郭健從古典幾何到現(xiàn)代幾何

關(guān)于郭健從古典幾何到現(xiàn)代幾何第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六前言幾何學(xué)源遠流長，文獻豐富。

在長達數(shù)千年的人類歷史長河中，幾何史就是數(shù)學(xué)史、科學(xué)史、人類文明史的一個縮影，從中可以看到人類社會前進的足跡。第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六前言幾何學(xué)特色鮮明，多彩多姿。

從古希臘時代起，就形成了一套科學(xué)的研究方法，嚴密的邏輯體系。兩千多年來，無論是思想觀念的更新，亦是科學(xué)理論的創(chuàng)立，幾何學(xué)都扮演了開路先鋒的角色。第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六前言幾何學(xué)應(yīng)用廣泛，無處不在。

從現(xiàn)代文明的成果看，無論是火箭、衛(wèi)星的研制發(fā)射，還是人類生存空間的保護和改善，無一不用到幾何的知識；再從推動科學(xué)的進步看，幾何學(xué)的空間直觀引起的直覺思維，構(gòu)造幾何模型產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)觀念，追求嚴密邏輯走出的公理化道路，無一不滲透到數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的各個領(lǐng)域。第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

古典幾何泛指第一流的幾何學(xué)家及其相應(yīng)的幾何著作，包括：歐氏幾何、射影幾何、解析幾何、非歐幾何等多個方面?，F(xiàn)代幾何主要是指微分幾何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加當(dāng)、陳省身等人發(fā)揚光大。前言第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六一、歐氏幾何和歐氏空間

歐幾里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《幾何原本》使幾何學(xué)真正成為一門科學(xué)。幾何，英文為“Geometry”，是由希臘文演變而來的，其原意為“土地測量”。我國明代徐光啟翻譯《幾何原本》時，將“Geometry”一詞譯為“幾何學(xué)”，就是從其音譯而來。第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.《幾何原本》介紹《幾何原本》共分十三卷，給出了467個命題，幾乎涵蓋了前人所有的數(shù)學(xué)成果。全書精心編排，把命題依照彼此的邏輯關(guān)系，從簡單到復(fù)雜，將內(nèi)容按照順序排列起來是歐幾里得最成功的創(chuàng)造。第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.《幾何原本》介紹

第一卷是全書邏輯推理的基礎(chǔ)，給出了什么是點、線、面等23個定義，5個公理，由此討論三角形全等、邊角關(guān)系、垂線、平行線、平行四邊形、多邊形、勾股定理等。第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.《幾何原本》介紹

五條公設(shè)是：（1）從每個點到每個別的點必定可引直線；（2）直線可以無限延長；（3）以任一點為中心，任意長為半徑可以作圓；（4）所有直角都相等；（5）若一直線與兩條直線相交，且同側(cè)內(nèi)角和小于兩直角，則此兩直線必在該側(cè)相交。第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.《幾何原本》介紹

五條公理是：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的東西是相等的；（5）整體大于部分。第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.《幾何原本》介紹第二、三、四卷討論線段的計算、直線形和圓的基本性質(zhì)，共67個命題；第六卷討論相似形，共33個命題；第十一至十三卷討論立體幾何理論，共70幾個命題；其它第五、七、八、九、十卷討論比例和算術(shù)理論。第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六歐氏空間

后人把歐幾里得建立的幾何理論稱為“歐氏幾何”；成立歐氏幾何的平面稱為“歐氏平面”；成立歐氏幾何的空間稱為“歐氏空間”。第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六公理法

歐幾里得在《幾何原本》使用的這種建立理論體系的方法稱為“公理法（原始公理法）”。第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六第Ⅴ公設(shè)

第Ⅴ公設(shè)等價于：過直線外一點只可作一直線平行于已知直線。在《幾何原本》問世的兩千年中，不少人試圖去修正，尤其是第Ⅴ公設(shè)，被認為可由其余九條所證出，或用更簡單或更直觀的公理來代替。第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六羅氏幾何

俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能證明第Ⅴ公設(shè)，他企圖通過否定第Ⅴ公設(shè)的等價命題來引出矛盾。但他推出了一個又一個新奇的結(jié)論后仍找不到邏輯上的矛盾，這些新的結(jié)論構(gòu)成了一個不同的幾何體系，后來被稱為羅氏幾何。第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》1899年法國數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert,1862-1943）發(fā)表了著作《幾何基礎(chǔ)》，結(jié)束了對歐幾里得給出的理論體系進行修改和完善的工作。他在這部著作中彌補了《幾何原本》中公理系統(tǒng)的不足之處，指出了歐幾里得幾何的一個邏輯上完善的公理系統(tǒng)，由此解決了用公理法研究幾何學(xué)的基礎(chǔ)問題。第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六三個基本對象：點、直線、平面三種基本關(guān)系：“在……之上”、“在……中間”、“合同于”2.希爾伯特與《幾何基礎(chǔ)》第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六五組公理共20條：第一組關(guān)聯(lián)公理，共8條；第二組順序公理，共4條；第三組合同公理，共5條；第四組連續(xù)公理，共2條；第五組平行公理，共1條。第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代公理法：

以五組公理為基礎(chǔ)，陸續(xù)定義了一些新的概念和證明一些新的結(jié)論（定理），這樣建立起了一個依照邏輯關(guān)系，排列順序井然的體系，稱為現(xiàn)代公理法。第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六3.公理系統(tǒng)的三個問題構(gòu)造一個公理體系并不容易，要求滿足以下條件：（1）無矛盾性：即所有的公理彼此不產(chǎn)生矛盾，也稱相容性；（2）獨立性：即每一條公理都不能由其它公理推出，也就是公理組有最少個數(shù)，不能有多余的；（3）完備性：即已有的公理已足夠了，不能在增加與公理組都相容的新公理。第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

在數(shù)學(xué)及其它領(lǐng)域，利用公理法思想的地方很多，但一般并未形成歐氏幾何公理系統(tǒng)這樣嚴格的理論體系。一般地，任何一個公理系統(tǒng)必須是相容的，但未必是獨立的，完備性更不是必需的。3.公理系統(tǒng)的三個問題第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

除了歐氏幾何，羅氏幾何與射影幾何的公理系統(tǒng)也具備以上三個條件。任何一個公理體系都不可能在本系統(tǒng)內(nèi)證明它的無矛盾性，也就是說任何一個理論系統(tǒng)最終還是要靠實踐來檢驗它的真?zhèn)闻c價值。3.公理系統(tǒng)的三個問題第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、解析幾何

17世紀(jì)前半葉，科學(xué)技術(shù)對數(shù)學(xué)提出了新的要求，引起了三門全新的數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，它們是：解析幾何、微分法和積分法（包括簡單的微分方程）。第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、解析幾何

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes1596-1650）于1637年發(fā)表長篇著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》，該書三個附錄之一《幾何學(xué)》闡述了他的坐標(biāo)幾何的思想，標(biāo)志著解析幾何的誕生。第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六二、解析幾何

恩格斯評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)，有了數(shù)學(xué)，微分和積分也立刻成為必要的了”（《自然辯證法》）。第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.笛卡爾的兩個基本觀念（1）坐標(biāo)觀念：其作用是把歐氏平面上的點與一對有序的實數(shù)對應(yīng)起來。第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.笛卡爾的兩個基本觀念

（2）將帶兩個未知數(shù)的方程和平面上的曲線相對比的觀念：例如二元方程，這種通常有無窮多組解的所謂“不定方程”對代數(shù)學(xué)家來說是索然無趣的，但笛卡爾注意到當(dāng)x連續(xù)地改變時，方程相應(yīng)確定的y，于是兩個變量x,y可以看作是平面上運動著的點的坐標(biāo)，于是這樣的點組成一條平面曲線。第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.笛卡爾的兩個基本觀念

