第九章 9.2 第3課時(shí)

第3課時(shí)總體集中趨勢的估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).2.理解用樣本的數(shù)字特征、直方圖估計(jì)總體的集中趨勢.知識點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).2.中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(shù)(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù).思考平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中，哪個(gè)量與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，它有何缺點(diǎn)？答案平均數(shù)與樣本的每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，它可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)總體的信息，但是平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大.知識點(diǎn)二總體集中趨勢的估計(jì)1.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.2.一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).知識點(diǎn)三頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法1.樣本平均數(shù)：可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和近似代替.2.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)相等.3.將最高小矩形所在的區(qū)間中點(diǎn)作為眾數(shù)的估計(jì)值.1.中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù).(×)2.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(√)3.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化.(√)4.一組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)不大于中位數(shù)，而另一半則不小于中位數(shù)，中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中心的情況.中位數(shù)不受極端值的影響.(√)一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算例1在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的17名運(yùn)動員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).解在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69(m).故17名運(yùn)動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m，1.70m,1.69m.反思感悟平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，則該小組數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A.85,85,85 B.87,85,86C.87,85,85 D.87,85,90答案C解析平均數(shù)為eq\f(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75,10)＝87，眾數(shù)為85，中位數(shù)為85.二、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用例2某小區(qū)廣場上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？解(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(歲)，中位數(shù)為5.5歲，眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的可靠性較差.反思感悟眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.跟蹤訓(xùn)練2(2019·安徽期末)某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況，抽取了10天的用水量如表所示：用水量/t22384041445095天數(shù)1112212(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？每天用水量的中位數(shù)是多少？(2)你認(rèn)為應(yīng)該用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個(gè)來描述該公司每天的用水量？解(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(t).每天用水量的中位數(shù)是eq\f(41＋44,2)＝42.5(t).(2)平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值(2個(gè)95)影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數(shù)描述每天的用水量更合適.三、利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的集中趨勢例3某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如圖所示的頻率分布直方圖.觀察圖中的信息，回答下列問題：(1)估計(jì)這次考試的物理成績的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；(2)估計(jì)這次考試的物理成績的及格率(60分及以上為及格)和平均分.解(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以眾數(shù)為m＝75.0.前3個(gè)小矩形面積為0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，前4個(gè)小矩形的面積為0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，所以中位數(shù)n＝70＋eq\f(0.5－0.4,0.03)≈73.3.(2)依題意，60及60以上的分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組，頻率為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以，估計(jì)這次考試的物理成績的及格率是75%.利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.估計(jì)這次考試物理成績的平均分是71分.反思感悟利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的方法(1)眾數(shù)即為出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以它的頻率最大，在最高的小矩形中.中位數(shù)即為從小到大中間的數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù)).平均數(shù)為每個(gè)小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形面積乘積之和.(2)用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)不一定是樣本中的具體數(shù).跟蹤訓(xùn)練3我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).解由(0.08＋0.16＋a＋0.42＋0.50＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.設(shè)中位數(shù)為x噸.因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.1.在一次體育測試中，某班的6名同學(xué)的成績(單位：分)分別為66,83,87,83,77,96.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是()A.眾數(shù)是83 B.中位數(shù)是83C.極差是30 D.平均數(shù)是83答案D解析由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是83，故A說法正確；把數(shù)據(jù)66,83,87,83,77,96按從小到大排列為66,77,83,83,87,96，中間兩個(gè)數(shù)為83,83，所以中位數(shù)是83，故B說法正確；極差是96－66＝30，故C說法正確；由于平均數(shù)為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D說法錯誤，故選D.2.(多選)下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中錯誤的是()A.中位數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況B.平均數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況C.眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況D.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能準(zhǔn)確地反映出總體的情況答案ABC3.一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x等于()A.21 B.22C.20 D.23答案A解析根據(jù)題意知，中位數(shù)22＝eq\f(x＋23,2)，則x＝21.4.某鞋店試銷一種新女鞋，銷售情況如下表：鞋號3435363738394041日銷量/雙259169532如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計(jì)量中對你來說最重要的是()A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.極差答案B解析鞋店經(jīng)理最關(guān)心的是哪個(gè)鞋號的鞋銷量最大，由表可知，鞋號為37的鞋銷量最大，共銷售了16雙，所以這組數(shù)據(jù)最重要的是眾數(shù).5.