考研高數(shù)整理

「定義：幾何意義、微元法

￡[?/,(%)+bg(x)]dx=a^f(x)dx+“g(x)dx

ff(x)dx=1f(u)du+ff3dt

性質(zhì)比較定理：f(x)>g(x)=>ff(x)dx>fg(x)dx

JaJa

積分中值定理：，/(x)dx=

定義：原函數(shù)

Q/（x）為奇函數(shù)

黑器法定積小If(x)dx=<

不定積分J-a2「/（x）dx,/（x）為偶函數(shù)

積分法

分部積分法

⑺力“34’擴展了求導(dǎo)公式

微積分基本定理

〔將定積分轉(zhuǎn)化為不定積分

f/(x)dx="b)—尸⑷

"平面圖形的面積

簡單兒何體的體積

兒何

應(yīng)用曲線弧長*（數(shù)學(xué)一、二）

旋轉(zhuǎn)曲面面積*（數(shù)學(xué)一、二）

物理*（數(shù)學(xué)一、二）：功、質(zhì)心、壓力...

定義與性質(zhì)

.1選擇積分次序(被積函數(shù)、積分區(qū)域)

直角坐后q定限

二重積分，化為累次積分?適用范圍：/(x,y)中含區(qū)域為圓或與圓相關(guān)

計算＜

極坐標:，轉(zhuǎn)換公式y(tǒng))dxdy=jj/(rcos^,rsin3)rdrd0

DD

.定限

對稱性：奇偶性，輪換對稱性

重積分

定義與性質(zhì)

.先一后二：定積分+二重積分

直角坐標或柱面坐標?

先二后一：二重積分+定積分

三重積分*(數(shù)學(xué)一)，化為累次積分?適用范圍：中含/+；/+*區(qū)域為球體椎體或與之相關(guān)

計算?

球面坐標r轉(zhuǎn)換公式y(tǒng),z)dv=jjj/(rsinpcos0,rsin°sin9,rcos(p)r2sin(pdrdcpdO

Qc

、定限

對稱性：奇偶性，輪換對稱性

物理意義：曲線型物件的質(zhì)量、曲線弧長

定義，

性質(zhì)

第一類

,[f(x,y,z)ds=f/(x(f),y"),z?))J(x⑺,+()，())一+卜,"))\2dt

計算:

對稱性：奇偶性，輪換對稱性

物理意義：變力沿曲線做功

定義性質(zhì)

兩類曲線積分的關(guān)系jPdx+Qdy+Rdz=j[Pcosa+Qcos夕+Rcos丹ds

曲線積分*（數(shù)學(xué)一乂

計算：jPdx+Qdy+Rdz=f[xQ)P+y'(f)Q+〃(注意上下限)

第二類

’積分曲線不閉合：補上簡單曲線

計算曲線積分

被積函數(shù)不連續(xù)：補上閉合曲線圈出不連續(xù)點

積分與路徑無關(guān)的條件與啜

格林公式￡P(guān)dx+Qdy=jj

DdxdyJ

二元函數(shù)的全微分

’物理意義:曲面型物件的質(zhì)量、曲面面積

定義＜

性質(zhì)

第一類

先代入再投影JJ7(x,y,z)dS=J]7(x,y,z(x,y))Jl+z；+zjdxdyt

計算:SD

對稱性：奇偶性，輪換對稱性

物理意義：單位時間內(nèi)通過曲面的流體體積、通量

性質(zhì)

定義，

|JPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Pcosa+Qcos/3+Rcosy]dS

曲面積分*（數(shù)學(xué)一〉兩類曲面積分的關(guān)系

(dydz,dzdx,dxdy)=(cosa,cos/3,cosdS

第二類＜計算（先代入再投影）：=JjR（/,y,z（x,y））dxd）（上側(cè)）

一|2分

（dPdQ積分曲面不閉合：補上簡單曲面

高斯公式JJ,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=

dydz）［被積函數(shù)不連續(xù)：補上閉合曲面圈出不連續(xù)點

dydzdzdxdxdy

斯托克斯公式JP”x+Qt/y+/Wz=口祟一學(xué)dydz+俘-用dz“x+俘一明dxdy='

*②&Jydzox)Sxdy)yoxdydz

PQR

力〃

-、

定義y臺“=…lim白Va.,

絕對收斂、條件收斂

80000

E（%+）=aZ+匕Z匕，

?i=ln=\"=|

收斂的級數(shù)可以任意加括號

性質(zhì)?

