五年(2018-2022)全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題20立體幾何多選、填空(含詳解)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題20立體幾何多選、填空

一、多選題

1.（2022新高考全國II卷?第11題）如圖，四邊形ABC。為正方形，紅＞，平面A8CD,

FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—ACD,F-ABC,/一ACE的體積分別為乂，匕，匕，則

J7

A.V3=2V2B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

2.（2022新高考全國I卷?第9題）己知正方體4BC。-AMG。，則（）

A.直線8G與所成的角為90。B.直線8G與CA所成的角為90。

C.直線8C與平面38QO所成角為45°D.直線8a與平面ABC。所成的角為45°

3.（2021年新高考全國H卷?第10題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為

正方體的頂點.則滿足MNJ_OP的是（）

4.（2021年新高考I卷?第12題）在正三棱柱ABC-AAG中，A8=A4,=1,點P滿足費=4月亍+〃月瓦，

其中義?0』，0』］,則（）

A.當(dāng)4=1時，△AB/的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

c.當(dāng);l=g時，有且僅有一個點P,使得4尸，82

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點P,使得平面A87

二、填空題

5.（2021年高考全國甲卷文科?第14題）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30"則該圓錐的側(cè)面積

為.

6.（2021年全國高考乙卷文科?第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視

圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答

案即可）.

?。?/p>

H------2—HH-------2—HH-------2—H

圖①圖②圖③

（2021高考天津?第17題）如

H------2―HH--------2-H

圖④圖⑤

圖，在棱長為2正方體中，￡為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點.

⑴求證：。尸//平面aEG；

（II）求直線AG與平面4EG所成角的正弦值.

（川）求二面角4—AC-E的正弦值.

8.（2020年高考課標n卷文科?第16題）設(shè)有下列四個命題：

Pi:兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線m_L平面a,則m_L/

則下述命題中所有真命題的序號是.

①PlAP4②P|人P2③r?2VP3?^PiVr?4

9.（2020年高考課標111卷文科?第16題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的體積為.

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第16題）已知直四棱柱ABCD-4B1QD1的棱長均為2,ZBAD=60°.以

R為球心，75為半徑的球面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

11.（2020年新高考全國I卷（山東）?第15題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧48所在圓的圓心，A是圓弧A8與直線AG的切點，B是圓弧A8與直

3

線8c的切點，四邊形DEFG為矩形，BCLDG,垂足為C,tanZODC=-,BH//DG,EF=12cm,DE=2

cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為lcm,則圖中陰影部分的面積為

12.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第16題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，4是圓弧AB與直線AG的切點，8是圓弧AB與直

3

線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCLDG,垂足為C,tanZODC=-,BHUDG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第13題）已知

正方體A8CD-4B1C1D1的棱長為2,M、/V分別為BBi.AB的中點，則三棱錐4MWD1的體積為

14.（2020天津高考?第15題）如圖，在四邊形A3CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

____________3

AD=ABC,ADAB=--,則實數(shù)4的值為,若是線段BC上的動點，且|而|=1,

則DM-DN的最小值為

（2020江蘇高考?第9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一

個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六

角螺帽毛坯的體積是_cm.

16.（2019年高考天津文?第12題）已知四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側(cè)棱長均為石.若圓柱的

一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體

積為一.

17.（2019年高考全國HI文?第15題）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為

長方體ABCD-4B1QD1挖去四棱錐。一EFGM后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,H

分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,A4,=4cm.3D打印所用的原料密度為O.9g/cm3,不考慮打印

損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

18.（2019年高考全國H文?第16題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多

為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是"半正多面體"（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48

的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為L則該半正多面體共

有個面，其棱長為.（本題第一空2分，第二空3分.）

（2019年高考全國I文?第16題）已知

圖1圖2

ZACB=90°,尸為平面外一點，PC=2,點P到NACB兩邊AC,的距離均為也，那么P到

平面ABC的距離為—.

20.（2019年高考江蘇?第9題）如圖，長方體48a的體積是120,E是CQ的中點，則三棱椎

E-BCD的體積是.

（2019年高考北京文?第13題）考知京加是平面a外的兩條不同直線.給出

下列三個論斷:

①/，相；②ml",③以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正

確的命題：.

22.（2019年高考北京文?第12題）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如

果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第10題）如圖所示，正方體的棱長為2,

以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為.

