2021年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)試卷

2021年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（3分）（2021?廣東）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.TTB.?C.|-2|D.3

2.（3分）（2021?廣東）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、

市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.510858XIO9B.51.0858X107

C.5.10858X104D.5.10858X108

3.（3分）（2021?廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概

率是（）

A.-LB.AC.AD.A

12632

4.（3分）（2021?廣東）已知”=3,27"=4,則32m+3"=（）

A.1B.6C.7D.12

5.（3分）（2021?廣東）若?-仆+4ga2_：L2ab+4b2=0,則（）

7.（3分）（2021?廣東）如圖，AB是的直徑，點C為圓上一點，AC=3,/4BC的平

分線交AC于點。，CD=\,則的直徑為（）

A.V3B.25/3C.1D.2

8.（3分）（2021?廣東）設(shè)6-百5的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則（2a+J而）8的值

是（）

A.6B.25/10C.12D.9^/10

9.（3分）（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,

此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為小b,c,

記則其面積s=Jp（p-a）（p-b）（p-c）.這個公式也被稱為海倫-秦九韶公

式.若p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為（）

A.V5B.4C.275D.5

10.（3分）（2021?廣東）設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A、B為拋物線y=/上的兩個動點，且OA

VOB.連接點A、B,過。作。CLA8于點C,則點C到），軸距離的最大值（）

A.AB.返C.返D.1

222

二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.

11.（4分）（2021?廣東）二元一次方程組1'+2了=-2的解為____________________.

\2x+y=2

12.（4分）（2021?廣東）把拋物線y=2?+l向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位

長度，得到的拋物線的解析式為.

13.（4分）（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，NA=90°,2c=4.分別以點B、

點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點。、E、F,則圖中

陰影部分的面積為.

BEC

14.（4分）（2021?廣東）若一元二次方程/+fer+c=0（b,c為常數(shù)）的兩根xi,%2滿足-

3<%1<-1,1<X2<3,則符合條件的一個方程為.

15.（4分）（2021?廣東）若則》2-2。=.

2

x6x

16.（4分）（2021?廣東）如圖，在oABCD中，AD=5,4B=12,sinA-A.過點力作￡>E

5

LAB,垂足為E,貝i」sin/BCE=.

17.（4分）（2021?廣東）在AABC中，/ABC=90°,AB=2,BC=3.點。為平面上一個

動點，N49B=45°,則線段CQ長度的最小值為.

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.

‘2x-4>3（x-2）

18.（6分）（2021?廣東）解不等式組|、?_7.

4x〉*

2

19.（6分）（2021?廣東）某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽.用簡單隨機(jī)抽樣

的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：

（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù).

20.（6分）（2021?廣東）如圖，在RtZ\A2C中，NA=90°,作3c的垂直平分線交AC于

點。，延長4c至點E,使CE=A艮

（1）若4E=1,求△A8O的周長：

（2）若求tan/A8C的值.

3

B

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分。

21.（8分）（2021?廣東）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，一次函數(shù)（k>0）的圖象與x

軸、y軸分別交于A、B兩點,且與反比例函數(shù)丫=匹圖象的一個交點為P（1,〃?）.

x

（1）求"?的值；

（2）若以=2AB,求左的值.

22.（8分）（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽

子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家

用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬

肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50WxW65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：

元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

23.（8分）（2021?廣東）如圖，邊長為1的正方形ABCQ中，點E為A。的中點.連接8E,

將AABE沿8E折疊得到△FBE,8F交AC于點G,求CG的長.

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題10分，共20分。

24.（10分）（2021?廣東）如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB^CD,NABC=90°,

點E、F分別在線段BC、上，H.EF//CD,AB=AF,CD=DF.

（1）求證：CFLFB；

（2）求證：以AO為直徑的圓與BC相切；

(3)若EF=2,ZDF￡=120°，求△AOE的面積.

25.（10分）（2021?廣東）已知二次函數(shù)y=a/+fer+c的圖象過點（-1,0）,且對任意實數(shù)

x,都有4x-12^ax2+bx+c^2x2-8x+6.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點為4,與y軸交點為C；點M是（1）

中二次函數(shù)圖象上的動點.問在x軸上是否存在點M使得以A、C、M、N為頂點的四

邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2021年廣東省東莞市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

I.（3分）（2021?廣東）下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.TTB.圾C.|-2|D.3

【考點】算術(shù)平方根；實數(shù)大小比較.

