初三數(shù)學(xué)秋季課講義教師版

第一講圖形的旋轉(zhuǎn)與中心對 第二講旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（一 第三講旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（二 第四 第五講點、直線與圓的位置關(guān) 第六講正多邊形與 第七講圓的證明與運算小綜 第十講相似三角形的性質(zhì)與判 第十一講相似應(yīng)用及位 第十二講相似三角形相關(guān)證明（一 第十三講相似三角形相關(guān)證明（二 第十四講銳角三角函 第十五講解直角三角 第十六講銳角三角函數(shù)與四邊 第十七講相似三角形復(fù) 第十八講期末模擬測試與講 下列圖形中不是中心對稱圖形的是（ 【答案】關(guān)于平行四邊形的對稱性的描述，錯誤的是（【答案】 【答案】 B C D1第一講圖形的旋轉(zhuǎn)與中心對點O叫旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。、和和 旋轉(zhuǎn)角(2)形狀大2、 如圖，已知∠EAD=30°，△ADE繞著點A旋轉(zhuǎn)50°后能與△ABC重合，則∠BAE= 2、 【答案】1、如圖所示是三個菱形，它可以看作是什么―基本圖形‖通過怎樣的旋2、如圖，五角星可看作是由什么―基本圖形‖通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的△ABC 則點A′的坐標(biāo)是( ，)，點C′的坐標(biāo)是( ，)．等腰直角三角形按題意要求畫出圖形，由圖D9把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱，也稱。這個點叫做，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的。 【例5】如圖，若四邊形ABCD與四邊形CEFG成中心對稱，則它們的對稱中心是，點A的對稱點是，E的對稱點是．BD∥且BD= ．連結(jié)A，F(xiàn)的線段經(jīng)過，且被C點，△ABD≌． 【答案】 組【答案】 A.1 B.2 C.3 D.4 D.旋轉(zhuǎn)后能重合的兩個圖形成中心對稱?！敬鸢浮? 【答案】CG、BF兩線段不共線，所以它們的7】如圖所示，△ABC與△A′B′C′OO不慎被涂掉了，請你幫排版工人找到對稱中心O的位置．連接CC′，取線段CC′的中點，即為對稱中心把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合， D A．1個B．2個C．3個D．4【答案】 個B．3個C．2個D．1【答案】如圖所示，作出△ABC關(guān)于點O如圖所示，作出四邊形ABCD關(guān)于點A在△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中 y軸 1、下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（【答案】 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】3、如圖，已知菱形ABCD與菱形EFGH關(guān)于直線BD上某個點成中心對稱，則點B的對稱 【答案】 D.【答案】B（－4，－1分別為A′(2,－2)、B′(4,1)、C′(－1,－1)，依次連接A′B′、B′C′、A′C′，就可得到與△ABC關(guān)于原點對稱的△A′B′C′.1.（1）如1，△ABC和△CDE都是等邊三角形B、C、D三點共線AD、BE相交于點P，求證：BE=AD.如圖2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點P，下列 圖∴∠BCE=∠BCEACD∴△BCE≌△∴證明：在PE上截取PM=PCCM，先證△BCE≌△ACD（SAS）CPD∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，即PB+PC+PD=BE．第二講旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（一遇中點，旋180，構(gòu)造中心對稱；遇90，旋90，造垂直；60，旋60，造等邊；時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形部分的面積是 EB EBA【練習(xí)1】如圖，△DEF是由△ABC繞著某點旋轉(zhuǎn)得到的，則這點的坐標(biāo) yyF2D OB3xC 圖 圖中．她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段AB，AD是共點并且相等EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足關(guān)系時，仍有∠DAE=45°BD=1EC=2DEF FDC圖 圖(2)∵ABC∴∴在△AEG與△AED中∴△AEG≌△AED∴DE=EG∴∴DE 如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45°，試判斷BEDF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系直接寫出判斷結(jié)果： 如圖2，若把(1)問中的條件變?yōu)楱D在四邊形ABCD中1

2在（2）問中，若將△AEFAE、FBC、CD延3所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給結(jié)論EFBE＋DF仍然成立（∴△ADF≌ABF∴∠1=∠2，AF'=AF，BF'=DF.∠ABF'=∠1

BAD4=2+2∴∠4=∠1+∠ABCABFABE=180°F、B、E共線AF=AF'∠4=∠1+∠3，AEFAEFEFEF'EF=BE＋BF即：EF發(fā)生變化EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF=ADF繞點AADABFBCF處，得到△ABF'，如圖3所示.6060

（DD BCP 圖AB證明：延長BP至E，使PE=PC，聯(lián)結(jié) 圖 則點P在三角形ADB′外 在△PB′C中，有∵△AB′D、△ABC是等邊 ∴C

線AB的兩側(cè).ACA A A∴DG1，AG 3∴GB3∴tanABG

AG 3 3

D ∴ABG30o，AB23∴DBC90o，BC DB24227DB24227作EAD60oAEADED、∴△AED是等邊三角形，∴AEAD，EAD60o∴ABAC，BAC60oEADDABBACDAB，即EABDAC， 5∴EB=DC∴EB246CD6，此時ADB120o

CED第24題圖已知MANAC平分在圖1中，若MAN120，ABCADC90，AB AC（填—‖或―‖或―②若MAN(0180，ABCADC180，含的三角函數(shù)表示，直接寫出結(jié)果，不必證明AB＋AD

ABAD 2CCE⊥AME，CF⊥ANF，則∠CEA=∠CFA=90°．AC∴AC=AC，∴∵在Rt△CEA∴∠ECA=30°，∴∴AE+AF=2AE=AC．∴∵∴CE=CF，∠CED=∠CFB，∴ED=FB，∴∴

E ∵∠MAN=60°，

323

∴GD=HB，∴HB+DA+AH=②AB＋AD＝2cos·AC24】已知△ABCAC為邊在△ABC外作等腰△ACD（1）1DAC2ABCAC=BC，四邊形ABCDABC 2，若ABC30△ACDAB=3，BC=4.BD3，若ABCAHBCHBD24AH2BC2D 圖 圖 圖2AAB為邊在△ABC外作BAE=60°AEAE=AB，連結(jié)BE和CE.∵△ACD是等邊三角形∵BAE ∴DAC+BAC=BAE+BACD即EACBAD∴△EAC BAE ∵ABC30∴EBC90∵EBC90DAC=2ABC成立..AK.AHBC∴AHC90∴EBC90∵EBC90∴EC2EB2BC24AH2BC2∵BD24AH2BC2∵K為BE的中點 EBC90∴AKB90∴AKBE的垂直平分線∴△EAC≌△BAD∴EACBAD∴EACEADBADEAD即EABDACEBC90ABC為銳角∴ABC90EBA∴EBABEA∴EAB1802EBA