24.（2018年高考數(shù)學(xué)天津（文）?第11題）如圖，已知正方體

ABCD-44GQ的棱長為1，則四棱錐A—BBQQ的體積為

4

25.（2018年高考數(shù)學(xué)課標I［卷（文）?第16題）已知圓錐的頂點為S,母

A

線SA,S8互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30。，若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題20立體幾何多選、填空

一、多選題

1.（2022新高考全國II卷?第11題）如圖，四邊形ABC。為正方形，平面A8CD，

==記三棱錐E-ACD,F-ABC,/一ACE的體積分別為匕,匕,匕，則

)

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因為E￡）J_平面ABC。，F(xiàn)B\\ED,則

乂=；皿山8=；?叫。心#,

j]I2

%./.（2?！哼B接3。交AC于點“，連接易得B￡）_LAC,

又E￡>_L平面ABCD,ACu平面ABCD，則ED，AC,又D8。=。，E。,B。u平面BDEF,

則AC,平面BDEF，又BM=DM=LBD=ga,過F作FG工DE于G,易得四邊形BDGF為

2

矩形，則FG=8D=2缶,EG=a,

則EM=42a『+（伍y=痘,FM="+（亞a『=&a，EF=相+（26aj=3。，

2222

EM+FM=EF^則￡^_1根，SEFM=-EM-FM=^a,AC=2?，

⑷22

則匕=%.上視+匕一0”=（4?！?.用=2。3,則2匕=3匕，匕=3%,%=%+%,故A、B錯誤；

C、D正確.故選：CD.

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2022新高考全國II卷?第11題

2.（2022新高考全國I卷?第9題）已知正方體48co-ABCQ,則（）

A.直線BG與所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線與平面BBQ。所成角為45°D.直線8c與平面A8CD所成的角為45°

【答案】ABD

解析：如圖，連接gC、BC、,因為QAJ/BC，所以直線BG與瓦。所成的角即為直線BG與。A所

成的角，因為四邊形BgCC為正方形，則耳CJ.BC，故直線BG與DA所成的角為90°,A正確;

連接AC，因為4瓦_L平面B4GC,

4與J.BQ,

因為4CL8G，4404。=片，所以80，平面Age,

又4。u平面44c，所以BG^CA，故B正確；

連接4G，設(shè)AGngQ=。，連接8。，

因為BB11平面45G。，G。U平面4耳GA,則G。lBtB,因為C。18,0,,B,D,cBXB=B},

所以G。，平面88QQ,

所以ZC.BO為直線BG與平面BBQQ所成的角,

設(shè)正方體棱長為1，則CQ=白，BC、=母,sinZC,56）=-1^=i

所以，直線與平面8片口。所成的角為30。，故C錯誤;

因為平面ABCO,所以NGBC為直線8G與平面ABCD所成的角，易得NGBC=45。,故D

正確.故選：ABD

【題目欄目】立體幾何'空間角\直線與平面所成的角

【題目來源】2022新高考全國I卷?第9題

3.（2021年新高考全國H卷?第10題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為

正方體的頂點.則滿足的是（）

【答案】BC

解析:設(shè)正方體的棱長為2,對于A,如圖（1）所示,連接AC,則MN〃AC,

故NPOC（或其補角）為異面直線OP,MW所成的角，在直角三角形OPC,OC=&，CP=1,故

1_y/2

tanZ.POC=，故MNJ_。尸不成立，故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取NT的中點為Q,連接尸Q,OQ,則OQLNT,PQLMN,

由正方體SB。/-N4DT可得SNL平面4VDT,而OQu平面4VDT,故SNLOQ,而SNnM7V=N,

故OQ1平面SN7M,又Wu平面SN7M,OQ1MN,而（9?？谑?。=。,

所以MV_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN工OP,故B正確.

對于C,如圖⑶，連接BD,則BDHMN,由B的判斷可得OPVBD,

故OP_LMV,故C正確.

對于D,如圖（4）,取4）的中點Q,的中點K,連接

AC,PQQQ,PK,OK,則AC//MN,

因為OP=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,所以NQP。或其補角為異面直線PQ,MN所成的角,

yf

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故PQ=；AC=夜，OQ=ylAO2+AQ1=>/1+2=>73,

P0=4PK2+OK-="R=后，QO-<PQ2+0P2,故NQPO不是直角，故PO,MN不垂直，故D錯

誤.故選BC

【題目欄目】立體幾何'空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系'空間中點線面的位置關(guān)系

【題目來源】2021年新高考全國II卷?第10題

4.（2021年新高考I卷?第12題）在正三棱柱ABC-A耳G中，A8=A4,=1,點P滿足而=4配+〃西，

其中0』］,則（）

A.當(dāng)4=1時，△AB/的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)；1=；時，有且僅有一個點P,使得8尸

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點P,使得A3,平面A87

【答案】BD

易知，點尸在矩形BCG4內(nèi)部(含邊界).