【解答】解：|-2|=2,

V2<4,

?■-V2<2<3<ir,

二最大的數(shù)是m

故選：A.

2.（3分）（2021?廣東）據(jù)國家衛(wèi)生健康委員會發(fā)布，截至2021年5月23日，31個?。▍^(qū)、

市）及新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.510858X109B.51.0858XI07

C.5.10858X104D.5.10858X108

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【解答】解:51085.8萬=510858000=5.10858X1（）8,

故選：D.

3.（3分）（2021?廣東）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概

率是（）

A.-LB.Ac.AD.A

12632

【考點】列表法與樹狀圖法.

【解答】解：畫樹狀圖為：

開始

缶缶缶4

和234567345678456789567891067891011789101112

共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果有6種,

兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率為&=1，

366

故選：B.

4.（3分）（2021?廣東）已知9m=3,27"=4,則32m（）

A.1B.6C.7D.12

【考點】同底數(shù)累的乘法；塞的乘方與積的乘方.

【解答】解：：9"=32，"=3,27"=33"=4,

...32,?+3?=32?,X33"=3X4=12.

故選：D.

5.（3分）（2021?廣東）若|a-北+?@2_3+4b2=。，則（）

A.V3B.2C.473D.9

2

【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.

【解答】解：由題意得，a-?=0,9a2-l2ab+4b2=0,

解得“=y，b=^H,

2

所以，返="1

22

【考點】幾何體的展開圖.

【解答】解：由正方體的四個側(cè)面和底面的特征可知，可以拼成正方體是下列三個圖形:

故這些圖形是正方體展開圖的個數(shù)為3個.

故選：C.

7.（3分）（2021?廣東）如圖，AB是。。的直徑,點C為圓上一點，4c=3,NABC的平

分二線交AC于點O,,CD=1,則。。的直徑為（）

A.V3B.273c1D.2

【考點】圓周角定理.

;【解答】解：如圖，過點力作。于T.

〈AB是直徑，

AZACB=90°,

：.DC±BC,

〈OB平分NC3A,DC.LBC,DT±BA,

:.DC=DT=3

,.,AC=3,

：.AD=AC-CD=2,

：.AD=2DT,

AZA=30°，

：.AB=—應(yīng)—=4=2?,

cos300禽

故選：B.

8.(3分)(2021?廣東)設(shè)6-萬的整數(shù)部分為m小數(shù)部分為6,則(2。+/元)〃的值

是()

A.6B.25/10C.12D.9^/10

【考點】估算無理數(shù)的大小.

【解答】解：：3<百5<4,

.\2<6-V10<3.

V6-丁元的整數(shù)部分為小小數(shù)部分為b,

.,.a=2,b=6-Vw_2=4_V10>

(2a+77o)b=(2X2+775)x(4-715)=<4-V7o)=6，

故選:A.

9.(3分)(2021?廣東)我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,

此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,c,

記°=”產(chǎn)，則其面積5=Vp(p-a)(p-b)(p-c).這個公式也被稱為海倫-秦九韶公

式.若2=5,c=4,則此三角形面積的最大值為()

A.臟B.4C.275D.5

【考點】完全平方式；二次根式的化簡求值.

【解答】解：?.?「=￡*,p=5,c=4,

2

?c—a+b+4

??2),

2

。+人=6,

.?.〃=6-b,

?'?5=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

=V5(5-a)(5-b)(5-4)

=V5(5-a)(5~b)

=V5ab-25

=V5b(6-b)-25

^V-5b2+30b-25

=V-5（b-3）2+20,

當(dāng)岳=3時，S有最大值為倔=2旄.

故選：C.

10.（3分）（2021?廣東）設(shè)。為坐標(biāo)原點，點A、B為拋物線），=/上的兩個動點，且04

LOB.連接點4、B,過。作OCJ_A8于點C,則點C到），軸距離的最大值（）

A.AB.返C.退D.1

222

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值.

