極限經(jīng)典例題集

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-例題1．在數(shù)列a}中，=1當(dāng)≥2時(shí)，a，S

成等比數(shù)列。（1）求a，a，a；（2）猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）求；（4考題）不使用猜想a的達(dá)式并數(shù)學(xué)歸納法證明的方法直接求a。1..解析：∵a，

成等比數(shù)列，∴（n）（1）把a(bǔ)=1，S=a+a=1+a代（）得：把a(bǔ)=1，同理可得：

代入（）得：。由此可以推出：（2當(dāng)n=1，2，3時(shí)，由*）知猜想成立。（ii）假設(shè)n=k（k），故

成立?！?/p>

或（去）由

得即n=k+1時(shí)，命題也成立。由（i可知，--

對(duì)一切n∈優(yōu)質(zhì)資料

--N成。

-（3）由（2）數(shù)列前n項(xiàng)和（4）對(duì)于{}通項(xiàng)還可以這樣來(lái)求：

，所有項(xiàng)和∵，∴，故

是以

為首項(xiàng)，

為公差的等差數(shù)列故，注對(duì)于含有a的系式中常將a用S－S（n≥2）代（或S－S用a代成S，S（或a，a）遞歸關(guān)系式。例1.數(shù)列{a}滿足下列條，求其通公式a。nn(1)a，1(2)a，1(3)a，{a}的前n項(xiàng)和S滿足1nn(1)

解……將以上各式疊加，得

∴--

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-又n=1時(shí)，(2)……將以上各式疊乘，得a=n(n+1)(n2)n當(dāng)n=1時(shí)，1(1+1)=2=a∈N)1n(3)2SS=S-S(n≥2)nn在上式兩邊除以SS，得n∴數(shù)列

∴∴為首項(xiàng)，公為2的等數(shù)列。例2、在等差數(shù){a}中n(1)若a=q，a=p(p、q∈N*且qp)，求a；pq(2){a}共有n項(xiàng)，其四項(xiàng)之和為124，其最后四項(xiàng)之和為156，其所有項(xiàng)之和為210，求n數(shù)n；(3)若a}前n項(xiàng)和記為S，且有nn解(1)

，求S

的X圍--

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-∵a=a+(q-p)dqp(2)∵a+a+a+a1234a+a+a+a=156n∴(a+a)+(a+a)+(a+a)+(a+a)=2801n234∴4(a+a)=280+a=701n1n

∴a=a+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0p∴n=6(3)設(shè)

前n項(xiàng)和將以上兩式減得：兩邊同除以m-n，得例3、數(shù)列{a}中S是其nnn項(xiàng)和，=1，S=4a+2(n∈N)1n(1)設(shè)b=a-2a，求證數(shù)為等數(shù)列并求通項(xiàng)公式nnn(2)設(shè)

，求證數(shù)列}是差數(shù)列并其通項(xiàng)解(1)∵S=4a+2n∴S=4a+2將以上兩式減，得a=4a-4a∴a-2a=2(a-2a)nn--

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-又s=4a+2=a+a∴a=521122∴數(shù)列b}是以b=a-2a=5-2=3首項(xiàng)，q=2為比的等比列。n121∴b=32n(2)為首項(xiàng)，

∴數(shù)列{}是以為公差的等數(shù)列。例4、在等數(shù)列{a}中，公差d≠0，a是a與a的n214比中項(xiàng)，已數(shù)列

成等比數(shù)列求數(shù)列k}的通項(xiàng)kn

n

解∵a是a與a的等中項(xiàng)214∵

∵d0∴a=d1是等差數(shù)列的第k項(xiàng)，等比數(shù)列中第n+2項(xiàng)n且∴

=a+(k-1)d=d+(k-1)d=k1nnn∴2.數(shù)的限應(yīng)用恒等換和極限四項(xiàng)運(yùn)法則，將數(shù)列的極轉(zhuǎn)化為三個(gè)基極限來(lái)求解。數(shù)歸法數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)基本驟：第一，驗(yàn)證n=n時(shí)，題成立；第二步，假設(shè)n=k時(shí)，命0題成立然后用歸納假證明n=k+1時(shí)成立數(shù)學(xué)歸法證明命題時(shí)特別要求證明的邏輯嚴(yán)密性。數(shù)學(xué)納法通常來(lái)證明有等式，不等式，整除，幾何命題等例5.數(shù)列{a}滿足n

