-ZCAQ=l\00-70°=40°

故答案為：40°.

15.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足為￡),△AOB與4

AD9關(guān)于直線(xiàn)AO對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)片，則/。81的度數(shù)為10°.

29

A

【分析】求出/C,ZAB'D,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：VZB=50°,NA8C=90°,

.\ZC=90°-50°=40°,

'.'AD1BC,△408與△AOS關(guān)于直線(xiàn)AO對(duì)稱(chēng)，

AZAB'O=N8=50°,

,：ZAB1D^ZC+ZCAB',

：.ZCAB'=500-40°=10°,

故答案為為。.

16.如圖是小明制作的風(fēng)箏，為了平衡制成了軸對(duì)稱(chēng)圖形，已知。C是對(duì)稱(chēng)軸，NA=35°,

/BCO=30°,那么/COB=130度.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，軸對(duì)稱(chēng)圖形的兩部分是全等的.

【解答】解：依題意有N4OB=2（NA+NAC。）=2（NA+NBC。）=130°.

17.如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊。8所在的直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，A。的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)D若

/80。=46°,NC=22°,則NAZ）C=70°.

30

B

【分析】根據(jù)求出/A,/ABD即可.

【解答】解：???△AOB與aCOB關(guān)于邊。8所在的直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，

二△AOBdCOB,

AZA=ZC=22°,NABO=NCBO,

,：ZBOD^ZA+ZABO,

，NABO=46°-22°=24°,

...NA8O=2NABO=48°,

AZADC^ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案為：70.

18.在△ABC中，AB=AC,/A3C=75°,A￡>_L2C于點(diǎn)￡),點(diǎn)。關(guān)于AB、AC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

分別為E、F,連接EF分別交AB、AC于點(diǎn)M、N,分別連接DM、DN,若40=6,則

ADMN的周長(zhǎng)為6.

【分析】連接AE,AF,依據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可得到△AEF是等邊三角形，進(jìn)而得出

31

AE

32

=EF=6,依據(jù)EM=OM,FN=QM即可得到△DMN的周長(zhǎng)=DM+MN+DF=EM+MN+NF

=6.

【解答】解：如圖，連接AE,AF,

??,點(diǎn)。關(guān)于AB、AC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)分別為E、F,

???48垂直平分QE,AC垂直平分。凡

：.AE=AD=AF=6,ABIDE,AC1DF,

：.ZEAB=ZDAB,ZCAF=ZCAD,

???A8=AC,ZABC=15°,

：.ZBAC=30°,

：.ZEAF=60°,

；?AAEF是等邊三角形，

：.AE=EF=6,

：?EM+MN+NF=6,

TAB垂直平分OE,AC垂直平分。尺

:?EM=DM,FN=DN,

：.XDMN的周長(zhǎng)=￡>M+MN+OF=EM+MN+NF=6,

BDC

32

題型三軸對(duì)稱(chēng)與最值問(wèn)題

I.如圖，在△4BC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線(xiàn)，P是4。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

下列線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如圖連接PC,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+POCE,

推出尸、C、E共線(xiàn)時(shí)，P8+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖連接PC,

'：AB=AC,BD=CD,

J.ADLBC,

：.PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

,:PE+PC'CE,

；.P、C、E共線(xiàn)時(shí)，尸8+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度,

故選：B.

33

2.如圖所示，正方形A8C。的面積為12,△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形A8C。內(nèi),

在B對(duì)角線(xiàn)AC上有一：點(diǎn)P,使PD+PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）

A.2V3B.25/6C.3D.V6

【分析1由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，所以連接BD,BE與AC的交點(diǎn)為P,此時(shí)PD+PE

=BE最小，而8E是等邊△ABE的邊，BE=AB,由正方形ABCD的面積為12,可求出

AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)F（尸’），連接8。，

:點(diǎn)B與Z）關(guān)于4c對(duì)稱(chēng)，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度；

,/正方形ABCD的面積為12,

；.AB=2V5.

又「△ABE是等邊三角形，

：.BE=AB=2^3.

故所求最小值為2H.

故選：A.

34

3.如圖，已知NO,點(diǎn)P為其內(nèi)一定點(diǎn)，分別在NO的兩邊上找點(diǎn)A、8,使周長(zhǎng)最

小的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：分別作點(diǎn)尸關(guān)于NO的兩邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P\,P2,連接P1P2交NO的兩邊于A,

B,連接B4,PB,此時(shí)的周長(zhǎng)最小.

故選：D.

4.某平原有一條很直的小河和兩個(gè)村莊，要在此小河邊的某處修建一個(gè)水泵站向這兩個(gè)村

莊供水.某同學(xué)用直線(xiàn)（虛線(xiàn)）/表示小河，P,Q兩點(diǎn)表示村莊，線(xiàn)段（實(shí)線(xiàn)）表示鋪

設(shè)的管道，畫(huà)出了如下四個(gè)示意圖，則所需管道最短的是（）

35

o

D.

【分析】利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，通過(guò)等線(xiàn)段代換，將所求路線(xiàn)長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離.

