2.1 離散型隨機(jī)變量及分布列（學(xué)生版）

2.1離散型隨機(jī)變量及分布列【基礎(chǔ)梳理】【典型例題】題型一概念辨析【例1】(1)（2019·林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期末（理））先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是()A．出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù) B．出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)C．出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù) D．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)(2)（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為離散型隨機(jī)變量的是（）A．至少取到1個(gè)白球 B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù)(3)（2019·湖北省松滋市第一中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)）從標(biāo)1～10的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為ξ，那么隨機(jī)變量ξ可能取的值有（）A．17個(gè) B．18個(gè)C．19個(gè) D．20個(gè)【舉一反三】1．（2018·海林市朝鮮族中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)）10件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是（）A．取到產(chǎn)品的件數(shù) B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù) D．取到次品的概率2．（2019·江西南昌二中高二期末）下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，不能用離散型隨機(jī)變量表示的是()A．將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)之和B．某籃球運(yùn)動(dòng)員6次罰球中投進(jìn)的球數(shù)C．電視機(jī)的使用壽命D．從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)3.寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，取后不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹?，所需要的取球次?shù)；(2)一個(gè)袋中裝有8個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取5個(gè)球，其中所含白球的個(gè)數(shù)為X.題型二兩點(diǎn)分布【例2】袋中有紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從中摸出2個(gè)球，如果只關(guān)心摸出兩個(gè)紅球的情形，問(wèn)如何定義隨機(jī)變量X，才能使X滿足兩點(diǎn)分布，并求分布列．【思路總結(jié)】【思路總結(jié)】?jī)刹椒ㄅ袛嘁粋€(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布(1)看取值：隨機(jī)變量只取兩個(gè)值：0和1.(2)驗(yàn)概率：檢驗(yàn)P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn)，則該分布是兩點(diǎn)分布，否則不是兩點(diǎn)分布．【舉一反三】1.已知一批100件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列．題型三超幾何分布【例3】（2020·浙江高三專題練習(xí)）袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.（1）求白球的個(gè)數(shù)；（2）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.【舉一反三】1.（2020·浙江高三專題練習(xí)）四川省閬中中學(xué)某部根據(jù)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地的影響，但為盡大可能讓學(xué)生都參與到運(yùn)動(dòng)會(huì)中來(lái)，在2018春季運(yùn)動(dòng)會(huì)中設(shè)置了五個(gè)項(xiàng)目，其中屬于跑步類的兩項(xiàng)，分別是200米和400米，另外三項(xiàng)分別為跳繩、跳遠(yuǎn)、跳高學(xué)校要求每位學(xué)生必須參加，且只參加其中一項(xiàng)，學(xué)校780名同學(xué)參加各運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下條形圖：其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為，為了了解學(xué)生身體健康與參加運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法從這780名學(xué)生中抽取13人進(jìn)行分析．（1）求條形圖中m和n的值以及抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù)；（2）現(xiàn)從抽取的參加400米和跳繩兩個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4人，記其中參加400米跑的學(xué)生人數(shù)為X，求離散型隨機(jī)變量X的分布列．題型四分布列性質(zhì)【例4-1】（2020·浙江高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為則（）1234A． B． C． D．【例4-2】（2020·浙江高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下：01230.20.30.4則實(shí)數(shù)等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.76【例4-3】（2020·浙江高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．【舉一反三】1．（2020·浙江高三專題練習(xí)）若離散型隨機(jī)變量的分布列如下，則=__________.012．（2020·浙江高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列（其中），則___．3．（2020·浙江高三專題練習(xí)）郵局工作人員整理郵件，從一個(gè)信箱中任取一封信，記一封信的質(zhì)量為(單位：克)，如果,，那么等于_________.4．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布列規(guī)律為其中為常數(shù)，則的值為（）.A． B． C． D．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．（2019·寧夏銀川一中高二期中（理））袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號(hào)碼，有放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號(hào)碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能值的個(gè)數(shù)是（）A．25 B．10 C．9 D．52．（2018·海林市朝鮮族中學(xué)高三課時(shí)練習(xí)）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是()A．出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)C．出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)D．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)3．（2020·浙江高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6B．1,2，…，7C．1,2，…，11D．1,2,3…4．（2019·江蘇高二期末（理））引入隨機(jī)變量后，下列說(shuō)法正確的有：__________（填寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).5．（2020·浙江高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,則P(η=-2)=_________.6．（2011·江蘇高二期中（理））在分布中，設(shè)，則______.7．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________.8．（2017·湖北省松滋市第一中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”．用ξ表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫(xiě)出“ξ＝6”時(shí)表示的試驗(yàn)結(jié)果．9．（2017·湖北省松滋市第一中學(xué)高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量取值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．(1)在10件產(chǎn)品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的個(gè)數(shù)ξ；(2)在10件產(chǎn)品中有2件次品，8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到兩件次品為止，抽取的次數(shù)ξ；(3)在10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到兩件次品為止，抽取的次數(shù)ξ；(4)在10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件數(shù)ξ.10．（2020·浙江高三專題練習(xí)）在10件產(chǎn)品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件．求：（1）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)的分布列；（2）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．11．（2020·浙江高三專題練習(xí)）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.12．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）某項(xiàng)大型賽事，需要從高校選拔青年志愿者，某大學(xué)學(xué)生實(shí)踐中心積極參與，從8名學(xué)生會(huì)干部(其中男生5名，女生3名)中選3名參加志愿者服務(wù)活動(dòng).若所選3名學(xué)生中的女生人數(shù)為X，求X的分布列.13．（2020·天津高三期末）每年的12月4日為我國(guó)“法制宣傳日”.天津市某高中團(tuán)委在2019年12月4日開(kāi)展了以“學(xué)法、遵法、守法”為主題的學(xué)習(xí)活動(dòng).已知該學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別是480人、360人、360人.為檢查該學(xué)校組織學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校全體學(xué)生中選取10名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試.具體要求：每位被選中的學(xué)生要從10個(gè)有關(guān)法律、法規(guī)的問(wèn)題中隨機(jī)抽出4個(gè)問(wèn)題進(jìn)行作答，所抽取的4個(gè)問(wèn)題全部答對(duì)的學(xué)生將在全校給予表彰.⑴求各個(gè)年級(jí)應(yīng)選取的學(xué)生人數(shù)；⑵若從被選取的10名學(xué)生中任選3人，求這3名學(xué)生分別來(lái)自三個(gè)年級(jí)的概率；⑶若被選取的10人中的某學(xué)生能答對(duì)10道題中的7道題，另外3道題回答不對(duì)，記表示該名學(xué)生答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.14．（2019·遼寧高二期末（理））某高校在2018年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，折合成標(biāo)準(zhǔn)分后，最高分是10分．按成績(jī)共分成五組：第一組[0，2），第二組[2，4），第三組[4，6），第四組[6，8），第五組[8，10），得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）分別求第三，四，五組的頻率；（2）該學(xué)校在第三，四，五組中用分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)．①已知甲同學(xué)和乙同學(xué)均在第三組，求甲、乙同時(shí)被選中的概率②若在這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，設(shè)第4組中有X名同學(xué)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．15．（2019·四川高三（理））某校為提高課堂教學(xué)效果，最近立項(xiàng)了市級(jí)課題《高效課堂教學(xué)模式及其運(yùn)用》，其中王老師是該課題的主研人之一，為獲得第一手?jǐn)?shù)據(jù)，她分別在甲、乙兩個(gè)平行班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”和“高效課堂”兩種不同的教學(xué)模