圖在圖中畫出DEM關(guān)于點MAMDM時，試求BECGBEC BECGBEC 圖 圖 圖DECBDECB ∴∠CEF=∠F. DEBCDEBC∵FG∥CE且 由（1）CE=CF，∠ECF= ∠ECF= ∴△ECG是等邊三角形 AD∥BCAF平分∠BAD 180

2DBDACEEH． A

【答案 ∴△ABH為等腰直角三∴△AHC繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)90°得 圖HHF⊥HEBEF點，∴∠FHE＝90°，在△AHE和△BHF

D AH 4第三講旋轉(zhuǎn)與幾何綜合（二構(gòu)造方法：遇中點，旋180°，構(gòu)造中心對稱；A C 圖 圖 圖∴△ABC是等邊三角形2 D∵∠APB2 D∴△ADP是等邊三角形∴∠DAP 321PDF321PDF

如圖1：在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=60°時，猜想AB與BD+CD數(shù)量 2：在△ABC中，AB=AC，當(dāng)∠ABD=∠ACD=45°AB與BD+CD數(shù) 猜想：2ABBD證明：如圖，過A點作AE⊥AC交CD延長線于E點 AF⊥ABBDF點，連接EF。 在等腰Rt△ABF中，結(jié)論可以得出 D D E圖 圖 CD（2）BE＝ BCMMD60oMDED. AA B

C圖 圖 圖EDMF的相等關(guān)系依然成立證明：連接DE、DFDDDE//BC，DE=1BC，DF//AC，DF=1 △ABC是等邊三角MD=MD，DMD△DMDMDD60，MD MDFMDDMDF△DDEEDEDMF的相等關(guān)系依然成立

ADDE C 2，若P是線BC上一個動點（PB、C重合）AP，將線APA60°，得到線AE，聯(lián)結(jié)CE，猜想線AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系，中的作法，請在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AD、CE、PC之間的數(shù)量關(guān)系． 22

∴在△ABP和△ACEABBAPCAEAP∴CE+ 2 （CE－PC．24】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（060BCB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD。1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎救鐖D2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判斷△ABE在（2）的條件下，連結(jié)DE，若∠DEC=45°，求301 △ABE為等邊三角形證明連接AD、CD、 則BCBD，DBC 又∵ABE ABD60DBEEBC301 且△BCD為等邊三角形.在△ABD與△ACO中ABADBD∴△ABD≌△ACDBADCAD1BAC1 ∵BCEBEC180(301)1501 在△ABD與△EBCBECEBCBC∴△ABD≌△EBC∴AB∴△ABE∵BCD60，BCE∴DCE15060又DEC∴△DCE∴DCCE∵BCEEBC(180150) EBC301 ∴【練習(xí)4△ABC中，AB=AC，∠A=30°，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，A DE 圖 圖（1）∠ABD=15 45∵線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn) 易證△AEF≌△FCD（AAS． FDE 圖5將等腰Rt△ABC和等Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90AD邊與AB邊重合，α（0α≤180，D直線CE于點P.如圖2，BD與CE的數(shù)量關(guān)系 ,位置關(guān)系 BD

圖 圖BDCE，BDCE ∴ABAC，ADAE∵BACDAE ∴△ABD△ACE ∴CPBCAB90∴BPCE∵ADBP，DAE90，ADAE∴ADPE2∵ADB90，AD2，AB4∴ABD30∴BDCE23∴CPCEPE232FAF1，若BAC60DF2BFAFBF的數(shù)量2，若BAC60DF3BFAFBF的數(shù)量關(guān)DAE BG EAFBFG EAF2BFADAB∴△ADG≌△ABF

ADG＝ABF∴AGAF，DAG＝BAF∴GAFGAB∴GABDAGDAB

∴GAF是等邊三角形.又∵DF3BF.∴AFGFDFDGDFBF1.(1)⊙O最長的弦是 是半圓．若AC=4cm，則⊙O中任意弦長l的取值范 (2)若∠A=40°，則 【答案 B． C． DA【答案】E，過點E作EF⊥AB于F．若AC=2，則OF的長為 A．

【答案】 9 2

C D【答案】【答案】證明：(1)∵AB為⊙O的直徑，CDABCDD∴CE=ED，CBDB D∴BCD=∴OAC=OCA∴ACO= (2)3OC2=OE2+CE R2R32+46∴2R=225=

3第四 圓的定義與性在在一個平面OAO旋轉(zhuǎn)一周A所形成的圖形讀作“O”．OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為 【練習(xí)1.1】.已知；如圖，在⊙O中，C、D分別是半徑OA、BO的中 <2分鐘>【答案】提示：證△AOD≌△BOC(4) S=：πr2．【例2】如圖，⊙O半徑為4cm，則圖中最長的弦是，長為．⊙O中任意一條弦的長度l的取值范圍是 【答案】直徑，8cm，0cm＜l≤8個小圓的周長l2= ；把AB分成三條相等的線段，每個小圓的周長 .<3分鐘2

πa 或“3】下列說法中，結(jié)論錯誤的是（【答案】 B．2 C．3 D．4【答案】 【答案】【答案】【答案】提示：作OH⊥AB，利用―三線合一‖及垂徑定理即可B1B1x 連接BD1BC ∵點A的坐標(biāo)是（23 Rt△ABDBD2∴ABBD2 5【答案】 5【練習(xí)5.1】如圖，兩正方形如圖放置，若小正方形的邊長為6cm5【答案】51