，a=21(1)求數(shù)列a}的通項(xiàng)；n(2)令出n∈(110000)內(nèi)bbbb為整數(shù)的有123n--

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--值的和。解(1)由a=2得：1由a=3得：2由a=4得：3猜測(cè)：=n+1(n∈N)n下用數(shù)學(xué)歸法證明該測(cè)1°當(dāng)n=1時(shí)，a=1+1=2，命題成12°假設(shè)n=k(k∈N)時(shí)，命題成立即有a=k+1，k則=(k+1)+1即n=k+1時(shí)命題也成。綜合1，2知，a∈N)n(2)∵將a=n+1代n

入

得

-=log(n+2)2欲使bb…b為整，須使n+2為2的整冪123n∵n∴n+2是以22，2，2，2∴所求為22-2)+(2-2)+(2-2)++(213-2)=22+23+2+…+213-24=2-28=16356例6.無(wú)窮數(shù)列{a}的n項(xiàng)為，無(wú)窮列b}的前n項(xiàng)和，n∈N*，有b+=n，nnnn(1)證明：數(shù)列1-b}是等數(shù)列；n(2)求--

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-(3)比較

的大小關(guān)系解：(1)首先b+C=1而C=b，得1111由已知：b+=n，有+=n+1n+1將兩式相減有-b+b=1n∴

數(shù)

列{1-b}n

是

以的等比數(shù)列(2)

由(1)

知：--

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-(3)n=1時(shí)，n≥2時(shí)，綜

上，當(dāng)n=1或2時(shí)，顯然有當(dāng)n≥時(shí)這時(shí)

例7.設(shè)

，不論β為何數(shù)，恒有f(cos)≤0，f(2-sinβ)0，正數(shù)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=f(a)，n∈Nnnn(1)求b值；(2)求a}的通項(xiàng)式；n(3)令

，{}的前n項(xiàng)和T，比較T與nn

的大小。解(1)當(dāng)cos=1時(shí)，有f(1)0當(dāng)sin=1時(shí)，有f(2-sinβ≥0∴f(1)=0(2)令n=1，解得a=3或a=-1(舍11--

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-將

以

上

兩

式

相

減，∵{a為正數(shù)數(shù)列，a>0，+a>0nnn∴a-a=2(n≥2)n∴{a是以a=3為首，公差為2的等差數(shù)列n1∴a2=2n+1n(3)∴T=C+C+…+n12[課后習(xí)]1.數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式a=n-kn，數(shù)列a}是遞的，則實(shí)k的取值圍()nnn(A)k<3(B)k(C)k<2(D)k22.數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式n(A)4(B)5(C)6(D)7

，當(dāng)a取最大時(shí)，n等于)n3.數(shù)列{a}滿足a=0，，則a等于)n1(A)0(B)(C)(D)--

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-4.等比數(shù)列{a中，a>0，aa=16，loga+loga…+loga=_____nn5641424105.在等比數(shù){a}中，a，a是方程7x-18x+7=0的兩個(gè)根，則n596.數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和滿足a+2SS=0(n≥2)，nnnnn-1(1)求證：

是等差數(shù)列(2)求a；n(3)若b=2(1-n)a(n≥2)，證：nn7.已知數(shù)列{a的首項(xiàng)a=5，前n項(xiàng)和S，且S=2S+n+5(n∈N)n1nn(1)證明數(shù)列a+1}等比數(shù)列n(2)令f(x)=ax+ax2++ax，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f(1)12n[參考案]1.選A∵a-a=(n+1)-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(n∈N)n∴k<2n+1對(duì)任意n∈N成立而2n+1最值為3，∴k<32.選A個(gè)單位，再移

∴a圖象可作是函數(shù)n個(gè)單位而得(a圖象是一孤立點(diǎn))畫圖n可知，最大43.選B∴可知{a}的各n項(xiàng)數(shù)值以3為周期重復(fù)出--

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-4.5.又a，a，a符號(hào)相同，=157976.(1)由a+2SS=0(n2)nn∴S+2SS=0≥nn為首項(xiàng)，公為的等數(shù)列。(2)(3)7.(1)∵S=2S+n+5n∴S=2S+(n-1)+5(n2)n∴S-S=2(S-S)+1(n2)nn--

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-即a=2a+1(n2)n∴a+1=2(a+1)(n2)n∴{a+1}從第2項(xiàng)起，公比為2的等比數(shù)n又a=5由S=2S令n=11n有S=2S+6∴a+a=2a+6∴a=11211212∴{a+1}是以a+1=6為項(xiàng)，公比為2的等比列n1(2)∵f(x)