統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)

第五章統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)樣本所提供的信息，運(yùn)用概率的理論，在一定的可靠程度上對總體的分布特征進(jìn)行估計(jì)和推測的方法。

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題許多實(shí)際問題都可以抽象為對總體參數(shù)的求取或驗(yàn)證,都可以抽選適當(dāng)?shù)臉颖咀鳛榭傮w的代表,并以樣本的數(shù)據(jù)信息去推斷總體的統(tǒng)計(jì)特征。例如，驗(yàn)血；汽車產(chǎn)品碰撞性試驗(yàn)；多媒體輔助教學(xué)效果等。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!統(tǒng)計(jì)推斷的目標(biāo)要求目標(biāo)——通過選取適當(dāng)?shù)臉颖咀鳛榭傮w的代表，去推斷總體的統(tǒng)計(jì)特征。要求——樣本要對總體有良好的代表性。關(guān)鍵——找到樣本與總體的特定關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，也就是要建立數(shù)學(xué)模型。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件隨機(jī)現(xiàn)象是指，當(dāng)一定條件具備時(shí)，某種結(jié)果可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象。例如，小麥種子在播種后可能發(fā)芽也可能不發(fā)芽。隨機(jī)現(xiàn)象的每一個(gè)可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，……表示。例如：A——到十字路口恰好遇到紅燈；

B——恰好抽到一張草花

C——考試分?jǐn)?shù)在90到100之間統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!問題與思考隨機(jī)事件雖然帶有偶然性，但出現(xiàn)的可能性大小是不一樣的。有些事件比較容易發(fā)生，有些結(jié)果卻很難出現(xiàn)。怎樣才能描述這種隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律呢？統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!（二）概率的性質(zhì)概率P（A）的取值范圍：[0，1]P（A）

=1，表示必然事件；P（A）

=0，表示不可能事件；P（A）

~0，表示小概率事件。（“小概率原理”）統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!三、隨機(jī)變量用以記錄各種隨機(jī)事件的變量稱為隨機(jī)變量，通常用X、Y來表示。例如：種子發(fā)芽數(shù)X；考試分?jǐn)?shù)Y；三枚硬幣出現(xiàn)的結(jié)果Z。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!（二）連續(xù)型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間上可以連續(xù)取值，且存在一個(gè)實(shí)函數(shù)，使得對任一區(qū)間(a，b)，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為X的概率密度函數(shù)。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!一個(gè)賭博實(shí)例口袋中有8黑8白共16個(gè)玻璃球，從中隨機(jī)抽取8個(gè)玻璃球，如果剛好抽到4黑4白，莊家贏，其他任何情況，莊家都會不同程度的輸。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!概率分布的類型概率分布是針對著隨機(jī)變量而言的。一個(gè)離散型隨機(jī)變量的概率分布是指這個(gè)隨機(jī)變量所有取值點(diǎn)的概率的分布情況。一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布是指這個(gè)隨機(jī)變量在定義域上的各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是一種典型的離散型隨機(jī)變量的概率分布，實(shí)際應(yīng)用不多，留作大家看書自學(xué)。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!連續(xù)變量的概率分布示例XP80～8575～8070～7565～7060～6555～600.030.120.250.380.170.05合計(jì)1.00統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!正態(tài)分布的密度函數(shù)一般正態(tài)分布，其密度函數(shù)可寫成以下形式：

式中：X為連續(xù)性隨機(jī)變量；e是自然對數(shù)的底；π是圓周率；μ為這個(gè)分布的平均數(shù)；σ為這個(gè)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差惟一決定的，因此我們也常記一個(gè)正態(tài)分布為N(，)

。

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!正態(tài)分布的特點(diǎn)正態(tài)分布的圖形和密度函數(shù),可以分析出以下幾個(gè)特點(diǎn):1.正態(tài)分布曲線圖,形若“古鐘”。

2.正態(tài)分布圖左右對稱。

3.μ決定曲線在坐標(biāo)軸上的位置,σ決定圖形的形狀,σ大曲線扁平,σ小曲線尖峭。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!正態(tài)分布曲線形態(tài)的變化統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖-3–2–10123統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表P值示意圖統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!正態(tài)分布的一個(gè)重要性質(zhì)如果X～N(μ,),則

P(μ-σ<X<μ+σ)=68％

P(μ-1.96σ<X<μ+1.96σ)=95％

P(μ-2.58σ<X<μ+2.58σ)=99％統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!正態(tài)分布的應(yīng)用(一)求正態(tài)分布中一定區(qū)間的個(gè)體數(shù)量(二)求正態(tài)分布中一定數(shù)量個(gè)體所占有的區(qū)間統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例題3某企業(yè)招收青年工人，有600人參加考試，擬錄用120名?？荚嚱Y(jié)果，平均成績?yōu)?0分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，成績服從正態(tài)分布，試確定最低錄取線約為多少分?解：p=120/600=0.2，查表得z=0.84x=μ+σz=70+10*0.84=78.4統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!一、抽樣分布的概念區(qū)分三種不同的分布：總體分布：總體內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布；樣本分布：樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布；抽樣分布：樣本統(tǒng)計(jì)量組成的頻數(shù)分布。設(shè)總體容量為N,樣本容量為n，則每一個(gè)總體中產(chǎn)生的樣本數(shù)為,例如，=6010674609（六十億）