【解答】解：如圖，分別作AE、垂直于x軸于點E、F,

設(shè)OE=a,OF=b,由拋物線解析式為y=7,

則AE=/,BF=b1,

作于”，交y軸于點G,連接AB交y軸于點￡>,

設(shè)點。（0,m）,

,:DG〃BH,

4ADG?XABH,

2

?DG_AG即IR-a_a

=

*'BH=AH''b2_a277b-

化簡得：

VZAOB=90°,

：.ZAOE+ZBOF=90Q,

又NAOE+NE4O=90°,

；.NBOF=NEAO,

又NAEO=/8FO=90°,

.,.△AEO-AOFB.

?AEEO

^OF=BP7'

2

即且一=三，

bb2

化簡得ab=1.

則m=必=1,說明直線A5過定點。，。點坐標(biāo)為（0,1）.

VZDCO=90°,DO=T,

???點。是在以。O為直徑的圓上運動，

當(dāng)點C到y(tǒng)軸距離為/口0=*時，點C到y(tǒng)軸距離的最大.

故選：A.

yA

圖i

二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分.

x=2

11.（4分）（2021?廣東）二元一次方程組［x+2y=-2的解為［y=-2

［2x+y=2

【考點】解二元一次方程組.

【解答】解：［x+2y=-%,

12x+y=2②

①X2-②，得：3y=-6,即y=-2,

將y=-2代入②，得：2x+（-2）=2,

解得：x=2,

所以方程組的解為1x=2.

ly=-2

故答案為1x=2.

ly=-2

12.（4分）（2021?廣東）把拋物線y=2?+l向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位

長度，得到的拋物線的解析式為y=2?+4x.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【解答】解：把拋物線y=2?+l向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得

到的拋物線的解析式為：y=2（x+1）2+1-3,即y=2?+4x

故答案為,y=2x2+4x.

13.（4分）（2021?廣東）如圖，等腰直角三角形ABC中，NA=90°,8c=4.分別以點B、

點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點。、E、F,則圖中

陰影部分的面積為4-n.

BEC

【考點】等腰直角三角形；扇形面積的計算.

【解答】解：等腰直角三角形A3C中，NA=90°,BC=4,

.?.NB=NC=45°,

.'.AB—AC—昱BC=2近

2

,:BE=CE=LBC=2,

2

2

.?.陰影部分的面積S-SMBC-SmBDE~SX2A/2X2?-45兀X2-X2=

2360

4-n,

故答案為4-T[.

14.（4分）（2021?廣東）若一元二次方程/+bx+c=0（b,c為常數(shù)）的兩根xi,X2滿足-

3<%i<-1,1<X2<3,則符合條件的一個方程為2=0（答案不唯一）.

【考點】一元二次方程的定義.

【解答】解：..?若一元二次方程/+灰+c=0（b,c為常數(shù)）的兩根內(nèi)，液滿足-3Vxi

<-1,1<X2<3,

???滿足條件分方程可以為：f-2=0（答案不唯一），

故答案為：?-2=0（答案不唯一）.

15.（4分）（2021?廣東）若彳+工=整■且0<x<l,則/-1-=-強(qiáng).

x6x2——36~

【考點】分式的化簡求值.

【解答】解：

X

-工VO,

X

??什1―13

X6

（x+A）2=J69,即）+2+_l_=Mi,

x36x236

-2+—-4,

x236

（x-A）2=空，

x36

.??.人'1—=-'5",

X6

/.x2--i-=（x+A）（%-A）=Wx（-5）=-尬，

xx6636

故答案為：-垣.

36

16.（4分）（2021?廣東）如圖，在eABCQ中，AD=5,AB=12,sinA=A.過點。作。E

5

9則

LAB,垂足為E,則sin/8CE=50.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形.

