假設(shè)檢驗(yàn)續(xù)的學(xué)習(xí)教案

假設(shè)檢驗(yàn)續(xù)的學(xué)習(xí)教案第1頁/共38頁一、一致最優(yōu)功效檢驗(yàn)

設(shè)統(tǒng)計(jì)模型為，考慮檢驗(yàn)問題對(duì)這個(gè)一般的假設(shè)檢驗(yàn)問題給出最優(yōu)檢驗(yàn)的定義如下：定義9.1在檢驗(yàn)問題(7)中，的檢驗(yàn)，有不等式第2頁/共38頁(UniformlyMostPowerfulTest)一致最優(yōu)功效檢驗(yàn)，簡記為UMPT。對(duì)所有的都成立，對(duì)復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)而言，UMPT的存在性不但與總體的分布有關(guān)，而且與所考慮的假設(shè)檢驗(yàn)問題有關(guān)。為了說明問題，我們先看下面兩個(gè)例子。第3頁/共38頁例9.1的簡單樣本。求檢驗(yàn)問題解由例8.1可知，檢驗(yàn)問題水平為的最優(yōu)功效檢驗(yàn)具有拒絕域第4頁/共38頁或檢驗(yàn)函數(shù)它顯然也是檢驗(yàn)問題(9)的水平為的檢驗(yàn)。又由于是檢驗(yàn)問題(9)的水平為的MPT，所以對(duì)任意第5頁/共38頁給定的有都有由此例可知對(duì)簡單原假設(shè)對(duì)簡單備擇假設(shè)檢如果MPT不依賴于備擇假設(shè)的參數(shù)，驗(yàn)問題，則可適當(dāng)擴(kuò)大備擇假設(shè)，并由MPT獲得UMPT。這擴(kuò)大了N-P引理的應(yīng)用范圍。第6頁/共38頁例9.2的簡單樣本，試證明檢驗(yàn)問題證明反證法假設(shè)所考慮檢驗(yàn)問題的水平為的UMPT是，有則對(duì)任何水平為的檢驗(yàn)第7頁/共38頁因此有特別地，根據(jù)N-P引理知具體表示式為第8頁/共38頁此時(shí)MPT的功效為由分布函數(shù)的非減性知，單調(diào)增函數(shù)，這與(9)矛盾，故結(jié)論成立。第9頁/共38頁我們將N-P引理應(yīng)用這個(gè)例子，對(duì)檢驗(yàn)問題而對(duì)檢驗(yàn)問題第10頁/共38頁這說明對(duì)檢驗(yàn)問題相應(yīng)MPT的拒絕域與備擇假設(shè)有關(guān)，因此一致最優(yōu)功效檢驗(yàn)(UMPT)就不一定存在。那么在什么情況下UMPT存在？若存在，如何來求？為了方便我們將檢驗(yàn)問題分成單邊檢驗(yàn)問題和雙邊檢驗(yàn)問題：第11頁/共38頁雙邊檢驗(yàn)問題并分別進(jìn)行討論。（一）單邊假設(shè)檢驗(yàn)從例9.1可知，在有些情況下，關(guān)于單邊假設(shè)檢驗(yàn)問題存在UMPT。但一般來說對(duì)單邊檢驗(yàn)問題，由于MPT依賴于參數(shù)的備選值，所以UMPT可以不存在。那么在什么情況下UMPT存在及如何求呢？我們有下面的判斷定理。第12頁/共38頁定理9.1率)是單參數(shù)的并可表示為函數(shù)，則對(duì)單邊檢驗(yàn)問題(1)其檢驗(yàn)函數(shù)為水平為的UMPT存在，（10）第13頁/共38頁其中常數(shù)和有下式確定(2)的增函數(shù)。注意：有關(guān)這個(gè)定理的詳細(xì)證明可參看BickelP.J.《MathematicalStatistics--BasicIdeasandSelectedTopics》(1)的確定方法可參看N-P引理的注。第14頁/共38頁如果定理中的是的嚴(yán)格單減函數(shù)，則定理的結(jié)論同樣成立，只需要將(10)中的不等號(hào)改變方向。(2)(3)對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問題則定理8.1的結(jié)論全部成立。(4)對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問題和假設(shè)檢驗(yàn)問題第15頁/共38頁可以分別化為假設(shè)檢驗(yàn)問題同樣可以使用定理8.1來求UMPT。和假設(shè)檢驗(yàn)問題第16頁/共38頁例9.3分布，設(shè)某種設(shè)備的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)即密度函數(shù)為我們想知道這種類型的設(shè)備的平均壽命是否大于，即所考慮假設(shè)檢驗(yàn)問題為現(xiàn)抽取個(gè)此類設(shè)備進(jìn)行試驗(yàn)直到設(shè)備不能正第17頁/共38頁解常工作為止，并記錄其壽命分別為樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為令則假設(shè)檢驗(yàn)問題變?yōu)榭筛膶憺榈?8頁/共38頁這樣的拒絕域?yàn)橛啥ɡ?.1可知水平為的UMPT單調(diào)增函數(shù)，(連續(xù)隨機(jī)變量)其中滿足因此只要求出的分布，就可確定常數(shù)，留作課后習(xí)題。第19頁/共38頁例9.4設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單樣本，其中是未知參數(shù)。試求檢驗(yàn)問題的水平為的UMPT。解樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為(11)第20頁/共38頁即這樣格單調(diào)增函數(shù)，所以有定理9.1對(duì)檢驗(yàn)問題(11)而言，UMPT存在。由于是連續(xù)隨機(jī)變量，水平為的UMPT的檢驗(yàn)函數(shù)為第21頁/共38頁其中常數(shù)由下式確定又由于當(dāng)時(shí)，～再由相互獨(dú)立性可得所以～～從而可得，第22頁/共38頁故所求的檢驗(yàn)問題的水平為的UMPT的拒絕域?yàn)榈?3頁/共38頁（二）雙邊假設(shè)檢驗(yàn)這里僅討論假設(shè)檢驗(yàn)問題的UMPT的存在性及求法，至于另兩類雙邊假設(shè)檢驗(yàn)問題留在后面討論。定理9.2率)是單參數(shù)的并可表示為(12)第24頁/共38頁函數(shù)，則對(duì)雙邊檢驗(yàn)問題(12)，存在水平為的UMPT,其檢驗(yàn)函數(shù)為其中四個(gè)常數(shù)由下式確定第25頁/共38頁二、一致最優(yōu)功效無偏檢驗(yàn)