=4.19×1015

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!中心極限定理的理解三層含義：樣本平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)；樣本平均數(shù)抽樣分布的平均數(shù)；樣本平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差（標(biāo)準(zhǔn)誤）。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤記為：標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本推斷總體的可靠性越大。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!例題已知某區(qū)中學(xué)二年級語文測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為10.6,從中抽取10份卷子,算得平均數(shù)為72分,求平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤,并求全區(qū)此次測驗(yàn)95％的置信區(qū)間。解：SE=10.6/3.16=3.350.95置信區(qū)間的下限：72-1.96×3.35=65.430.95置信區(qū)間的上限：72+1.96×3.35=78.57統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!（一）T分布在樣本平均數(shù)的抽樣分布中，若σ未知，而且又是小樣本，抽樣分布將服從t分布。T分布的圖象呈單峰對稱狀（以Y軸為對稱軸），非常接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，峰部比標(biāo)準(zhǔn)正分布低，兩端比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布高，當(dāng)自由度n很大時(shí)（n>30），T分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似。所以T分布常常用于樣本容量小于30的小樣本，故也稱T分布理論為小樣本理論。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!T分布概率表（附表2）

查T分布概率表時(shí)，按自由度及相應(yīng)的概率去找到對應(yīng)的t值。例如T0.05(8)的查表方法就是，在列找到自由度8這一行，在行中找到概率0.05這一列，行列的交叉處即是2.306。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!卡方（χ2）分布圖統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!（三）Ｆ分布

F分布是由兩個(gè)卡方分布構(gòu)造而成的一個(gè)新的分布。若隨機(jī)變量，F(xiàn)=S12/S22，則F函數(shù)的分布規(guī)律稱為F(n1,n2)分布，其中參數(shù)n1、n2是兩個(gè)自由度，任意一個(gè)自由度不同就是另一個(gè)F分布。F分布在一象限內(nèi)，呈正偏態(tài)，隨著兩個(gè)自由度的增大，趨近于正態(tài)分布。

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!F分布概率表（附表3）附表3是F分布的雙側(cè)概率表，只給出了兩個(gè)概率值（這里用α表示），0.05和0.01，編表規(guī)則如圖所示：一般要求分子的方差大于分母的方差。

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!例題：拋擲三枚硬幣試驗(yàn)隨機(jī)事件A

——出現(xiàn)三個(gè)正面B——出現(xiàn)二正一反C——出現(xiàn)一正二反D——出現(xiàn)三個(gè)反面博弈規(guī)則A、D為甲組，B、C為乙組，任意選一組。拋擲三枚硬幣，出現(xiàn)哪一個(gè)組的結(jié)果（事件），押中者為贏。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!二、概率(probability)（一）概率的定義隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小稱為概率。某一事件A發(fā)生的次數(shù)m與總次數(shù)n之比被定義為該事件A發(fā)生的概率。記為：P(A)=m/n統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!（三）概率的加法和乘法概率的加法定理

兩個(gè)互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率的和。即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

概率的乘法原理

兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于這兩事件概率的乘積。即：P（AB）＝P（A）＊P（B）

統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!（一）離散型隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X只可能在有限個(gè)點(diǎn)上取值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!四、概率分布要掌握隨機(jī)變量的變化規(guī)律，首先要了解它可能取什么值，其次，還要知道取這些值的概率大小。概率分布就是描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要工具。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!經(jīng)過計(jì)算，找規(guī)律Xw8w7bw6b2w5b3w4b4w3b5w2b6wb7b8P（X）1/128700.5%6%24%38%24%6%0.5%0.0078%統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!離散變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列變量yiy1y2y3…yn概率p（y）P1P2P3…Pn統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!連續(xù)變量的概率分布若已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)f(x)，則通過定積分可求得連續(xù)型隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!第三節(jié)正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布最初由高斯在研究誤差理論時(shí)發(fā)現(xiàn),其特點(diǎn)是隨機(jī)變量在變化范圍的中部取值的概率最大,從中部到兩側(cè)取值的概率逐漸下降,并趨于零。例如：考試分?jǐn)?shù)、身高、智商等統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!正態(tài)分布曲線統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!正態(tài)分布曲線位置的變化統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將一般正態(tài)分布作轉(zhuǎn)換：得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用本書附表1就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。表頭中Z是標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的取值，表中的數(shù)據(jù)是正態(tài)分布圖中陰影部分的面積，也就是隨機(jī)變量取值從零到所查Z值之間的概率。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!例題1（1）P（0<Z<1.15）=0.37493（2）P（-0.54<Z<0.82）

=P（0<Z<0.54）+P（0<Z<0.82）

=0.20540+0.29389

=0.49929（3）P（0.25<Z<0.97）

=P（0<Z<0.97）―P（0<Z<0.25）

=0.33398+0.09871

=0.23527統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!正態(tài)分布圖統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!例題2已知一項(xiàng)考試的成績服從平均數(shù)82,標(biāo)準(zhǔn)差為8的正態(tài)分布，問成績落在80～90分之間考生占多大比例？解：此題實(shí)質(zhì)上求成績落在80分和90分之間的概率。必須先把原始分轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分：Z1=-0.25，Z2=1通過畫示意圖，可以發(fā)現(xiàn)我們所求的是兩塊可查表面積的和：P（Z1<Z<Z2）=P（-0.25<Z<1）=P（0<Z<0.25）+（0<Z<1）=0.09871+0.34134=0.44005保留兩位小數(shù)

P=0.44即：考試成績落在80～90分之間的考生占44%的比例。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!第四節(jié)抽樣分布抽樣分布是由樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的理論依據(jù)。抽樣分布：樣本統(tǒng)計(jì)量組成的頻數(shù)分布。統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!二、中心極限定理樣本平均數(shù)抽樣分布與總體分布的關(guān)系，在大量的實(shí)踐和理論研究中得出了一條極為重要的定理——中心極限定理：從平均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)總體中，抽取容量為n的樣本，（如果總體非正態(tài)，要求n足夠大），則樣本平均數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!不同總體的平均數(shù)抽樣分布統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)共55頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!三、參數(shù)估計(jì)——總體平均