某班全體學(xué)生參加物理測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，則估計(jì)該班物理測試的平均成績是________.答案68解析平均成績就是頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)再求和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).1.知識清單：中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用.2.方法歸納：數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計(jì).3.常見誤區(qū)：求中位數(shù)時(shí)需先把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，再找中間位置的數(shù)或中間兩數(shù)的平均數(shù).1.某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如下：9189909294879396則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A.91.5和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92答案A解析∵這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位數(shù)是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.2.某書店新進(jìn)了一批書籍，下表是某月中連續(xù)6天的銷售情況記錄：日期6日7日8日9日10日11日當(dāng)日銷售量(本)304028443842根據(jù)上表估計(jì)該書店該月(按31天計(jì)算)的銷售總量是()A.1147本 B.1110本C.1340本 D.1278本答案A解析從表中6天的銷售情況可得，一天的平均銷售量為eq\f(30＋40＋28＋44＋38＋42,6)＝37(本)，該月共31天，故該月的銷售總量約為37×31＝1147(本).3.從某中學(xué)高三甲、乙兩個(gè)班各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽內(nèi)缦拢杭祝?978x80859692乙：7681919181y96其中由于統(tǒng)計(jì)失誤造成兩個(gè)班各有一個(gè)學(xué)生的成績丟失，但已知甲班學(xué)生成績的平均分和乙班學(xué)生成績的中位數(shù)都是85，則x＋y的值為()A.167B.168C.169D.170答案D解析由題意知，y＝85，eq\f(79＋78＋x＋80＋85＋96＋92,7)＝85，解得x＝85，故x＋y＝170.4.某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行檢測，如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為()A.20B.25C.22.5D.22.75答案C解析產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在頻率是0.5的地方.自左至右各小矩形的面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，設(shè)中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C.5.16位參加百米半決賽同學(xué)的成績各不相同，按成績?nèi)∏?位進(jìn)入決賽.如果小劉知道了自己的成績后，要判斷他能否進(jìn)入決賽.則其他15位同學(xué)成績的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是()A.平均數(shù)B.極差C.中位數(shù)D.眾數(shù)答案C解析判斷是不是能進(jìn)入決賽，只要判斷是不是前8名，所以只要知道其他15位同學(xué)的成績中是不是有8個(gè)高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成績排列后看第8個(gè)的成績即可，小劉的成績高于這個(gè)成績就能進(jìn)入決賽，低于這個(gè)成績就不能進(jìn)入決賽，這個(gè)第8名的成績就是這15位同學(xué)成績的中位數(shù).6.如果5個(gè)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是______.答案87.從甲、乙、丙三個(gè)廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命(單位：年)跟蹤調(diào)查結(jié)果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三個(gè)廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)：甲________，乙________，丙________.答案眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)解析甲、乙、丙三個(gè)廠家從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的特征.甲：該組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)的次數(shù)最多；乙：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6×3＋8＋9＋12＋13,8)＝8；丙：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(7＋9,2)＝8.8.某校開展“愛我海西、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如下：88,89,89,93,92,9■，92,91,94.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91.復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字無法看清.若記分員計(jì)算無誤，則該數(shù)應(yīng)該是________.答案91解析最低分為88.若90＋x為最高分，則平均分為eq\f(89＋89＋91＋92＋92＋93＋94,7)≈91.4≠91.故最高分為94.則去掉最高分94和最低分88，平均分為eq\f(89＋89＋91＋92＋92＋93＋90＋x,7)＝91，解得x＝1.故該數(shù)為91.9.高一三班有男同學(xué)27名、女同學(xué)21名，在一次語文測驗(yàn)中，男同學(xué)的平均分是82分，中位數(shù)是75分，女同學(xué)的平均分是80分，中位數(shù)是80分.(1)求這次測驗(yàn)全班平均分(精確到0.01)；(2)估計(jì)全班成績在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人？(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因是什么？解(1)這次測驗(yàn)全班平均分eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)(82×27＋80×21)≈81.13(分).(2)因?yàn)槟型瑢W(xué)的中位數(shù)是75，所以至少有14人得分不超過75分.又因?yàn)榕瑢W(xué)的中位數(shù)是80，所以至少有11人得分不超過80分.所以全班至少有25人得分在80分以下(含80分).(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)的差別較大，說明男同學(xué)的得分兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重，得分高的和低的相差較大.10.隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)app軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取100個(gè)商家，對它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如下.(1)試估計(jì)該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)如果以“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？解(1)依題意，可得使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)為55，平均數(shù)為15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.(2)使用B款訂餐軟件的商家中“平均送達(dá)時(shí)間”的平均數(shù)為15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以選B款訂餐軟件.11.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案D解析由已知得a＝eq\f(1,10)×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，b＝eq\f(1,2)×(15＋15)＝15，c＝17，∴c>b>a.故選D.12.箱子中共有40個(gè)網(wǎng)球(質(zhì)量不完全相同)，其平均質(zhì)量為M，如果把M當(dāng)成一個(gè)網(wǎng)球的質(zhì)量，與原來的40個(gè)網(wǎng)球一起，算出這41個(gè)網(wǎng)球的平均質(zhì)量為N，那么eq\f(M,N)為()A.eq\f(40,41)B.1C.eq\f(41,40)D.2答案B解析設(shè)40個(gè)網(wǎng)球的質(zhì)量分別為xi(i＝1,2，…，40)，則M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝M，故eq\f(M,N)＝1.13.200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計(jì)值分別為________.答案65,62.5解析∵最高的矩形為第三個(gè)矩形，∴時(shí)速的眾數(shù)的估計(jì)值為65.前兩個(gè)矩形的面積為(0.01＋0.03)×10＝0.4.∵0.5－0.4＝0.1，eq\f(0.1,0.4)×10＝2.5，∴中位數(shù)的估計(jì)值為60＋2.5＝62.5.14.某縣兩所學(xué)校高級教師年齡如下：甲：3838404141424344495152545557575861乙：35363839394042434344444446474849515252535557根據(jù)上述數(shù)據(jù)給出以下說法：①甲學(xué)校高級教師的年齡主要集中在40～60歲之間；②乙學(xué)校高級教師的年齡分布大致對稱；③甲學(xué)校高級教師的平均