高中數(shù)學第2章平面解析幾何2.1坐標法學案含解析第一冊

2。1坐標法學習目標核心素養(yǎng)1．通過學習實數(shù)與數(shù)軸上的點的1．理解平面直角坐標系中對應關系,培養(yǎng)直觀想象的核心素的基本公式．（重點)養(yǎng)．2．理解坐標法的數(shù)學思想2．借助距離公式和坐標法的應用，并能掌握坐標法的應培養(yǎng)數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．用．（重點、難點）小華以馬路上的電線桿為起點，先向東走了5m，然后又向西走了8m，那么小華現(xiàn)在的位置離電線桿多遠?對于這類問題，我們可以建立一個直線坐標系,確定出正、負方向，利用數(shù)軸上兩點間的距離公式來求解．1．平面直角坐標系中的基本公式(1)數(shù)軸上兩點間的距離公式如果數(shù)軸上點A對應的數(shù)為x（1即A的坐標為x1，記作A(x1））,且B（x2)，則向量AB，→的坐標為x2－x1，數(shù)軸上兩點之間的距|AB｜＝|錯誤!|＝｜x2－x1|．如果M（x）是線段AB的中離公式點,則AM→＝．數(shù)軸上的中點坐標公式x＝．錯誤!錯誤!思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點與實數(shù)有怎樣的關系？[提示］給定了原點、單位長度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的．（2)平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式A(x1，y1），B(x2，y2），AB，→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝｜｜錯誤!＝x2－x12＋y2－y12，若M（x，y)是線段AB的中點，則＝，則直角坐標系內(nèi)的中點坐標公式x＝,y＝．錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!2．坐標法通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運算等解決問題的方法稱為坐標法．1．思考辨析（正確的打“√",錯誤的打“×”）(1)平面直角坐標系一一對應．()內(nèi)的點與實數(shù)（2)數(shù)軸上起點相同的向量方向相同．（）(3）點M(x）位于點N(2x）的左側(cè)．（）（4）數(shù)軸上向量．（）［答案](1）×（2)×（3)×(4）×等長的向量是相等的［提示］(1）×與有序?qū)崝?shù)對一一對應．（3）×x與2x的大小無法確定．(4)×方向不一定相同．2．(教材P69習題2－1A①改編）已知數(shù)軸上A(－3）,B（8)，C[｜AB｜＝|8－(－3)|＝11．]3．已知A（1，2）,B（2,6)，則AB的中點坐標為________．［設AB的中點為M（x，y)，則x＝＝，y＝＝錯誤!4．已知A(2,4），B（－1,3)，則A,B兩點間的距離為________．錯誤!錯誤!數(shù)軸上的點與實數(shù)間的關系【例1】（1)若點P（x）位于點M(－2)，N(3）之間，求x的取值范圍；（2）試確定點A（a)，B（b）的位置關系．[解]（1）由題意可知，點M（－2）位于點N(3)的左側(cè),且點P(x）位于點M（－2）,N（3)之間，所以－2〈x<3．(2）確定兩點的位置關系,需要討論實數(shù)a，b的大小關系:當a〉b時，點A（a）位于點B（b)的右側(cè)；當a<b時，點A（a）位于點B(b）的左側(cè)；當a＝b時，點A（a)與點B(b)重合．數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應的關系，所以點的坐標的大小決定彼此的相互位置,顯然右邊的點的坐標要大于左邊的點的坐標。錯誤!1．不在數(shù)軸上畫點，判斷下列各組點的位置關系（1)A(－3．2),B（－2．3）；（2)A(m）,B（m2＋1);:（3）A(|a|),B（a)．[解](1）因為－2．3>－3．2,所以A(－3．2）位于B(－2．3）的左側(cè)．（2）因為m2＋1－m＝＋錯誤!錯誤!錯誤!≥錯誤!>0，所以m2＋1>m，所以B(m2＋1)位于A（m）的右側(cè)．(3)當a≥0時，|a|＝a，則A(|a|)和B(a）為同一個點．當a<0時,|a|>a，則A（|a｜）位于B（a)的右側(cè)．數(shù)軸上兩點間的距離[探究問題］1．如果兩點的位置不確定,如何求其距離？[提示］分類討論．2．向量的長度及數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系．[提示］｜AB|＝d(A，B)＝|xB－xA|，AB＝xB－xA．【例2】已知數(shù)軸上點A，B，P的坐標分別為－1，3，x．當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x．[思路探究]數(shù)軸上兩點間的距離?點與實數(shù)的對應關系?數(shù)軸上的基本公式．［解］由題意知|PB｜＝3|PA|，即｜x－3|＝3｜x＋1|，則3(x＋1)＝x－3,①或3(x＋1)＝－（x－3)．②解①得x＝－3；解②得x＝0．