對于A,當(dāng)4=1時，弗=前+〃甌=而+〃%,即此時Pe線段CC1,△Agp周長不是定值，故A

錯誤；

對于B,當(dāng)〃=1時，麗=2配+西=甌+彳甌，故此時P點軌跡為線段,而4G〃8C,B,C,//

平面ABC,則有P到平面A8C的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于C,當(dāng)2時，8戶〃期；取BC,8C中點分別為。，H,則麗=項+〃函，所以

p點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，41號,0,1,P(O,O,〃),q0,；,()),

貝|」乖=一冬(),〃一1,麗=(0,-g,“，"("-1)=0,所以〃=o或〃=1.故均滿足，故c錯

誤；

對于D,當(dāng)〃=；時，BA=4B(j+：BB；,取BB-CQ中點為”,N.麗=麗+義麗，所以P點軌

乙乙

(1A(上、—(白一一(有1、

跡為線段MN.設(shè)P0,為,不，因為A—A0,所以AP=-寧,%，5,AB=，萬，-1，所

3111

以]+]%-5=0=%=-萬，此時P與N重合，故D正確，故選BD.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

【題目欄目】立體幾何'空間向量及其運算'空間向量的運算

【題目來源】2021年新高考I卷?第12題

二、填空題5.（2021年高考全國甲卷文科?第14題）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30〃則該圓

錐的側(cè)面積為

【答案】39乃

解析：?.?！/=工乃6?7=30萬

3

故答案為：39萬.

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和體積,空間幾何

體的體積

【題目來源】2021年高考全國甲卷文科?第14題

6.（2021年全國高考乙卷文科?第16題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和

俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一

【答案】③④

解析：選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④,

如圖所示，長方體ABC?！?4GA中，

AB=BC=2,BB]=1,

分別為棱B?,BC的中點，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對應(yīng)的幾何體為三棱錐E—

故答案為：③④.

【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)

量關(guān)系.

【題目欄目】立體幾何'空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖、三視圖'空間幾何體的三視圖

【題目來源】2021年全國高考乙卷文科?第16題7.（2021高考天津?第17題）如圖，在棱長為2正

方體ABC。一中，E為棱8c的中點，F(xiàn)為棱CD的中點.

⑴求證：。尸//平面AEG；

（II）求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

（川）求二面角4-AG-E的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；（II）也；（III）-.

93

解析：⑴以A為原點，A2,AZ）,例分別為x,y,z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則A（0,0,0）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,C,（2,2,2）,￡>.（0,2,2）,

因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以E（2,l,0）,F（l,2,0）,

所以方=（1,0,-2）,后=（2,2,0）,平=（2,1,-2）,

設(shè)平面AgG的一個法向量為石=（M，X，zJ,

m-AC=2x,+2y.=0一/、

則一L，令與=2，則加=（2,—2,1）,

m-A1E=2芯+%—2Z[=0

因為印?而=2—2=0,所以*_L而，因為。尸且平面AEG，所以。///平面AEG；

（II）由⑴得，福=（2,2,2）,設(shè)直線AG與平面AEG所成角為6,則]

2_

3x2百一9；

（III）由正方體的特征可得，平面441G的一個法向量為麗=（2,—2,0）,

8__2>/2

3x272~3

所以二面角A-AG-E的正弦值為Jl-cos2（而中=1.

【題目欄目】立體幾何'空間角'二面角

【題目來源】2021高考天津?第17題

8.（2020年高考課標II卷文科?第16題）設(shè)有下列四個命題：

Pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線m_L平面a,則m_L/

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl人P4②P|人P2③VP3④V「P4

【答案】①③④

【解析】對于命題P-可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為a；

若4與4相交，則交點A在平面a內(nèi)，

同理，4與4的交點B也在平面a內(nèi),

所以，ABua，即^ua,命題P1為真命題;

對于命題〃2,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個,

命題P］為假命題;

對于命題小，空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題P3為假命題；

對于命題p4,若直線m_L平面a,

則團垂直于平面a內(nèi)所有直線，

???直線/u平面，直線加_L直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，pi，p.為真命題，p2,n為假命題，

。1人。4為真命題，。1人。2為假命題，

-1^2VP3為真命題,—'PyV—1P4為真命題.

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能

力，屬于中等題.

【題目欄目】立體幾何'空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系、空間中點線面的位置關(guān)系

【題目來源】2020年高考課標H卷文科?第16題

9.（2020年高考課標IH卷文科?第16題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的體積為.

