專題32 積分與微積分基本定理

第三章導(dǎo)數(shù)專題2積分與微積分基本定理(理科)【三年高考】TOC\o"1-5"\h\z【2015高考湖南，理11】J2(x-1)dx= .0【2015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線表示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 .3.【2015高考天津，理11】曲線y二x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為 .【2017考試大綱】定積分與微積分基本定理了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.了解微積分基本定理的含義.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題，定積分屬于理科內(nèi)容，從近幾年的高考試題來看，定積分重點(diǎn)考查定積分的應(yīng)用,利用定積分求值，求面積，題型為選擇題或填空題.【2018年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】定積分可以看作是導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間上的逆運(yùn)算.它是新課標(biāo)新增加的內(nèi)容之一，在以前的課本中沒有出現(xiàn)定積分的概念，在高考中主要考查定積分的計算和定積分的幾何意義，多為容易題，一般每年出一道題有時和二項式結(jié)合出題，因此在2017年復(fù)習(xí)備考中，只須掌握積分的概念，積分的運(yùn)算，會用積分求面積,體積即可.由于在2016,2017年的高考試題中積分沒出題，預(yù)測2018年高考可能對定積分考查，可能是利用定積分求值，或與幾何概型結(jié)合出題，利用定積分來求封閉圖形的面積.【2018年高考考點(diǎn)定位】高考對定積分的考查主要有定積分的計算和定積分的幾何意義作為新增內(nèi)容，它是大學(xué)微積分的基礎(chǔ)，很受出題人的青睞，故在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起重視.

考點(diǎn)一、求已知函數(shù)的定積分【備考知識梳理】1、定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a二x<x<???<x<xv…vx二b將區(qū)間ta,b］等分TOC\o"1-5"\h\z0 1 i-1 i n成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間［x,x］上任取一點(diǎn)匕(i=1,2,—，n)，作和式i-1i i%G)心=Zb-af(g)，當(dāng)nT+a時，上述和式無限接近某個水常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)ii=1n ii=1TOC\o"1-5"\h\z間上的定積分，記作fbf(x^Zx,即fbf(x)dx=lim工f(g)n ia a nT8i=12、微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)=f(x)，那么Jbf(x)dx二F(b)—F(a)，這個結(jié)論a叫做微積分基本定理，又叫做牛頓 萊布尼茲公式.3、定積分的基本性質(zhì)卜kf3、定積分的基本性質(zhì)卜kf(x)dx=kfbf(x加，其中k為常數(shù)\o"CurrentDocument"a afb[f(x)±g(x力dx=fbf(x》x±fbg(x》xa a afbf(x)dx=fcf(x)ix+fbf(x)ix，其中a<c<ba a c(1)(2)(3)【規(guī)律方法技巧】1.求函數(shù)f(x)的定積分，關(guān)鍵是求出函數(shù)f(x) F(x) F，(x)=f(x)求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算的關(guān)系.2?計算簡單定積分的步驟把被積函數(shù)變?yōu)槟缓瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個定積分的和或差；⑶分別用求導(dǎo)公式找到F(x),使得F(x)=fx)；利用牛頓——萊布尼茲公式求出各個定積分的值；計算所求定積分的值.3.求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算，求定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù),為避免出錯，在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】