2∴BE=∵AD⊥BC在△OAD與△OBE中∴△OAD≌△OBE（AAS，∴AD=足為H，連接BC、BD．337】已知：⊙O25cmAB=40cmCD=48cm，AB∥CD．求這兩條平行弦AB與CD之間的距離．【答案】8cm或22 14cm【練習(xí)7.2】如圖，AB是⊙O的弦，AB長為8，P是⊙O上一個動點（不與A、B重合，過點O作OC⊥AP于點C，OD⊥PB于點D，則CD的長為 【答案】∴CD是△APB的中位線 圓O的半徑為6cm，求AB、CD之間的距離.【答案】 33cm。提示：分類討論，涉及到上一節(jié)平行弦之間距離雙解問題⊙O的半徑為10，則 C【答案】【答案】【練習(xí)9.2】若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：3的兩條弧，設(shè)圓的半徑為R，這條弦長 B2的度數(shù) 如圖3，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…， 把圓周2n等分，則∠Bn （用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)． OB OBn-Cn-AO

Bn- Cn-圖1 圖 圖 BDn和DC的延長線交⊙O外一點E．求證：BC=EC．∵四邊形ABCD10.1】已知：如圖，⊙OABCDAB⊥CDE，F(xiàn)DC延長線上一點，連接AF交⊙O于M．求證：∠AMD=∠FMC．10.2已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，在∠BACAC上，任取一點D，如圖1，BAC，直接寫出∠ADB的大?。ㄓ?如圖2，如果BAC=60°，求 圖 圖 圖 2∵∴△ABC是等 ∴△DCE是等邊三 ⊙O中，M為弧AB的中點，則下列結(jié)論正確的是 【答案】 如圖， 的直徑，C、D是圓上兩點CBA70，則D的度數(shù)為 B B. BD【答案】【答案】3.17cm證明：在MA上截取ME=MC，連接BE，∴=而（2）BD=5的長度；利用圓心角、弧、弦的關(guān)系推知 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同樣BD=CD52△OBD是等邊三角形，則⊙A的半徑為3cm，直線L上有一點P到A的距離為3cm，則直線L與⊙A的位置關(guān)系 A.相 B.相 C.相 D.相交或相【答案】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(0，2),⊙A的半徑為2，點P(a，0).⊙P的半徑是1，滿足與⊙A及x軸都相切的⊙P有 【答案】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分線交⊙OE，EF⊥AB，垂足F．

AB、

若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面 （2）AB 2ABAC 3）2DD作⊙ODEACE，DG⊥BCF，交⊙OG．． ∵BC為⊙O∴AC是⊙O的切線.CP=CB．若⊙O的半徑為5，OP=1BC所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°BC是⊙O（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC第五講點、直線與圓的位置關(guān)P在⊙O上；0≤d<rP在⊙O內(nèi)． 【答案】【練習(xí)1.1】關(guān)于半徑為5的圓，下列說法正確的是（ A．若有一點到圓心的距離為5，則該點在圓外B．若有一點在圓外，則該點到圓心的距離不小于5【答案】－3)，B(4，－2)C(23,2)與⊙OA、BP點AB的垂直平分線上 A．1∶2B．2∶3C．3∶4【答案】【練習(xí)2.1】如圖所示，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點A的坐標(biāo)為（-2，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（ A（-B（1，-C（-D（2，1）【答案】【練習(xí)2.2】若正△ABC外接圓的半徑為R，則△ABC的面積 3232直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這條直線叫做圓的割d=rlO設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d系rdOldr直線l與⊙OrdOldr直線l與⊙Ordldr直線l與【答案】(1)

(4)

cmR＞12cm，(5)

cm

【練習(xí)3.1】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，以C點為圓心，作半徑為【答案（1）0cm＜R＜4.8cm，(2) (4)R＜4.8cmR＞8cm，(5)R=4.8cm 【答案】是的中點，若∠EDA=∠AMD．求證：AD是⊙O的切線．定直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

OA即可2又∵EBC【例6】如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點，則線段PQ的最小值為 【答案】-軸上一動點，PQ切○A點Q，則當(dāng)PQ最小時，P點的坐標(biāo) 若AD2,TC ∵PQ切⊙O根據(jù)角平分線性質(zhì)可得HT=TC=3，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得OE⊥BD，從而根據(jù)AAS可得△OBE≌△OTH，從而BE=TH= ，所以BD=2 ，在Rt△ABD中，【例7】已知：如圖，從兩個同心圓O的大圓上一點A，作大圓的弦AB切小圓于C點，大圓的弦AD切小圓于E點．若AB=5，則AD= D兩點，若∠APB=40°，PA=5，則下列結(jié)論：①PA=PB=5；②△PCD的周長為5；③∠COD=70°．正確的個數(shù)為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】 【例8】已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切

ba2邊分別切于E，F(xiàn)，D點，則DF的長為( 【答案】，r⊙O1與⊙O2外離⊙O1與⊙O2外切⊙O1與⊙O2相交r1-⊙O1與⊙O2內(nèi)切d=r1-⊙O1與⊙O2內(nèi)含d＜r1-；；；；；；．【練9.1】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑1P（a，0，⊙P的半2把⊙P向左平移，當(dāng)⊙P與⊙O相切時，a的值 【練習(xí)9.2】如圖，⊙O的半徑為4cm，直線l與⊙O相交于A、B兩點，AB=4l1cm為半徑的⊙P與⊙OPO=dcmd．d＞5cm )個圓． 【答案】若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，則它的外接圓的直徑 【答案】ABCD6，寬3，點O1為矩形的中心，⊙O21，O1O2⊥AB于點P，O1O2=6．若⊙O2繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°，在旋轉(zhuǎn)過程中，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)()A．3次B．4次C．5次D．6【答案】【答案】設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC根據(jù)勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可DAB=10，AD=2 ∴FBC的中點∵∠OCE+∠COF=180°-∴OC⊥PC．C在⊙O上53在Rt△ABE中 AB2∴AEAB2設(shè)⊙O的半徑為r，則OCOArOE3r．在Rt△OCE中∴OC2OE2CE2r r23r2 B．5 C.4 D．2【答案】 【答案】 【答案】22正n邊形內(nèi)接于半徑為R的圓，這個n邊形的面積為3R2，則n等 【答案】.第六講正多邊形與n邊形的中心角=n,在半徑、邊心距組成的直角三角形中進(jìn)行計算 2】正三角形的邊心距、半徑和高的比是（A. A360且在弦BC下方，如下圖，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，求AM的長.A【答案】過點A作AE⊥MC，AD⊥BM，證Rt△ADM≌Rt△AEM，DM=ME=2,在Rt△ADM中ADBCP圓于EADBCPE【答案】過D作DF⊥AE于點F，則△DEF是等腰直角三角形5于點G、H,則由OE、OF、F及正方形ABCD的邊圍成的圖形(陰影部分)的面積 在這個內(nèi)切圓中作內(nèi)接正方形，依次作到第n個內(nèi)切圓，它的半徑是（ 2)n1 C、1)2)n