【答案】也乃

3

【解析】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，

其中8c=2,A3=AC=3,且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，

由于AM=\/32—I2=2V2,故^AABC=5X2X2夜=2夜,

BMC

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則:

=SaAOB+SaBoc+SaAoc=gxABxr+gxBCxr+；xACxr=gx(3+3+2)xr=2V2,

切出V2?...m43正

解得：r=-——，其體積：V--7rr3--——7t-

233

故答案為：.

3

【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接

點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各

個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體

對角線長等于球的直徑.

【題目欄目】立體幾何'球的問題'球的其它問題

【題目來源】2020年高考課標HI卷文科?第16題

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第16題）已知直四棱柱A8CD-481GD1的棱長均為2,ZBAD=60°.以

Q為球心，亞為半徑的球面與側(cè)面BCCIBI的交線長為

【答案】也》.

2

解析：如圖:

取gG的中點為E，的中點為E，C0的中點為G,

因為445=60。，直四棱柱ABC?！狝gG。的棱長均為2,所以△24G為等邊三角形，所以

=>/3>RE工B|C|,

又四棱柱ABC?！?4GA為直四棱柱，所以84，平面A4G2,所以Bq_LB|C|,

因為6瓦ngG=g,所以RE_L側(cè)面4GCB,

設(shè)P為側(cè)面BgCB與球面的交線上的點，則D,E1EP,

因為球的半徑為6，*=6,所以|￡P(guān)|=_田初2=拒,

所以側(cè)面B^CB與球面的交線上的點到E的距離為V2，

因為|EF|=|EG\=C，所以側(cè)面B￡CB與球面的交線是扇形EFG的弧FG，

7171

因為N4EF=NGEG=i，所以NFEG=z，

所以根據(jù)弧長公式可得FG=-xV2=—

22

【題目欄目】立體幾何、空間距離

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第16題

11.（2020年新高考全國I卷（山東）?第15題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧A8與直

3

線BC的切點，四邊形OEFG為矩形，BCLDG,垂足為C,tanZODC=1,BH//DG,EF=12cm,DE=2

cm,A到直線OE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為：Lem,則圖中陰影部分的面積為

【答案】4+算

2

解析：設(shè)OB=OA=r,由題意AM=AN=7,EF=12,所以N/=5,

因為AP=5,所以NAGP=45°，

因為BHUDG,所以44"0=45°，

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以O(shè)ALAG,

即4H為等腰直角三角形；

在直角△。。。中，OQ=5一與r，DQ=1一號r，

因為tan“DC=,=|'所以2「哈=25-聆,

解得r=2V2；

等腰直角△。4〃的面積為￡=1x272x272=4；

2

扇形AQB的面積邑=Jx?%x（2及『=3萬，

157r

所以陰影部分的面積為Si+S?—耳乃=4+：.

【題目欄目】立體幾何'簡單兒何體的表面積和體積'空間幾何體的表面積

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第15題

12.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第16題）某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面

如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧48與直線AG的切點，B是圓弧A8與直

3

線8c的切點，四邊形DEFG為矩形，BC±DG,垂足為C,tanZODC=1,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,

A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

解析：設(shè)O3=Q4=r,由題意AA/=AN=7,EF=12,所以Nr=5,

因為AP=5,所以NAGP=45°，

因為BH//DG,所以NA”O(jiān)=45°，

因為AG與圓弧AB相切于A點，所以。A,AG,

即△QAH為等腰直角三角形；

在直角△0Q。中，OQ=5—Y2「，Z）2=7--r.因為tanNOOC=gg=』，所以

22DQ5

30572

21------r-25------r，

22

解得尸=2正;

等腰直角△Q4H的面積為，=工x2&x2&=4；

2

扇形A08的面積邑=；x網(wǎng)x（2及『=3萬，

所以陰影部分的面積為Si+S2—耳1乃=4+彳57-r.

57r

故答案為：44---.

2

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和

體積'空間幾何體的表面積

【題目來源】2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第16題

13.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第13題）已知正方體A8CD-4B1QD1的棱長為2,M、N分別為

881、A8的中點，則三棱錐4/VMDi的體積為

【答案】-

3

解析：因為正方體ABCD-481GD1的棱長為2,M.N分別為BBi、AB的中點

lxlxlxlx2=-

所以匕-“岫=

323

故答案為：?