以上兩個觀念概括來講，就是用代數(shù)方法去解決幾何問題，這就是解析幾何的基本思想。

第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.空間解析幾何1731年，法國人克雷洛（Clairant1713-1765）出版了《關(guān)于雙重曲率的曲線的研究》一書。這是一個最早的空間解析幾何著作，同時也研究了微分幾何學(xué)。第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

在空間建立坐標(biāo)系，可以把點與有序三實數(shù)組建立對應(yīng)。從而，可用方程

F（x,y,z）=0表示曲面，用方程組表示空間的曲線。

主要研究二次曲面，如：橢球面、雙曲面、拋物面及二次柱面等2.空間解析幾何第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六三、微分幾何

在解析幾何的基礎(chǔ)上，如果要研究更復(fù)雜的圖形，這些圖形可能對應(yīng)比較復(fù)雜的代數(shù)方程，甚至不能用代數(shù)方程來表示，這時需要借助微積分作為工具，由此產(chǎn)生了微分幾何。第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六1.微分幾何的起源

微分幾何產(chǎn)生于18世紀(jì)，它著眼于研究歐氏空間中曲線和曲面彎曲的情況，如：子彈的運行軌跡，建筑物的造型，汽車、飛機的外形等。

第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

微分幾何的起源可見于克雷洛的《關(guān)于雙重曲率曲線的研究》（1731年）一書。蒙日（G.Monge1746-1818）的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》（1809年）已包含了這一學(xué)科的雛形。歐拉（Euler1707-1783）的《關(guān)于曲面上曲線的研究》是微分幾何的第一部重要著作。第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

高斯（C.F.Gauss1777-1855）的《關(guān)于曲面的研究》（1827年）一書，奠定了曲面微分幾何的基礎(chǔ)，并把歐氏幾何推廣到曲面上“彎曲”的幾何。他認為，曲面不只是三維歐氏空間中的圖形，曲面本身就是一個空間，它有內(nèi)蘊幾何。第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

黎曼（B.Riemann

1826-1866)將“彎曲”的幾何理論推廣到n維空間，建立了流形的概念。1868年，由其學(xué)生以《論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》為題出版。愛因斯坦將廣義相對論中引力現(xiàn)象釋為黎曼空間的曲率性質(zhì)。達布（G.Darboux1842-1916）的《曲面一般理論的講義》集曲線和曲面微分幾何之大成。第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.經(jīng)典微分幾何

研究的內(nèi)容大體上分為曲線論與曲面論兩部分。采用無窮小的方法來研究曲線與曲面的“局部”性質(zhì)（一點附近的情況）。第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六2.經(jīng)典微分幾何

曲率：曲率描述了曲線彎曲的程度。曲率值越大，曲率在這一點附近越彎曲，反之曲率值越小，曲線在這一點附近越平直。撓率：撓率刻劃了曲線在一點處扭曲的程度。第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

有了曲率、撓率，曲線的形狀就完全確定了。例如：在微觀世界脫氧核糖酸（DNA）是一種復(fù)雜的有機化合物，它由一對相互盤繞的雙螺旋形狀的多核苷酸鏈組成，而螺旋線可以表為：

螺旋線在每一點外的曲率相等，撓率也相等。第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六

高斯曲率：通過對曲面上一點的兩條曲線（法截線）的曲率（分別為極大和極小值），取其乘積可描述出曲面在其上一點附近的彎曲程度。測地線：曲面上連接A，B兩點的最短的曲線稱為短程線，由短程線構(gòu)成的光滑曲線叫測地線。在一般教科書中，還包括漸伸線、漸縮線、可展曲面等內(nèi)容。第39頁，共44頁，2023年，2月20日，星期六20世紀(jì)初，微分幾何有了飛躍的發(fā)展。研究的對象和方法都發(fā)