所以點P的坐標為－3或0．1．本例中若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關系？[解]由題意知｜PA|＝｜PB|＝2，即解得x＝1．錯誤!此時點P的坐標為1，顯然此時P為線段AB的中點．2．本例中在線段AB上是否存在點P（x），使得點P到點A和點B的距離都是3?若存在，求出點P的坐標x;若不存在，請說明理由．因為d（A，B）＝|3＋1|＝4，要使點P在線段AB上,且d(P，A)＝d(P，B）＝3，則d（A,B)＝d(P,A)＋d（P，B）,這是不可能的．數(shù)軸上的基本公式應用思路與方法(1）已知向量，,中的兩個的坐標，求另外一個的坐錯誤!錯誤!錯誤!標時,使用＝＋求解．錯誤!錯誤!錯誤!（2）已知向量的起點和終點的坐標，求向量坐標，使用＝錯誤!xB－xA求解．(3）已知數(shù)軸上兩點間的距離時，使用d（A，B)＝｜AB|＝|xB－xA｜求解．兩點間距離公式的應用【例3】已知△ABC的三個頂點坐標是A（－3,1），B（3，－3)，C（1，7）．（1）判斷△ABC的形狀；（2)求△ABC的面積．［思路探究］(1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷△ABC的大致形狀，然后從邊著手或從角著手確定其形狀．（2)結(jié)合三角形形狀求解．［解］（1）∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝2錯誤!，|AC|＝1＋32＋7－12＝2錯誤!，又｜BC｜＝1－32＋7＋32＝226,∴｜AB｜＋｜AC｜＝|BC|且|AB|＝｜AC｜，222∴△ABC是等腰直角三角形．＝|AC｜·｜AB｜＝×2×2（2）△ABC的面積S△ABC＝26．錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!(1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向．（2）利用兩點間的距離公式，分別計算△ABC三邊的長度，根據(jù)三角形邊的長度特征,主要考察邊是否相等或是否滿足勾股2．若等腰三角形ABC的頂點A是（3,0），底邊BC的長為4,BC邊的中點為D(5，4），求等腰△ABC的腰長．[解］因為|AD|＝＝2,在等腰△ABD中，由勾股定理錯誤!錯誤!得，|AB|＝＝＝錯誤!錯誤!2．所以等腰△ABC的腰長為2錯誤!．錯誤!坐標法的應用【例4】如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，利用坐標法證明梯形ABCD的對角線｜AC|＝｜BD|．［證明]建立如圖坐標系，設A(0，0），B(a,0）,C（b，c),則點D的坐標是（a－b，c)．∴|AC｜＝b－02＋c－02＝b2＋c2，（1)建立坐標系,盡可能將有關元素放在坐標軸上；(2）用坐標表示有關的量；(4）把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系．錯誤!3．已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担C明：｜AM｜＝｜BC｜．錯誤!［證明］以Rt△ABC的直角邊AB，AC所在直,線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．設B，C兩點的坐標分別為(b,0），(0，c），斜邊BC的中點為M，所以點M的坐標為，即．錯誤!錯誤!2由兩點間的距離公式得｜BC｜＝0－b2＋c－02＝b2＋c2，|AM|＝＝，錯誤!錯誤!錯誤!故｜AM|＝｜BC｜．錯誤!1．坐標平面內(nèi)兩點間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個已知點間的距離．反過來，已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標．2．平面幾何中與線段長有關的定理和重要結(jié)論，可以用坐標法來證明．用坐標法解題時，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標系會使計算有繁簡之分，因此在建立直角坐標系時必須“避繁就簡”．3．本節(jié)課要掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的關系．(2)數(shù)軸上兩點間的距離及平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離公式．4．本節(jié)課的易錯點是坐標法的應用，容易將坐標寫錯．1．下列各組點中,點C位于點D的右側(cè)的是(）A．C（－3）和D(－4)B．C(3）和D(4)C．C(－4)和D（3)D．C（－4)和D（－3)A［由數(shù)軸上點的坐標可知A正確．］2．已知A(－8,－3),B（5,－3），則線段AB的中點坐標為（）A．錯誤!B．錯誤!C．錯誤!D．錯誤!B［由中點坐標公式可以求得．]3．已知M(2,1)，N(－1,5),則|MN|等于________．5[|MN｜＝＝5．］錯誤!4．已知矩形相鄰兩個頂點是A（－1，3）,B（－2,4),若它的對角線交點在x軸上，求另外兩頂點C,D的坐標．[解］設對