新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步.6.1直線與直線垂直課時素養(yǎng)檢測（含解析）新人教A版必修第二冊

/09/9/課時素養(yǎng)檢測二十九直線與直線垂直(25分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1,當(dāng)取l4為B1C1時,l1∥l4,當(dāng)取l4為BB1時,l1⊥l4,故排除A,B,C,選D.2.設(shè)P是直線l外一定點(diǎn),過點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線()A.有無數(shù)條 B.有兩條C.至多有兩條 D.有一條【解析】選A.如圖所示,過點(diǎn)P作直線l′∥l,以l′為軸,與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角.3.如圖是一個正方體的平面展開圖,則在正方體中,AB與CD的位置關(guān)系為()A.相交 B.平行C.異面而且垂直 D.異面但不垂直【解析】選D.將展開圖還原為正方體,如圖所示.4.(多選題)如圖,在正四棱柱(側(cè)面為矩形,底面為正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則以下結(jié)論中成立的是()A.EF⊥BB1 B.EF⊥BDC.EF與CD異面 D.EFD.EF與A1C1異面【解析】選ABC.連接A1B,因為E,F分別是AB1,BC1的中點(diǎn),所以EF是△A1BC1的中位線,所以EF∥A1C1,故D錯誤,ABC正確.二、填空題(每小題4分,共8分)5.如圖,在正方體ABCD-EFMN中,①BM與ED平行;②CN與BM是異面直線;③CN與BE是異面直線;④DN與BM是異面直線;以上四個說法中,正確說法的序號是__________.?【解析】在①中,直線BM與ED為異面直線,故①不正確.在②中,由異面直線的判定方法可得直線CN與BM是異面直線,故②正確.在③中,由條件可得四邊形BCNE為平行四邊形,故CN與BE平行,故③不正確.在④中,由異面直線的判定方法可得直線DN與BM是異面直線,故④正確.綜上②④正確.答案:②④6.(雙空題)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則當(dāng)AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH為菱形,當(dāng)AC,BD滿足條件________時,四邊形EFGH是正方形.?【解析】易知EH∥BD∥FG,且EH=QUOTEBD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=QUOTEAC=HG,顯然四邊形EFGH為平行四邊形.要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF=EH,即AC=BD;要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BDAC=BD且AC⊥BD三、解答題(共26分)7.(12分)如圖,在長方體ABCD??A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)求異面直線BC1與CD1所成角的余弦值;(2)求三棱錐B??D1AC的體積.【解析】(1)因為AD1∥BC1,所以∠AD1C是異面直線BC1與CD1所成的角或其補(bǔ)角.在等腰△ACD1中,AC=QUOTE,CD1=QUOTE,AD1=QUOTE,易得cos∠CD1A=QUOTE.即異面直線BC1與CD1所成角的余弦值為QUOTE.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.8.(14分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1.【解析】連接CD1,AC,由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角,因為異面直線A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°,因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2QUOTE,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=QUOTEAC.因為底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,所以AC=2QUOTE×sin60°×2=6,所以AD1=QUOTEAC=3QUOTE,所以AA1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)P在線段AD′上運(yùn)動,則異面直線CP與BA′所成θ角的取值范圍是()A.0°<θ<90° B.0°<θ≤90°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°【解析】選D.如圖,連接CD′,則異面直線CP與BA′所成的角θ等于∠D′CP,由圖可知,當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時,θ=60°,當(dāng)P點(diǎn)無限接近D′點(diǎn)時,θ趨近于0°,由于是異面直線,故θ≠0°.2.如圖,在正四面體O-ABC中,D是OA的中點(diǎn),則BD與OC所成角的余弦值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.取AC的中點(diǎn)E,連接DE,BE,根據(jù)題意∠BDE為異面直線BD與OC所成的角,設(shè)正四面體的棱長為2,則DE=1,BD=BE=QUOTE,cos∠BDE=QUOTE=QUOTE,所以BD與OC所成角的余弦值是QUOTE.3.如圖,三棱柱ABC??A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是()A.CC1與B1E是異面直線B.CC1與AE是共面直線C.AE與B1C1是異面直線D.AE與BB1是共面直線【解析】選C.由于CC1與B1E均在平面BCC1B1內(nèi),不是異面直線;CC1∩平面ABC=C,AE?平面ABC,點(diǎn)C不在直線AE上,所以CC1和AE是異面直線,同理BB1與AE是異面直線,AE∩平面BCC1B1=E,B1C1?平面BCC1B1,點(diǎn)E不在直線B1C1上,則AE與B1C1是異面直線.4.(多選題)一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論,其中正確的是()A.AB⊥EFB.AB與CM所成的角為60°C.EF與MN是異面直線D.MN∥CD【解析】選AC.把正方體平面展開圖還原為原來的正方體,如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正確.二、填空題(每小題4分,共16分)5.已知∠ABC=120°,異面直線MN,PQ.其中MN∥AB,PQ∥BC,則異面直線MN與PQ所成的角為________.?【解析】結(jié)合等角定理及異面直線所成角的范圍可知,異面直線MN與PQ所成的角為60°.答案:60°6.若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則B1D與CC1所成角的正切值為________.?【解析】如圖,B1D與CC1所成的角為∠BB1D.因為△DBB1為直角三角形,所以tan∠BB1D=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.空間中∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行,∠A=70°,則∠B=________.?【解析】因為∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.答案:70°或110°8.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是________.?【解析】如圖,取AC的中點(diǎn)G,連接FG,EG,則FG∥C1C,FG=C1C,EG∥BC,EG=QUOTEBC,故∠EFG即為EF與C1C所成的角(或補(bǔ)角),在Rt△EFG中,cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題14分,共28分)9.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA是該棱錐的高,且OA⊥AD,OA⊥AC,OA=2,M為OA的中點(diǎn).(1)求四棱錐O-ABCD的體積;(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小.【解析】(1)由已知可求得,正方形ABCD的面積S=4,所以,四棱錐O-ABCD的體積V=QUOTE×4×2=QUOTE.(2)連接AC,設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E,連接ME,DE,則∠EMD為異面直線OC與MD所成的角(或其補(bǔ)角),由已知,可得DE=QUOTE,EM=QUOTE,MD=QUOTE,因為(QUOTE)2+(QUOTE)2=(QUOTE)2,所以△DEM為直角三角形,所以tan∠EMD=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD的中點(diǎn).求證:CD1⊥EF.【證明】取CD1的中點(diǎn)G,連接EG,DG.因為E是BD1的中點(diǎn),所以EG∥BC,EG=QUOTEBC.因為