改變有限項不影響收斂性

8

收斂：=0

”一>8

”=1

常數(shù)項級數(shù)，

lim—<oo,^匕，收斂n“收斂

匕？n=\/i=l

極限判別法■

lim—>0,^〃“收斂n￡匕,收斂

、匕?n=\〃=1

正項級數(shù)（比較），l1,￡應(yīng),收斂

判別法《

”=1

級數(shù)*（數(shù)學(xué)一、三）■

比值與根植：lim%±L=r或lim57=廣r>1,￡M“發(fā)散

〃一>8IJH—>00”

unM=1

r=l,未定

、交錯級數(shù)：萊布尼茲判別法

‘阿貝爾定理T收斂半徑T收斂域

性質(zhì)■逐項求導(dǎo)

逐項積分

lim“,+1=0或北01也］=/7,R=—

募級數(shù)￡a”(x-a)”,〃一>8

收斂土或的計算?““

M=1

函數(shù)項級數(shù).將端點代入

常見函數(shù)的泰勒級數(shù)

逐項求導(dǎo)與逐項積分定理

傅里葉級數(shù)*（數(shù)學(xué)一需晶雪既臂

狄利克雷收斂定理

f基本概念：方程的階數(shù)、通解、特解

可分離變量方程：g(y)d)，=f(x)dx-^^Jg(y)"y=\f(x)dx

齊次方程:@=/仕]-^^“=2

dx\xJx

jQ(x)J?dx+c]e乎a

一階方程-階線性微分方程:蟲+P(x)y=Q(x)求解方法一＞A式法：＞=

dX常數(shù)變易法

伯努利方程*(數(shù)學(xué)一、二)：y'+p(x)y=q(x)y"—求解＞z=y~

求解方法」特殊路徑法(結(jié)合曲線積分)

全微分方程*(數(shù)學(xué)一)：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

不定積分法

微分方程

y=f(x,y)求”">p=y，y.=半

dx

可降階*(數(shù)學(xué)一、二)

yJ/(y,y)3M^p=y,爐=乎=半？=^p

dxaydxay

二階方程

’性質(zhì)：疊加原理

線性微分方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)<‘齊次：特征根

常系數(shù)方程的求解

‘非齊次：待定系數(shù)法

歐拉方程*(數(shù)學(xué)一)：x2y'+xpy+qy=f(x)—求解"">x=e'

應(yīng)用：綜合運用微分、積分的知識列方程

定義：不同行不同列所有元素乘積的代數(shù)和

'交換行與列，行列式的值不變

定義與性質(zhì)LH交換兩行（列），行列式變號

性質(zhì)4

某行（列）有公倍數(shù)k,可以將k提出

某行（列）的k倍加至另一行，行列式的值不變

按行展開:￡陽.+q2Ai2+…+%小“=o,(，人)

a>1Al+%242+…+。"出"=|41

；=1(i=k)

展開定理

aA

按列展開:之％A\<\k+%-&+…+%4*=°，(i*k)

4^J,Ajk

j=la]iAu+a2iA2j+...+aniAni=\A\,g)

|川=,[,回=《同,恒同=同忸|=|網(wǎng)

行列式

矩陣IA-11=—,IA>1=1Ar'

IAl

常見公式

ACAO08T#B

mn=(-ir|A||B|

OBCB

4*,"cII。

特征值：網(wǎng)=「［4

1=1

矩陣A可逆<=>M/0

AA*==

a,3=，有唯一解=kl*o

應(yīng)用，

〃維向量組,a“線性無關(guān)o\a?,...,a,\豐0

計算矩陣A的特征值"E-A|=0

實對稱矩陣正定的充要條件：順序主子式全為正

概念：%X〃的數(shù)表

內(nèi)容：A+B,kA,AT,AB

定義與運算

運算AB*BA

運算法則

AB=O時，不一定有A=?；?=。

概念：AB=BA=E

定義與性質(zhì)常見公式：（AT]==（47）,=B'A-',(kA)-1=k-'A'

(A0}~{_(0小、

分塊矩陣：o]

<0B)、0B"=mO,

??4”、

定義:

A'=(Ay(.)=

伴隨矩陣?k4〃A

矩陣逆矩陣

AA*=A*A=|A|E

公式■

A*=⑷A-i(A可逆時)

定義與性質(zhì)

計算逆矩陣，借助伴卜道矩陣：4T=|A「A”