【解答】解：如圖，過點8作8RLEC于點F,

'JDEVAB,AD=5,sinA=^-=A

AD5

：.DE=4,

/M￡=VAD2-DE2^3,

在QABCD中，AO=8C=5,AB=CD^\2,

：.BE=AB-AE=\2-3^9,

'：CD//AB,

:.NDEA=NEDC=90°,NCEB=NDCE,

/.tanZCEB=tanZDCE,

?BF=DE=_^=2（

"EFCDI2不，

:.EF=3BF,

在RtZSBEF中，根據(jù)勾股定理，得

EF2+BF2=BE2,

/.（3BF）2+8尸2=92,

解得，BP=3i叵，

10_

9折

sinZBCE=題=_12_=曳亞..

BC550

故答案為：2；叵.

50

17.（4分）（2021?廣東）在△ABC中，ZABC=90°,4B=2,BC=3.點O為平面上一個

動點，ZADB=45°,則線段CO長度的最小值為_代-后

【考點】勾股定理；圓周角定理；點與圓的位置關(guān)系.

【解答】解：如圖所示.

'：ZADB^45°,AB=2,作△A3。的外接圓O（因求CQ最小值，故圓心。在AB的右

側(cè)）,連接OC,

當(dāng)。、D、C三點共線時，CD的值最小.

VZADB=45°,

：.ZAOB=90°,

...△AO8為等腰直角三角形，

.?.AO=8O=sin45°乂AB=5

\'ZOBA=45°,ZABC=90°,

：.ZOBE=45°,作。及L8C于點E,

...△O8E為等腰直角三角形.

AOE=BE=sin45°?OB=1,

：.CE=BC-BE=3-1=2,

在RtZ\OEC中，

OC=VOE2+CE2=N1+4=/.

當(dāng)0、D、C三點共線時,

CD最小為CD=OC-0口=娓一如.

故答案為：yfs~\[2-

三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題6分，共18分.

‘2x-4>3（x-2）

18.（6分）（2021?廣東）解不等式組|x-7,

4x>——

2

【考點】解一元一次不等式組.

【解答】解：解不等式2r-4>3（x-2）,得：x<2,

解不等式得：x>-l,

2

則不等式組的解集為-l<x<2.

19.（6分）（2021?廣東）某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽.用簡單隨機(jī)抽樣

的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：

（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù).

【考點】用樣本估計總體；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù).

【解答】解：（1）由列表中90分對應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90,

由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90

分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90,

平均數(shù)是.80X2+85X3+90X8+95X5+100X二905.

''20

（2）根據(jù)題意得：

600x8+5+2=450（人），

20

答：估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)是450人.

20.（6分）（2021?廣東）如圖，在RtZ\ABC中，/A=90°,作8c的垂直平分線交AC于

點。，延長AC至點E,使CE=AB.

（1）若AE=1,求△AB。的周長；

（2）若求tan/ABC的值.

3

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；解直角三角形.

【解答】解：（1）如圖，連接8力，設(shè)BC垂直平分線交BC于點尸,

:.BD=CD,

CAABD=AB+AD+BD

^AB+AD+DC

=AB+AC,

；AB=CE,

**?C^ABD=AC'^CE=AE=11

故△ABO的周長為1.

（2）設(shè)4￡>=x,

BD=3x,

又?:BD=CD,

：.AC=AD+CD=4xf

A2222X

在中，^VBD-ADN（3X）-X^-

，lanNABC=空>=_整一=亞.

AB2&x

B

四、解答題(二)：本大題共3小題，每小題8分，共24分。

21.(8分)(2021?廣東)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，一次函數(shù)(k>0)的圖象與x

軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)>=居圖象的一個交點為P(1,m).

X

(1)求機(jī)的值；

(2)若%=248,求％的值.

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【解答】解：(1)-：P(1,m)為反比例函數(shù)y=4圖象上一點，

X

.??代入得

1

，"?=4；

(2)令y=0,即fcv+6=0,

.?.尸一旦4(一旦0),

kk

令x=0,y—b,

：.B(0,b),

"：PA=2AB,

由圖象得，可分為以下兩種情況：

①B在y軸正半軸時，b>0,

\"PA=2AB,

過P作PHLx軸交x軸于點H,

又NB4iO=N8iAiO,

.A[B]At0BjOi

-A】?