【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接QC交直線(xiàn)/于M.

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，可知選項(xiàng)C鋪設(shè)的管道最短.

故選：C.

C

5.如圖，ZAOB=30°,0C為NA02內(nèi)部一條射線(xiàn)，點(diǎn)尸為射線(xiàn)0C上一點(diǎn)，。尸=6,

點(diǎn)M、N分別為。4、08邊上動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值為（）

A.3B.6C.3V3D.673

【分析】作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Pi,點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2,連接P1P2,與0A的

交點(diǎn)即為點(diǎn)與08的交點(diǎn)即為點(diǎn)M則此時(shí)M、N符合題意，求出線(xiàn)段PiP2的長(zhǎng)即

可.

【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于0A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Pi,點(diǎn)P關(guān)于0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸2,連接P1P2

與0A的交點(diǎn)即為點(diǎn)M,與0B的交點(diǎn)即為點(diǎn)N,

APMN的最小周長(zhǎng)為PM+MN+PN=PiM+MN+PzN=P1P2,即為線(xiàn)段P1P2的長(zhǎng)，

36

連接0P1、OP2,則OPi=O尸2=0尸=6,

又,.?NROP2=2/AQB=60°,

...△0PlP2是等邊三角形，

；.P1P2=OP1=6,

即△PMN的周長(zhǎng)的最小值是6.

故選:B.

6.如圖，在銳角三角形ABC中AB=2,N54C=45°,NBAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)O,M、

N分別是A。和A8上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

A.1B.V2C.2D.V6

【分析】從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊的關(guān)

系確定線(xiàn)段之和的最小值.

【解答】解：如圖，在AC上截取AE=AM連接BE,

37

VABAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D,

：.NEAM=NNAM,

在△AME與△AMN中，

AE=AN,ZEAM=ZNAM,AM=AM,

.?.△AME也△AMN(SAS),

:.ME=MN.

：.BM+MN=BM+ME2E,

當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離時(shí)，BE1.AC,此時(shí)BM+MN有最小值，

"：AB=2,N8AC=45°,此時(shí)aABE為等腰直角三角形，

BE=V2,即BE取最小值為VL

BM+MN的最小值是魚(yú).

故選:B.

7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,/D4c的平分線(xiàn)交。C于點(diǎn)E,若點(diǎn)尸、。分別是AO

和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則OQ+PQ的最小值是，夜

38

【分析】過(guò)。作AE的垂線(xiàn)交AE于F,交AC于O',再過(guò)。'作AP'VAD,由角平

分線(xiàn)的性質(zhì)可得出是。關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而可知O'P'即為OQ+PQ的最小值.

【解答】解：作DD'J_AE于尸，交AC于。'，再過(guò)。'作O'P'于尸'，

*：DD'LAE,

：.ZAFD^ZAFD',

'：AF=AF,ZDAE=ZCAE,

.?.△D4F妾△￡)'AF,

：.D'是。關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，AD'=AD=4,

.MP'即為QQ+PQ的最小值，

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.ZDAD'=45°,

：.AP'=P，D',

.,.在RtzMP'D'中，

P'D'2+AP'2=A?2,AD'2=16,

"：AP'=P'O',

2P'D'2=AZ)'2,g|j2P'D，2=[6,

：.P'D'=2&,

即DQ+PQ的最小值為2企，

故答案為：2口.

39

8.如圖，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)

點(diǎn)，則EC+ED的最小值是_b_.

【分析】首先確定DC'=DE+EC'=OE+CE的值最小.然后根據(jù)勾股定理計(jì)算.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作COJ_AB于O,延長(zhǎng)CO到C',使OC'=0C,連接。C',交

AB于E,連接CE,

llhff'j-DE+CE=DE+EC=DC'的值最小.

連接BC',由對(duì)稱(chēng)性可知/C'BE=NCBE=45°,

:.NCBC'=90°,

：.BCIBC,ZBCC=NBC'C=45°,

：.BC=BC'=2,

?.?。是BC邊的中點(diǎn)，

：.BD=1,

根據(jù)勾股定理可得DC=7BC'2+BD2=V22+I2=V5.

故答案為：V5.

40

9.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,△A8E是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABC。內(nèi),

在對(duì)角線(xiàn)4C上有一點(diǎn)P,使PO+PE的和最小，則這個(gè)最小值為，、月

【分析】由于點(diǎn)B與。關(guān)于4C對(duì)稱(chēng)，所以連接BD,與AC的交點(diǎn)即為F點(diǎn).此時(shí)PD+PE

=BE最小，而8E是等邊AABE的邊，BE=AB,由正方形ABC。的面積為12,可求出

AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果.

【解答】解：連接80,與AC交于點(diǎn)F.

;點(diǎn)B與。關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，

：.PD=PB,

PD+PE=PB+PE=BE最小.

:正方形ABCQ的面積為12,

.?.AB=2V1

又?:△ABE是等邊三角形，

:.BE=AB=2?

故所求最小值為2g.

故答案為：2次.

41

10.如圖，在Rt/XABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,