22A、2

()2

D、 【答案】 l πR21： ：S2πR2（設(shè)⊙ORn圓心角所對弧長為l【例5】一圓錐的側(cè)面展開后是扇形，該扇形的圓心角為120°，半徑為6πcm，則此圓錐的 A、4πcm B、12πcm C、16πcm D、28πcm【答案】 A、60πcm B、45πcm C、30πcm D、15πcm【答案】 cm28

8【練習(xí)6.1】已扇形底半徑為60cm，圓心角為150°，若用它做成一個圓錐底側(cè)面，則這個 【答案】25 【答案】 【答案】已知正方形的周長為x，它的外接圓半徑為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是 2y 24

y 282

y12

y 222【答案】 S、P、Q，則（） Ａ．SP Ｂ．SQ Ｃ．SP Ｄ．SP【答案】方形．求二者的邊長比AB∶A′B′和面積比S內(nèi)∶S外．【答案】 ，S內(nèi)∶S外如圖1、2、3、…、n,M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形 （2）90°35°B．70°C．105°D．【答案】ACB等于40°B．50°C．65°D．【答案】如圖，PA切⊙OA，PO交⊙OBPA=6，BP=4，則⊙O的半徑為（A．B．C． D．【答案】為（）A． B． C． 【答案】心O，且AB⊥CD，則圖中陰影部分的面積是（） B． C． 【答案】.第七講圓的證明與運算小綜1】（2015朝陽一模25）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑D在⊙O上，過點D作⊙O切線AC的延長線交E，ED∥BCADBC于點F.求證：∠BAD=∠∵AB為⊙O的直徑【練習(xí)1】（2014年石景山一模）如圖O是△ABC的外接圓ABAC，連結(jié)CO并O的切線APP． PAP切⊙OAEAAB ABEABC//APCFDAO的切線交于點GGDABE．求證：1【答案】證明：連結(jié)OD，如圖∵DE為⊙O的切線，OD為半徑 ∴ODDEODE90，即2ODC90∵OCOD ∴CODC2C90 而OCOB∴3C90.∴2∵13，∴122】（201421）如圖，AB⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過點B作⊙ O的切線與AD的延長線交于F．求證：ABCF.CF ∴AB⊥BF于點 ∵∴∠ABF=∠AHD B①AC分別交于D、E兩點，DFACF．求證：DF為⊙O的切線。 A 【答案】連接ODAD又ABACDBC的中點.又OAB的中點，∴OD//AC.∵DFAC，∴DFOD的⊙OACD，EBC的中點，連結(jié)DE．D EBO求證：DE與⊙OD EBOA1∴DE=2 ∴1∵OD=OB,∴34；∵ABC2490∴DE是⊙O的切為AD的中點，連結(jié)CEABFBFBC 【答案】BC與⊙O相 AEAC是OEDFO∴E90，∴EADAFEEDFO∵，BFBC，∴BCE EAD的中點EADBCEACE ACACBC是O4】（201525）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙OPC交BA的延長線于P，OF∥BC，AC于點EPCF，連AF.求證：AF是⊙O的 ∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切 勾股定理勾股定理N∵AB是⊙O的直徑OC,∵OC=OA,∵CN是⊙O切線 (2)BH⊥DCH ,∴BH=

（x2)222設(shè)DC=x,在Rt△DBH中，利用勾解得：x=2 ∴DC的長為2連接AB交OC于點D．AC=CD．若AC=2，AO 5，求OD的長． ∵直線AC為⊙O的切（2）Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=5根據(jù)勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即(OD2)222(5)26】（2015通州一模25）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切PCBA的延長線于點P，OF∥BC，ACE，交PC于點F，連AF.；且AF是⊙O的切線。已知⊙O的半徑為4，AF=3，求線段AC的長.【答案】∵⊙O的半徑為32OF232OF2∴AF· ∴3×4=5×EA解得 5AC=2AE=5CD的延長線上的一點，且AP=AC，AP與⊙O相切，AC=3PD的長。CCPP∴PO2AO根據(jù)勾股定理得:AO 3.∴AODO ∴PD A（ B． C． D．【答案】 30°B．60°C． D．【答案】（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）求⊙O△OCD等腰直角三角形，∠OCD=∠ODC=45°=∠ACD，故∠OCA=90°，AC是在直角三角形BDE中，DE=4，BD=2連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．;1（14年東城期末）42個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全DA．―明天的降水概率為80%‖，意味著明天有80%的時間降B．上次的體育測試成績是―優(yōu)秀‖，這次測試成績一定也是―優(yōu)秀D．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的，―點數(shù)為奇數(shù)‖的概率等于―點數(shù)為偶數(shù)‖的概【答案】 1A．

B．

D.4（14年石景山期末）1～124的倍數(shù)的A． B． D． 5、一個口袋里放有三枚除顏色外都相同的棋子，其中有兩枚是白色的，一枚是紅色的.從中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，放回口袋攪勻，再從中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，兩次摸出棋子 49第八講、隨機(jī)與概； ； ；。 ，向上一面的點數(shù)是0 B．多邊形的內(nèi)角和是360 隨機(jī)抽出10張，恰好紅桃、梅花、黑桃3種牌都抽到，這件( A.可能發(fā) 大小可以用0~1的實數(shù)予以描述，其中必 0 【例2】某市氣象局預(yù)報說：明天本市降水的可能性為70%，則下列說法正確的是 明天本市70%的時間下雨，30%明天本市70%的地區(qū)下雨，30%明天本市下雨的可能性是 ―明雨的概率是80%‖表示明天有80%的時間都在下1―拋一枚硬幣正面朝上的概率 ‖表示每拋2次就有一次正面朝21―的概率為1%‖表示買100 肯定1―拋一枚正方 ，朝上的點數(shù)為2的概率6