利用初等變換：（AE）—j（EA'）

矩陣A可逆o⑷工0oA滿秩oA的列（行向量組）線性無關(guān)oAx=0僅有零解

oAx=b有唯一解。4的特征值不含0。4=尸外…匕，其中R是初等矩陣

。4"正定。4的列（行）向量組能線性表出任意“維列（行）向量

定義：單位矩陣經(jīng)一次初等變換（行/列）所得矩陣

初等矩陣■定理：矩陣左（右）乘初等矩陣等于做相應(yīng)的行（列）變換；左行右列

公式：E；=E/E小=E；（：）,（E°（k）[=E^-k）

定義：3kk,...keR使得0=%%+ka+...+ka

，能由向量組四,a?，…,a,“線性表出■v2m22m

結(jié)合方程組：線性方程組(/,%,???,a,,)x=￡有解

相關(guān)與表出

定義：三不全為零的左,%使得%14+&2a2+…+%/=0

向量組四,。2,…,a,”線性相關(guān)，

結(jié)合方程組：齊次方程組a.）x=O有非零解

,a2,..?a“，線性相關(guān)oa,,%,…a“，中至少有一個能由其余線性表出

名,。2,T線性相關(guān)=>?,。2,…，%，線性相關(guān)（部分相關(guān)=>整體相關(guān)）

相關(guān)定理，“線性無關(guān)，a,,a2,"線性相關(guān)=>解自由%,。2，...,區(qū)“線性表出

四,能由4,力線性表出，s>r=>必,見線性相關(guān)

〃+1個〃維向量必線性相關(guān)

'定義

極大線性無關(guān)組

向量組的秩，性質(zhì)：與原向量組等價；同一向量組任兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同

向量《（火十］,…4）:極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)

矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)

r（AB）<min{r（A）,r（B））

4可逆=>r（A8）=r（8）,r（AB）=r（A）

AB^0=>r（A）+r（B）<n

常見公式

n,r（A）=n

r（A*）=<=

0,r（A）<n-\

'矩陣的秩=行秩=列秩

相關(guān)定理，若A,8均為"zx〃矩陣，則4三8or（A）=r（8）

四,...0,能由4,…,力線性表出=>4r（4火...，月）

Ax=b有解（A=

。用高斯消元法將方程組化為階梯型方程組后，不出現(xiàn)矛盾方程（0=d）

ob能由%，…,a”線性表出

。向量組a,a與“巧,...,%,8等價

=r(al,a2,...,an)=r(al,a2,...,a,l,b)

<=>r（A）=r（A,b）

已知Ax=b有解，則其解唯一

=用高斯消元法將方程組化為階梯型方程組后，非零方程數(shù)=n

<=>Ax=0僅有零解

線性方程組解唯一的條件。。由%線性表出的方式唯一

&線性無關(guān)

=r^ai,a2,...,an)-n

or(A)=n

解的性質(zhì)

定義：都是Ax=0的解，線性無關(guān)，能線性表出Ar=0所有解

解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系1定理：Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有個向量

計算方法：求r（A）；求Ax=0的〃-r（A）個線性無關(guān)的解

Ax=0的通解：用/+k2r）2+...+kn_rrjn_r

,X=b的通解：々跖+42%+…+女“_力“一+〃（）

定義:Aa-Aa.a*0

求法：|A-1E|=0,（A-/lE）x=0

‘不同特征值的特征向量線性無關(guān)

Aa-Aa=>f（A）=f=）］（4可逆時）

定義與性質(zhì)

“A）=On/⑷=0

常見性質(zhì)

￡4="（A）,fl4TAi

2有k個線性無關(guān)的特征向量=>2至少為k重特征值

AB^\A-AE\=\B-AE\

〃階矩陣A可相似對角化=A有〃個線性無關(guān)的特征向量

特征值充要條件oA的每個特征值重數(shù)都等于其線性無關(guān)的特征向量個數(shù)

。對4的每個特征值幾都有人的重數(shù)=

相似對角化判斷矩陣A是否可對角化：求出特征值；找到所有重根九檢驗力的重數(shù)=〃-/'（A-aE）

A與P的計算：計算矩陣的特征值與特征向量

相關(guān)計算反求矩陣A:利用等式4=PAP-i

求A"或（A+kE）":A"=PA"p-',（A+kE）"=P（A+AE）"P''

‘特殊性質(zhì)：特征值全為實數(shù)，不同特征值的特征向量正交，可相似對角化

?定義：A=QA0T,Q為正交矩陣

實對稱矩陣求出所有特征向量

正交相似對角化"

。的計算將同一特征值的特征向量正交化

單位化

.人］定義：〃元二次齊次多項式

概念4,

矩陣表示：/=為實對稱矩陣）

xZx與y7By合同：存在可逆矩陣C,使得xZx>/方;或3=（5?^

［求合同變換x=Cy,將二次型變成標準型（只含平方項）

定義?