對(duì)另外兩類雙邊假設(shè)檢驗(yàn)問題和即使樣本的聯(lián)合密度函數(shù)(或分布率)(單參數(shù))具有定理9.1和定理9.2中的常見表達(dá)式，關(guān)于這兩類檢驗(yàn)問題的UMPT也不存在。實(shí)際上例9.2早已說明了這一事實(shí)。(13)(14)第26頁/共38頁既然對(duì)上述兩類檢驗(yàn)問題不存在UMPT，哪如何處理呢？象估計(jì)問題一樣，自然是對(duì)檢驗(yàn)提出某種合適的要求，然后在滿足這種特定要求的較小的檢驗(yàn)類中尋找最優(yōu)的檢驗(yàn)，其中一種簡單的要求就是所謂的無偏性。定義9.2設(shè)是假設(shè)檢驗(yàn)問題的檢驗(yàn)函數(shù)，若其功效函數(shù)滿第27頁/共38頁足條件則稱為水平為的無偏檢驗(yàn)。(UnbiasedTest)顯然，水平為的UMPT一定是無偏檢驗(yàn)。定義9.3在檢驗(yàn)問題中，若存在一個(gè)水平為的無偏檢驗(yàn)，使得第28頁/共38頁對(duì)任一水平為的無偏檢驗(yàn)，不等式對(duì)所有的都成立，則稱檢驗(yàn)是水平簡記為UMPUT。為的一致最優(yōu)功效無偏檢驗(yàn)，(UniformlyMostPowerfulUnbiasedTest)對(duì)某些檢驗(yàn)問題，雖然不存在UMPT，但存在UMPUT，例如對(duì)上面提到的兩類雙邊檢驗(yàn)問題，就存在UMPUT。UMPUT存在性及如何構(gòu)造歸結(jié)為如下兩個(gè)定理。第29頁/共38頁定理9.3率)是單參數(shù)的并可表示為函數(shù)，則對(duì)雙邊檢驗(yàn)問題(14)和任一水平存在UMPUT,其檢驗(yàn)函數(shù)為第30頁/共38頁其中四個(gè)常數(shù)由下式確定定理9.4率)是單參數(shù)的并可表示為函數(shù)，則對(duì)雙邊檢驗(yàn)問題(13)和任一水平存在UMPUT,其檢驗(yàn)函數(shù)為第31頁/共38頁其中四個(gè)常數(shù)由下面兩個(gè)式子確定第32頁/共38頁例9.5設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單樣本，其中是未知參數(shù)。試求檢驗(yàn)問題的水平為的UMPUT。解樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為第33頁/共38頁這樣增函數(shù)。又由于所以由定理9.4知水平為的UMPUT存在，其檢驗(yàn)函數(shù)為其中滿足所以由第一第34頁/共38頁式可得由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，將代入第二式可得所以只有當(dāng)（15）第35頁/共38頁

時(shí)上式才能成立。這樣分布的對(duì)稱性及(15)式可即～再由可得