‖表示隨著拋的次數(shù)的增加，―朝上點數(shù)為2‖這 6【答案】 A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī) 生的概率，記為P(A).件A包含其中m種結(jié)果AP(A.mn 0mn0m10P(A1nA為必然P(A)1； A為不可 時，P(A)0一次，則向上一面的點數(shù)大于3的概率是 【答案】21，2，3，4，5，從中隨機(jī)摸出一個小球，其標(biāo)號小于4的概率為（）A.5

5

C.5

D.5【答案】

【答案】A．4【答案】

B．6

2

D．3 【答案 251 A．5 B．8 C．10 D．15【練習(xí)5】在擲一枚硬幣的試驗中，著地時 【答案 ①通常情形下，水加熱到 攝氏度時沸騰③口袋中裝有 個黑球，從中摸出一個是黑球④測 某天的最低氣溫，結(jié)果為200攝氏度⑤口袋中裝有2個紅球和1個白球，從中摸出2個球，其中必有紅球 【答案】必然：①、③、⑤ 不可能：④ 隨機(jī)：②、⑥ 2D．每次實驗中發(fā)生的可能性是50％ 1,1.53

3,0 A．6

B．3

2

D．35（15年海淀一模）某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九 A．2【答案】

B．5

9

D．9 于摸到白球的機(jī)會(填―大‖或―小【答案】(1)35

(2)25

(3)0；(4)1；(5)1、一道選擇題共有4個答案，其中有且只有一個是正確的，有一位同學(xué)隨意地選了一個答 B． D． A． B． D． 【答案】3、在―拋硬幣‖的游戲中，如果拋了10000次，則出現(xiàn)正面的概率是50％，這是 【答案】4、某班用抽簽的方式，在甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中挑選2位同學(xué)，代表該班參加學(xué)校衛(wèi)∵一共有12種等可能的結(jié)果，其中乙被選中的有66 5、一布袋中有紅、黃、白三種顏色的球各一個，它們除顏色外，其它都一樣，從布袋【答案P白，白)9第九講、求概率的方A.2【答案】

B.3

C.4

D.5【答案】1（共有6種等可能的結(jié)果，積是正數(shù)的有2種情況3上分別畫上☆○☆，B組的卡片上分別畫上☆○○，如圖1所示.若把A，B兩組卡片無標(biāo)記的一面對應(yīng)粘貼在一起得到3張卡片，其正標(biāo)記如2所示，將卡片正面朝上擺放在桌上，并用瓶蓋蓋住標(biāo)記.若揭開蓋子，看到的卡片正面☆○☆○○○○○☆☆☆BA 正☆○☆○○○○○☆☆☆B圖 圖☆○☆☆○○1

P(兩張都是☆)29A型：6000B型：4000C型：2500A型：6000B型：4000C型：2500D型：5000E型：2000乙甲ABCDE1分別涂上紅，黃，綠三種顏色，兩位同學(xué)分別轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次（若壓線，重新轉(zhuǎn)開 紅黃紅黃綠紅黃（ （（（ ）)= 9 32（甲獲勝

（乙獲勝

游戲1【答案】（1）取出黃球的概率是3開 黃白白黑黃白1 9(1)(1)能不能發(fā)生事先無法估計，表面上看似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們做試驗發(fā)生的頻率就呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性。因此，通過大量重復(fù)試驗一 【例4】一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有6個黃球.每次摸球發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%n大約是.【練 4】做重復(fù)實驗：拋擲同一枚啤酒瓶蓋1000次，經(jīng)過統(tǒng)計得―凸面向上‖的頻率約 ，則可以估計拋擲這枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)―凹面向上‖的概率約.56569A. B. D. 【答案2、一個經(jīng)過500次的試驗，它的頻率是0.32，那么它的概率估計值是【答案】3（14朝陽期末）在三個不透明的袋子中分別裝有一些除顏色外完全相同的球．甲袋中裝3張洗勻后再摸出一張請用畫樹狀圖或列表的方法求摸出 ABCDABCD （2）P＝12＝6計算各次檢查中―優(yōu)等品‖的頻率，填入表中mn】若xyz,則2xyz 【答案】且AP：PC=AD：AB=4：3，下列對于矩形是否相似的判斷，正確的是（ 【答案】如圖，四邊形ABGH，四邊形BCFG，四邊形CDEF都是正方形，圖中與△HBC相似的 【答案】【答案】A1C152A1B110B1C125.△A1B1C1的面積為2(1)求△BEF的周長與△AFD的周長之比(2)若△BEF的面積S△BEF＝6cm2，求△AFD的面積【答案】(1)13

第十講相似三角形的性質(zhì)與判在四條線段a,bcd中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段a,bcd叫ABBC的比例中項（AC2ABBC）AB被點C黃金分割，點CxABAB 51AB，AC 51AB0.618AB，BCABAC35AB0.382ABACABACB1、若x:y2:3，則下列各式不成立的是 xy yx x x1 2 y 2、若xyz

，則2x3y z4】【練習(xí) abbccak，則k的值為（ 】 A. 【答案】

C．2或 A.正方形與矩形B．正方形與菱形C．菱形與菱形D【答案】OD的中點，試判斷四邊形ABCD與四邊形A′B′C'D′是否相似，并說明理由．上上下上下下上上全全全 ABAB F ．A E BC3】a、bxx

a

【答案】【例4】如圖所示，□ABCD中，G是BC延長線上的一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，此圖中的相似三角形共有 【答案】6ADDE

DDEM OBAC5】如圖，已知O是△ABCD、E、F分另是OA、OB、OC的中點．求證：△ABC∽△DEF．A ,求 ∴∠DBC=2∠ABC∴AOCDBCBF=BF

∴AOCDBC∴∴OEBM ∵OC3OE，OA∴BMOEOE1 ∴∴BMBM1 1ABCABC60P是△ABC內(nèi)一點，使得APBBPCCPAPA8，PC6，則PB A 3【答案】3(1)（2）在△AFB與△EFA∴△AFB∽△EFAAFFE 交BC邊于點E，∠BDE=∠A． =

∵AB是⊙O直徑∴ODE900∴DE是⊙O的切線∵tanA=BC＝3 102102152AB2AB2

15 ( CD 2A E【答案】AA證明△ABD≌△CBE，再SAS證明AD，AEDE 【答案】AD=2，AE=4，DE3AD=4，AE=2，DE3【練習(xí)8】已知：如圖，△ABC△ADE與△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的長AD7