合同標準型，.求可逆矩陣C,使得C/C=A為對角矩陣

xlx的合同標準型,

.正交變換法（結(jié)合特征值，重要!）

求法<

、配方法

二次型的合同標準型中正項的個數(shù)（正特征值個數(shù)）

慣性指數(shù)

二次型慣性定理：同一二次型不同的合同標準型的慣性指數(shù)相同

合同規(guī)范型合同規(guī)范型（由慣性指數(shù)唯一確定）：正項系數(shù)全為1,負項系數(shù)全為T

合同規(guī)范型相同，正負慣性指數(shù)相同

兩二次型合同的充要條件

正負特征值個數(shù)相同

定義：對任意〃維非零列向量x,『Ax>0

xrAx正定（A，=A）<=>xlx的正慣性指數(shù)為"

oA的特征值全為正

正定二次型4

oA的合同規(guī)范型為￡

0三可逆矩陣P,使得A=P「P

。A的所有順序主子式全為正

'概念：樣本空間的子集，部分結(jié)果組成的集合

、一儂」內(nèi)容+5=AU8,A3=AC8,A—8

隨機事件運算《__________________

［法則：（A+B）C=AC+8C,AU5=Xn及=火

關(guān)系：包含，相等，互斥，對立，完備事件組

公理化定義：P（A）＞0,P（Q）＞0,可列可加性

概率條件概率：P（AI3）=:?。˙（3）＞0）

獨立：P（A8）=P（A）P（B）」^A,B,C相互獨立

古典概型（有限等可能）：概率=樣本點數(shù)之比

簡單概型幾何概型：概率=面積（長度）比

隨機事件與概率伯努利概型：獨立重復(fù)試驗

「(4+B)=P(A)+P(3)—尸(48)

推廣：P(A+fi)=P(A)+P(B)(A,BKJ5).P(1)=1—P(A)

加法公式

P(A+B+C)=P(A)+P(8)+P(C)-P(A8)-P(8C)

+P(AC)-P(ABC)

減法公式:P(A—3)=P(A)—P(AB)

常用公式

乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA),P(A)>0

全概率公式：P（8）=EP（BI&）p（4）

k=l

全概率與貝葉斯

貝葉斯公式：尸（4期）=P（*A,）P（A,）

￡P(guān)（3I4）P（&）

k=l

'定義：F(x)=P(X<x)^^F(x,y)=P(X<x,Y<y)

分布函數(shù)，性質(zhì)［充要條件：單調(diào)不減;尸(-oo)=0/(+oo)=l;右連續(xù)

人［其它性質(zhì)：P(X<a)=F(a-O),P(X=a)=F(a)-F(a-0)

定義：F(x)=f(t)dt——~>F(x,y)=￡Jvf(u,v)du

充要條件：/(x)>0,￡f{x}dx--->f(x,y)>0,y)dxdy=1

概率密度R2

性質(zhì)〈仍（x）連續(xù)（連續(xù)型），P（X=a）=0

其它性質(zhì)jpg<x<。)=I*f(x)dx-^_>P{(X,y)cO}=JJ/(x,y)dxdy

Ja

D

定義：P(X=xj=pi——>p(x=x;,y=%)=Pjj

分布，分布律4

充要條件：Pi>0，EPi=1期TPuN0，EPij=1

iij

邊緣分布函數(shù)：七（》）=/*,+8）

邊緣分布邊緣概率密度：fx（x）=[f（x,y）dy

J-co

邊緣分布律：Pi=￡P(guān)u

邊緣與條件

隨機變量ij

條件概率密度：

fx（x）

條件分布

條件分布律：p（y=x?x=x）="

PL

尸（x，y）=F*（x）4（y）

獨立性：聯(lián)合分布=邊緣分布x邊緣分布，f（x,y）=A（x）/r（y）

Pa=Pi.P.j

一維離散：0-l,B（M,p）,G（p）,P（2）

內(nèi)容，一維連續(xù)：U

二維：夕）

常見分布彳基本要求（記憶）：概率密度或分布律（二維正態(tài)除外），期望方差（一維）

B（n,p）,G（p）：獨立重復(fù)試驗

要求1

均勻分布（一維與二維）：概率=長度（面積）比

特殊方法

正態(tài)分布：標準化，對稱性

二維正態(tài)：x,y的線性組合仍為正態(tài)分布；x,y獨立op=o

￡gMf(x)dxJJg(x，y)/(x,y)dxdy

E(g(X))=-i：E(g(X/))=R2

3g(x,)P,￡#(七,匕也

基本計算公式

i，j

22cov(x,y)

DX=EX-(EX),cov(X,Y)=EXY-EXEY,pXY

NDXDY

f常見分布的期望方差

DE(kX)=kE(X),O(kX)=/￡)(x),cov(kX,y)=kcov(X,y)

2)E(X+y)=E(x)+E(y),o(x+r)=r>(x)+D(y)+2cov(x,y)

數(shù)字特征特殊性質(zhì)（記憶）《

重要公式cov(X+Y,Z)=cov(X,