.?.BIO=JLP”=4XJL=2,

22

：.b=2,

：.A\O^OH=\,

..?i-2=1，

k

"=2；

②8在y軸負(fù)半軸時，b<0,過P作PQ_Ly軸，

'JPQLBzQ,A2OLB2Q,2282。=NAB2Q,

△A2O82"QB2,

?A2B2_1'20

P&23PQB?Q

.?.A0=|-電|=JLPQ=2，B2O=2B2Q=2OQ=|例=2,

k3332

:.b=-2,

:.k=6,

綜上，k=2或k=6.

22.（8分）（2021?廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽

子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家

用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬

肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50WxW65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位:

元），求），關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤.

【考點】分式方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用.

【解答】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價（a-10）元，

則80006000,

aa-10

解得：〃=40,經(jīng)檢驗a=40是方程的解，

???豬肉每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元，

答：豬肉每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；

(2)由題意得，當(dāng)x=50時，每天可售出100盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(50<xW65)時，每天可售[100-2(x-50)]盒，

.?.y=x[100-2(x-50)]-40X[100-2(x-50)]--2x2+280x-8000,

配方，得：y=-2(x-70)2+1800,

?.”<70時，y隨x的增大而增大，

...當(dāng)x=65時,y取最大值，最大值為：-2(65-70)2+1800=1750(元).

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為>=-2?+280x-8000(50WxW65),且最大利潤為1750元.

23.(8分)(2021?廣東)如圖，邊長為1的正方形ABC。中，點E為A。的中點.連接BE,

將AABE沿BE折疊得到△F8E,8尸交4c于點G,求CG的長.

【考點】正方形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題).

【解答】解：延長BF交CD于”,連接

:四邊形A8CD是正方形，

J.AB//CD,N/?=N￡>AB=90°,AD=CD=AB=\,

???4C='AD2+CD2=\[2+]2=亞,

由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF,NEAB=NEFB=90°,NAEB=NFEB,

?.?點E是A。的中點，

：.AE=DE=EF,

；ND=/EFH=90°,

在Rt/\EHD和RtAEWF中,

[EH=EH)

lED=EF，

：.Rt/\EHD^Rt/\EHF(HL),

，ZDEH=ZFEH,

:.NHEB=90°,

：.NDEH+NAEB=90°,

'：ZAEB+ZABE=90°,

NDEH=4ABE,

:.△EDHs^BAE,

?.?ED_DH_1—,

ABEA2

：.DH=X,"=S,

44

'：CH//AB,

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題10分，共20分。

24.(10分)(2021?廣東)如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB^CD,NABC=90°,

點E、F分別在線段BC、AD±,S.EF//CD,AB^AF,CD=DF.

(1)求證：CFLFB-,

(2)求證：以AO為直徑的圓與8c相切；

(3)若EF=2,ZDF￡=120°,求△4￡>￡的面積.

c

BA

【考點】圓的綜合題.

【解答】(1)證明：???CD=OF,

:?/DCF=/DFC,

?:EF〃CD,

:.NDCF=/EFC,

:./DFC=/EFC,

：.ZDFE=2ZEFC,

VAB=AF,

???NABF=/AFB,

,:CD〃EF,CD//AB.

：.AB//EF9

:./EFB=/AFB,

：.NAFE=2NBFE,

VZAFE+ZDFE=180°,

A2ZBFE+2ZEFC=180°,

：.ZBFE+ZEFC=90°,

AZBFC=90°,

(2)證明：如圖1,取4。的中點O,過點。作0"，5c于H,

：.ZOHC=90Q=NABC,

：.OH//AB,

*：AB//CD,

：.OH//AB//CD,

?:AB//CD,AB^CD,

四邊形ABC。是梯形，

.?.點H是BC的中點，即0H是梯形A8C。的中位線，

：.OH=1.(AB+CD),

2

"：AB=AF,CD=DF,

：.OH=1-(AF+DF)=1AD,

22

?.*OH±BC,

...以A。為直徑的圓與8c相切；

(3)如圖2,

由(1)知，NDFE=2NEFC,

?.,ZDFE=120°,

AZCF￡=60°,

在RtZ^CEF中，EF=2,NEC尸=90°-ZCFE=30°,

：.CF=2EF=4,

CE={C"2_EF2=2?,

,JAB//EF//CD,NABC=90°