AE 9如圖△ABC與△ABC相似，AH是△ABCBC邊上的高線，AH是△ABCBCAB

BC

kAH

（k為相似比A 1、兩個相似多邊形的面積之比為1：3，則它們周長之比為 【答案】 3,1:【答案】AC=BC，∠A=∠ACB=60°，AD=CE，可以判定△ABD≌△BCE，即可得∠CBE，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出的面積分別為20cm2、45cm2、80cm2，則△ABC的面積為 FGFG 【答案】1、如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝1，DB＝2，則的面積與△ABC的面積的比等于 BCA．2【答案】4892、在△ABC和△DEF中，AB2DE，AC2DF，AD．如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次是 333、已知：如圖，△ABC中，AB＝4，D是AB邊上的一個動點，DE∥BC，連結(jié)DC，設(shè)的面積為S，△DCE的面積為D

S【答案】 (2)y164x(0x1、如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，且DE∥BC，如果AD∶DB=3∶2，EC=4，那么AE的長等于 DEDE 【答案】值為 32

92

D.33C 【答案】使△ADE與△ABC相似，那么AE＝

1時，求⊙O3 F （1）證明：如圖，連結(jié)OD∴ODOB∴12∵BD平分ABC∴1∴2∴OD∥BC∴ADOC90∴OD⊥AC∵OD是⊙OAC是⊙O

1△3∴AB

6設(shè)⊙O的半徑為rAO6r∵OD∥BC∴△AOD∽△ABC 6 3解得r 225.ABCD中，AB圖形，并判斷∠AEB與∠CEB的數(shù)量關(guān)系； ，b 證明 1a b2F F ∵AB＝AE，∴BF12 1∴EC a12AB2m,CD5m，點P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是 56

67

3

65【答案】如圖，家（點A處）和公路（L）之間豎立著一塊35m長且平行于公路的巨型路設(shè)為BC．一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段BC的時間是3s，已知牌和公路的距離是40m，則家到公路的距離是．【答案】如圖，小―魚與大―魚是位似圖形，已知小―魚上一個―頂點的坐標(biāo)（b），那么大―魚‖上對應(yīng)―頂點的坐標(biāo)為（ ）yy1O

第3C.2a, D．2b,【答案】 【答案】【答案】第十一講相似應(yīng)用及位設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE40cm，EF20cm，測得DF離地面的高AC1.5m，CD8m則樹高ABm．【答案】路書 【答案】1、如圖，設(shè)在小孔口前24cm處有一枝長21cm的蠟燭AB，AB經(jīng)小孔O形成的像A′B′恰好澆在距小孔后面16cm處的屏幕上，則像A′B′的長是 【答案】4mA、CED、BF處用繩索拉緊，以固定老樹，那么繩索ADBC的交點P離地面的高度為多少米？【答案】過PPH⊥BDH，由于BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD，PHBP=3， 所以PH3×4=12，即點P12 【例2】墻壁D處有一盞燈（如圖站在A處測得他的影長與身長相等都為1.6m，小明向墻壁走1m到B處發(fā)現(xiàn)剛好落在A點，則燈泡與地面的距離CD= m（OA所在的直線行走14米到點B時，人影長度在A處 米【答案】1.8012米，則路燈的高為【答案】31m0.9m，但當(dāng)他馬他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得樹高是多少？【答案】4.2 D AD DE 2（【答案】 ；OAB與 【答案】(2)△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似比為7：4；△OAB與△OA′B′是位似圖形，位似比為7：4．4】如圖，△ABC中，A，BxC的坐標(biāo)是(-1，0)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′BC，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍 Ay1BC-111xA．1 B．1(a1)C．1(a D．Ay1BC-111x 5【答案】坐標(biāo)為（-4，2，則這兩個正方形位似中心的坐標(biāo)是 2,0或4,2 33 【答案】A（7，3，B（7，0， 【答案】

3或y 【答案】(1)略(2)線段B′C′所在直線答案式為y=-2x+6C，D點的坐標(biāo)分別為(1，2)，(1，1)，(3，1)．A2B2C2D2E2，這時它的各頂點坐標(biāo)分別是多少【答案】(1)E(3,2),A(2,2 A1(6,23A2(10,233),以G＇D＇為邊，在△ABC內(nèi)作一正方形DEFG1、如圖ABCAB80cm,高CD60cmEFGHE、FAB邊上，G設(shè)其寬為x，則長為2x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知：x

,2x

IC兩式左右兩邊分別相加得：x2x1，解得：x=24，x BI OA、OBAB上.1OAB內(nèi)畫出正方形CDEF，使得C、DOA上，F(xiàn)OB上，連結(jié)OE并延長ABG點，GGJOAJGHGJOBHHIOAI.【答案】（1）四邊形GHIJ是正方形 ∴四邊形GHIJCD邊與矩形GHIJIJ∴∴OFFC,OFEF

B∴FCEF 又∵ ∴ F∴四邊形GHIJ是正方形 3、如圖，正三角形ABC的邊長為3+

EFPNE、FABNAC上，在正三角形ABCAEFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形；ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPHDE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明 EE'圖

（2）設(shè)正方形E＇F＇P＇N＇的邊長為3 x332∴x x329323∴x 9323設(shè)正方形DEMN、正方形EFPHm、它們的面積和為S，則 2m 2n S=m2+n2=1/2PN2--延長PHNDGRt△PGN中，PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m-∵3mmn3n

3,即mn3.∴Ⅰ當(dāng)（m-n）2=0時，即m=n時，S由（2）知，m最大=33

F圖∴S最大=1/2［9+（m最大-n最小=99-54（S最大≈5.47也正確2、如圖，A，B兩點被隔開，在AB外取一點C，連接AC，BC，在AC上取點M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝3.8m，則AB的長為 【答案】15.2 △CMN∽△CAB 【答案】(1)QQH⊥PB于H.當(dāng)獅子將蹺蹺板P端按由△PAB∽△PQH 1