3

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積,空間幾何體的體積

【題目來源】2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第13題

14.（2020天津高考?第15題）如圖，在四邊形A8CD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

AD=ABC,ADAB=~,則實數(shù)九的值為,若是線段BC上的動點，且|麗|=1,

則麗?麗的最小值為

113

【答案】【答案】（1）.-⑵.萬

【解析】?.?AZ5=/IB3，???仞〃BC,../84。=180-/5=120,

ABAD=/1BCAB=2|BC|-|XB|COS120=2x6x3x[—1-|=-92=--,解得義」,

以點B為坐標原點，BC所在直線為％軸建立如下圖所示的平面直角坐標系xB.y,

?;BC=6,C（6,0）,|AB|=3,NABC=60°,r.A的坐標為

3至、

A

2,~

又人力:,有3，則。,設(shè)M（x,0）,則N（x+l,0）（其中04x45）,

6

所以，當(dāng)x=2時，麗___?_麗_取得最小值1：3.故答案為：:1；13

262

三、解答題

【題目欄目】立體幾何'線面、面面垂直的判定與性質(zhì)'線線垂直的問題

【題目來源】2020天津高考?第15題

15.（2020江蘇高考?第9題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺

帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

【答案】【答案】12^-5

2

［解析】正六棱柱體積為6x3x22x2=126,圓柱體積為%（與.2=￡

422

所求幾何體體積為故答案為：1273-^

【題目欄目】立體幾何'簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2020江蘇高考?第9題

16.（2019年高考天津文?第12題）已知四棱錐的底面是邊長為&的正方形，側(cè)棱長均為百.若圓柱的

一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體

積為,

【答案】【答案】v

【思路分析】求出正四棱錐的底面對角線長度和正四棱錐的高度，根據(jù)題意得圓柱上底面的直徑就在

相對中點連線，有線段成比例求圓柱的直徑和高，求出答案即可.

【解析工由題作圖可知，四棱錐底面正方形的對角線長為2,且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2,由于圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對角線的一半等于1,即半徑等于;；

由相似比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1,

2

則該圓柱的體積為：V=5/2=^（1）X1=^;故答案為f

244

【歸納與總結(jié)】本題考查正四棱錐與圓柱內(nèi)接的情況，考查立體幾何的體積公式，屬基礎(chǔ)題.

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積'空間幾何體的體積

【題目來源】2019年高考天津文?第12題

17.（2019年高考全國III文?第15題）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為

長方體A8CD-481GD1挖去四棱錐。一EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,H

分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,A4,=4cm.3D打印所用的原料密度為O.9g/cm3,不考慮打印

損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】【答案】118.8

【解析】該模型為長方體ABCO-ABCP，挖去四棱錐O-4GH后所得的幾何體，其中。為長方體

的中心，,分別為所在棱的中點，〃？,

E,F,G,HAB=BC=6cm,A4f=4c

..該模型體積為：

^BCD-A^D,-VO-EFGH=6x6x4-gx（4x6-4xgx3x2）x3=144-12=132（加），

???3。打印所用原料密度為0.9g/a/,不考慮打印損耗，

二制作該模型所需原料的質(zhì)量為：132x0.9=118.8（g）.故答案為：118.8.

【題目欄目】立體幾何\簡單幾何體的表面積和體積、空間幾何體的體積

【題目來源】2019年高考全國HI文?第15題

18.（2019年高考全國H文?第16題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多

為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是"半正多面體"（圖1）.半正多面體

是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48

的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為L則該半正多面體共

有個面，其棱長為.（本題第一空2分，第二空3分.）

圖1圖2【答案】【答案】26,近一1

【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共

有18+8=26個面.

解法一：如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為x,則AB=3E=x,延長CB與EE交于點G,延長交

正方體棱于H,由半正多面體對稱性可知，A5GE為等腰直角三角形，.?.BG=GE=C"=Y2X,

出該幾何體的截面，CD=1,CE=1,又ACDE為等腰直角三角形，則、反xL蘭=。，解得

22

<z=V2-l-則棱長為近一1.

【點評】本題考察數(shù)學(xué)文化，立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原關(guān)鍵，遇到新題別慌

亂，題目其實很簡單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快

速還原圖形.

【題目欄目】立體幾何'空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其直觀圖、三視圖'空間幾何體的直觀圖

【題目來源】2019年高考全國II文?第16題

19.（2019年高考全國I文?第16題）已知NAC8=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點尸到NAC8兩

邊AC,BC的距離均為公，那么P到平面ABC的距離為一.

【答案】【答案】^2

【解析】如圖，過尸點做平面A8C的垂線段，垂足為。，則PO的長度即為所求，再做

PE±CB,PFA.CA,由線面的垂直判定及性質(zhì)定理可得出J.C4,在mAPCV中，由

PC=2,PF=y/3,可得出CE=1,同理在RfA尸CE中可得出CE=1,結(jié)合NACB=90。，

0石_1。氏0尸_104可得出0后=0「=1,OC=0，PO=>]PC2-OC2=V2.

〃B【題目欄目】立體幾何'空間距離

【題目來源】2019年高考全國I