，又APQ2

∵AB=1.2∴QH=2.4m＞211

△PAB∽△PQH，

＝

5.如圖，正ABC的邊長為3 EFPN的面積最大（不要求寫作法；

<4分鐘31（201514）如圖，在ABCDAB上，ACDABC,AD1ABAC的長

AACDABC，B ADAC AD1,ABAE ∴∠A+∠ACB=∵∴∠ACB+∠ECD∴∴∴ABBC ∵AB=3，DE=2，BC∴CDEEC ∴AB ∴ ∴ 3且 【答案 C(2)∵△ABE∽△ACD，∴AB＝AE ∴AC＝BCAD＝26 （201523）如圖，AB是⊙OC在⊙O上，CD與⊙OAD∥BC，OD，AC．656若tanB= 2

C3C321AO又 5∴ACBC,∵∠B的正切值 5 3設(shè)AC=5k，BC=2k,則 2，DC 3 35k 在△ODC中，OD36

36 第十二講相似三角形相關(guān)證明（一A字 8字 B C 旋三垂 D G1（201521）如圖，在Rt△ABC中,∠C=90°，BC=9,CA=12,∠ABCBDAC于點DDE⊥DBABE.OAB上，⊙O是△BDE的外接圓,求 的值EOBFEOBFDCRt△ABC中∴AB

AB2BC2CA292122225…∴ADOC90又AA∴AOOD 15 ∴ ∴r .∴BE 又∵BE是⊙O的直徑∴BFE ∴EFBE43 ABGDBC中點，DE⊥AB，垂足為E，5 5CD B GACPADEBA的延長線于F．

∴ ∴PD∵DP1 ∴PA1 ∴AP23，BP43 ∴BD在△ADE和△CDGAD∵ADECDGDE∴△ADE≌△CDG（AS又∵∠ANM=∠CND，∴△ AN?DN2AB2BDBCAC2CDBCAD2BDDC（射影定理3（201515）如圖，在△ABCDABBACD，AD4BD3AC的長．DAD又AA，C D D ∴AC2ADAB ∵AD4，BD∴AD7∴AC 7于點D，過點D的直線交BC邊于點E，∠BDE=∠A．=4∵AB是⊙O直徑∴ODE900∴DE是⊙O的切線

A ＝ 102102152AB2AB2

15 (2 CD

22DAB=10，AD=2PC ∴FBC的中點在Rt△ABE中 AB2∴AEAB2設(shè)⊙Or，則OCOArOE3rRt△OCE∴OC2OE2CE2∴r23r25解得r 3∴OEOC 3 33 5∴CP 44】(201521)AB是O的直徑，C是圓周上一點，ODACDP過C作O的切線，交ODP,APAP是O的切線 ，PD ，求O的半徑 P證明：連結(jié)AC是OODACAOP 在AOP和COPOAAOPCOPAOPCOPPCOOPPC切OCPCO90PAO90PA又OA是O的半徑，AP是O連結(jié) AB是O的直徑，ACBC又ODACOD/ ADAC CD 設(shè)CD=4k,則 CPDCOD90,CODOCDCPD PDCCDO90,CPD∽CD CD=4k,則CO=5k,OD=3k.(k>0)PD163PD16k1OC3

旋2相似ABC∽ADE和旋的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F(xiàn)，且∠EDF與∠A互補(bǔ)．AAA D

圖 圖 圖 則

D圖 F E又

圖∴ EAC的中點，∴S△ABD=S△ADC1ABDM1ACDNDMAC ABmDM=n

E在△ABG和△CBE中ABABGBG∵四邊形ABCDBEFG ∴∠ABG=∠DBF，∴△ABG∽△DBF， 點E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上．∴∴∴∠EFB ∴ABBC

∵B90∴AACB90CBDACCE∴ACBECD90∵BD=90∴ABBC ..AB∴BADCBADCADEBBADABD∽ABD∽ABBD 82∴EC 遇到了這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點，且AE=BC，BD=CE，BE與AD的交點為P，求∠APE的度數(shù)； 且BF=AD，連接EF，AF，從而構(gòu)造出△AEF與△CBE全等，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（C2 圖 圖 APE． ∴AB＝AD ∴∠C=∠D=90°．………∴△OCP∽△PDA．……………………∴OPCP 1

CP=

xRt△PCO由勾股定理得x28x242．…………∴AB=AP=2OP=10．………求出△ABE和△BCF部分（即△BEG）的面積 在△BGE與△ABE中

BE)2又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4 ∴SBGE=AE2SABE42BD,ABF,BC=BD.E若AE=9,CE=12,求BF的長E ∴CEB90∵CD平分ECB, ∴12,2D1FE∴1D 1FE∴CE∥BD∴DBACEB90 AB是⊙O的直徑∴BD是⊙O的切 2∵AB是⊙O直徑 ∴ACB90∵CEAB可得CE2AEEB∴EB 在Rt△CEB中，∠CEB=90,由勾股定理得BC CECE2∴BDBC20∵1D,∠EFC∴∴ECEF ∴1216BF ∴EDF=90°，DEACG，DF經(jīng)過點21中的∠EDFD順時針方向旋轉(zhuǎn)角（060），旋轉(zhuǎn)

若圖1中∠B=6090，（2）中的其余條件不變，判斷 QMPN GA 圖 圖∵∠ACB=90°，DAB的中∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°∴∠CDA=120°∵ CQGMHPN∴PMCQGMHPN∵DG⊥ACGDH⊥BC∴DG 又∵D為AC中 ∴GAC Rt△AGDDG

即PM 第十三講相似三角形相關(guān)證明（二A．5×（3B．5×（9C．5×（9D．5×（32442D的坐標(biāo)為（0，2）．延CB交xA．5×（3B．5×（9C．5×（9D．5×（32442【答案】2則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖2 【答案】3】（201312）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E，F(xiàn)AB，AC的中點，1當(dāng) CE時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系2 ；當(dāng)CQ=1CE（n為不n于2的常數(shù)）時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 【答案】yy=C D∴CE=ED，CBDB ∴OAC=OCA∴ACO=BCD. CE2(2)CE2

5 ∴AB2R3

.……………OC2OE2+CE R2=(R3)2+46∴2R=225=25……………… 3當(dāng)點D是BC邊上的中點時 解：（1）S△ABD：S△ABC 1： ；……………

BC

D ∵SBOC OM 1BC 2∴

OD A

．………… ODOEOF

．E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上．∴∴∴∠EFB=∠FDC．∴解：∵ 圖∴CF=9，DF由（1）得BECF BF 3

15∴BE ．∴GHFGEF

15BE2BE2BFDGDFFG454∴tanHDGGH1． 求出△ABE和△BCF部分（即△BEG）的面積 在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF部分的面積是否發(fā)生了變化？請說明理由． 在△BGE與△ABE中

BE)2又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4 SBGEAE2SABE428。 3∴AB′AE在同一直線上，即BFAB′的交點是G。設(shè)BF與AE′的交點為H，=S四邊形GHEBSABESAGHSABESABGSBGE∴△ABE在旋轉(zhuǎn)前后與△BCF部分的面積沒有變化求證：∠CBF12555

∴∠CBF∴∠CBF=∠1.…………… ………∴∠1=12∴∠CBF=1∠CAB.……………………25555 55

5 5∴BC=2BE=2.………… 25∴sin∠2=25 5 在Rt△CBG中，可求∴AG=3.……………………∴GCAG ∴BFGCAB20.……………… 圖形，并判斷∠AEB與∠CEB的數(shù)量關(guān)系； ，b 證明 F 圖 圖1（2）a b2∵AB＝AE，∴BF12 1∴EC 1即a 2遇到了這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CB，CA邊上的點，且AE=BC，BD=CE，BE與AD的交點為P，求∠APE的度數(shù)； 且BF=AD，連接EF，AF，從而構(gòu)造出△AEF與△CBE全等，經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決（C2 圖 圖 圖APE．參 3AB為⊙O的直徑，點COD、E分別為CB，CA上的點， AE2BCBD2CE，BEADP3中畫出符合題意的圖形，并求出sinAPE的值．解：(1)BFB//ADFB=AD，連結(jié)EF∵AB是⊙O∴FAEBCE∵CE2BD，BC2AE ∴CE2AF

BE2，∠1=∠3

APEFBEsinAPE5CFFEBCAE=EF成立；―點E段BC上；―點E段BC延長線；點E段BC反向延長線上‖三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明AE=EF．AFAF

圖 AC于點E、F．yx的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；xx3＜x＜PE4231（則sinB

，C90，AC8，BC6 A．45

B．3D．5【答案】（2013延慶初三第一學(xué)期期末3）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖放置，則tan∠AOB的 52 52A B. 【答案】（201513）計算3tan30cos2452sin【答案】3tan30cos2452sin 2 3322 31212當(dāng)銳角a60cosa的值（12

2

大于 2

大于【答案】5BDC45DC6AD的長【答案】在BDCC900DC∴tan45BC

BDC450

∴BC∴AB

在ABC中，sinA 152∴AC152∴AD321B .第十四講銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinAsinAc銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosAcosAc銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanAtanAb【例1】（2015海淀初三第一學(xué)期期末2）在Rt△ABC中，∠C=90o，BC3，AB5，則 的值為 A.5

B.5

C.4

D.3【答案】【練習(xí)1】（2015燕山初三第一學(xué)期期末6）如圖，在Rt△ABC 5 B．25

2AB【答案】3【例2（2015懷柔初三第一學(xué)期期末4）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若5

的是 A．5

5

4

D．3B 【答案】BC=5，CD⊥AB于點D，那么sinBCD的值是 5

5【答案】 A．5C．5

4BBC【答案】則tanB的值為 44（20151）已知sinA1A2【答案】

C. D.【練習(xí)4（2015通州初三第一學(xué)期期末10）計算：在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，那么sinA+cosB的值等于 【答案】5（201513）計算：(3

2cos30

1)182解：原式=1-2×2

-8+2==3-5（201513）計算：8-4sin45

(1)2【答案】計算：8-4sin45

(1)2)2= 2

12220sin＜1，增減性正弦值隨著角度的增大而增大0cos＜1，增減性余弦值隨著角度的增大而減小tanA0，增減性正切值隨著角度的增大而增大6】（20133）已知∠AsinA<2

A.0°<A< B.30°<A C.60°<A< D.30°<A<【答案】6】已知A為銳角，且cosA

，那么（2A．0AC．0A

B．60AD．30A【答案】2

CD，sin∠CBD=3

3∴CDDBsinCBD624 ∴AD1CD142 BD262∵CB 25BD262Rt△ABC中25∴tanACB 25 AC6，D是AC上一點，如果tanDBA1,那么AD的長 5C 【答案】8（201518）已知：如圖，ABDACBD于CBC3EABtanD2CE1，求sinECBAD 【答案】∵ACBD，∴ACBACD ∵E是AB的中點，CE AB2CE2∵BC3BC3xCD Rt△ACDtanD 2，AC4x RtACBAB5x ∴sinECBsinB 2AB2x5AC24∴AD AC244△ABC 45求cosABE的值B 【答案】（1）∵△ABC中，∠ACB=90°sinA

，5∴ABsin

810451 AB512102102AB2AB2∵CFABACBCAC ∴CF

6

∴∠ABE=∠DCF．∴cosABEcosDCF 524 B 1cos【答案】

cosA C．1sinA

D．sin53345455（2014通州初三第一學(xué)期期末7）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中53345455【答案】（201513）計算cos30sin602sin45tan45【答案】原式 3 32 21 2 當(dāng)銳角＞45時，求cos 23 ，3DADCABBC【答案（1）∵在△ACD中，C90，CD=3∴tanDACCD 3 DAC AD∴∠BAC=2∠DAC∴∠B(2)Rt△ABC∴AB=2ACBCACtan

3 33如圖3，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，則下列結(jié)論正確的 3sinA32

tanA2

cosB323

tanBB 【答案】（201519）如圖，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC32，求AB的長．A ∴AB=3+3ABCBC45，ADB60，BC3AD的長【答案】230°C60°A120m，這棟高樓BC的高度為米．【答案】面A、B兩個探測點探測到C處有金屬回聲．已知A、B兩點相距8米，探測線AC，BC與地面的夾角分別是30°45°，試確定有金屬回聲的點C的深度是多少米？C∴∴∵在Rt△DBC∴∵在Rt△DAC∴AD2CD2AC2∴(8CD)2CD2(2CD)2 ∴CD4 ∵CD443∴CD4 第十五講：1】在ABC中C90如果a3,b4，求A的三個三角函數(shù)值

sinA3cosA4tanA【答案】abcc5 41】RtABC中C90，AC1，BC2求sinA,cosAtanAC2BC ,sinAAC2BC

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