1.【2017湖南婁底二?！咳?.【2017湖南婁底二?！咳鬴Cx2+sinx)dx=18,2.【2017江西4月質(zhì)檢】計算考點(diǎn)二、求分段函數(shù)的定積分【備考知識梳理】1、分段函數(shù)的定積分(1)分段函數(shù)在區(qū)間【a,b］上的定積分可分成幾段定積分的和的形式.(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式是確定的，一般按照原函數(shù)分段的情況分，無需分得過細(xì).2、奇函數(shù)與偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分若f(x)為偶函數(shù)，且在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間［-a,a］上連續(xù)，則faf(x》x=2faf(x)dx—a 0若f(x)為奇函數(shù)，且在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間［—a,a］上連續(xù)，則faf(x)dx=0—a【規(guī)律方法技巧】分段函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的定積分可分成幾段定積分的和的形式.分段的標(biāo)準(zhǔn)只需依據(jù)已知函數(shù)的分段標(biāo)準(zhǔn)【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】x【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】x31.求函數(shù)f(x)=r'x2x—14(0<x<1)(1<x<4)在區(qū)間［0,5］上的定積分.2.【2017屆黑龍江省哈爾濱市高三(4<x<5)模］已知f(x)=｛廠云xe(-1］1］，則ff(x)dx= x2—1,xG(1,2」—1考點(diǎn)三、定積分的幾何意義【備考知識梳理】1、當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b」上恒為正時，定積分fbf(x)dx的幾何意義是直線x=a,x=b,y=0和曲1、a線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積;曲線y=f(x)和直線x=a,x=曲線y=f(x)和直線x=a,x=b之間的曲邊梯形的面積的代數(shù)和，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上定積分值，X軸下方的面積等于該區(qū)間上定積分的相反數(shù).【規(guī)律方法技巧】1?利用定積分求平面圖形面積的關(guān)鍵是畫出幾何圖形，結(jié)合圖形位置，確定積分區(qū)間以及被積函數(shù)，從而得到面積的積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理求出積分值.2.定積分的應(yīng)用及技巧：（1）對被積函數(shù)，要先化簡，再求定積分.（2）求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段求定積分再求和.（3）對含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能求定積分.（4）應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積，解題的關(guān)鍵是利用兩條曲線的交點(diǎn)確定積分區(qū)間以及結(jié)合圖形確定被積函數(shù).求解兩條曲線圍成的封閉圖形的面積一般是用積分區(qū)間內(nèi)上方曲線減去下方曲線對應(yīng)的方程、或者直接作差之后求積分的絕對值，否則就會求出負(fù)值.［易錯提示］在使用定積分求兩曲線圍成的圖形的面積時，要注意根據(jù)曲線的交點(diǎn)判斷這個面積是怎樣的定積分，既不要弄錯積分的上下限，也不要弄錯被積函數(shù).用微積分基本定理求定積分時，要掌握積分與導(dǎo)數(shù)的互逆關(guān)系及求導(dǎo)公式的逆向形式.3?定積分的應(yīng)用主要有兩個問題：一是能利用定積分求曲邊梯形的面積；二是能利用定積分求變速直線運(yùn)動的路程及變力做功問題，其中，應(yīng)特別注意求定積分的運(yùn)算與利用定積分計算曲邊梯形面積的區(qū)別【考點(diǎn)針對訓(xùn)練】1?【四川省成都市2017屆高中畢業(yè)班第三次診斷檢測】已知錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。是曲線錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。軸圍成的封閉區(qū)域?若向區(qū)域錯誤！未找到引用源。內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)錯誤！未找到引用源。則點(diǎn)錯誤！未找到引用源。落入?yún)^(qū)域錯誤！未找到引用源。的概率為（）A.錯誤！未找到引用源。 B.錯誤！未找到引用源。 C.錯誤！未找到引用源。 D.錯誤！未找到引用源。2.【遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2017屆高三下學(xué)期第六次模擬】如圖所示，正弦曲線y二sinx，余弦曲線y=cosx與兩直線x二0，x二兀所圍成的陰影部分的面積為（）

A.1B.J2 C.2D.2叮2【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時，要分不同情況討論.求曲邊圖形面積的方法與步驟畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.定積分Jbf(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x二a,x二b之間的曲邊梯形面積的a1.【2017河北五邑三模】二項式ax-代數(shù)和，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在1.【2017河北五邑三?！慷検絘x-(a>0)的展開式的第二項的系數(shù)為-尋，則Jx2dx的值為-22.，則二項式f2.，則二項式fx-上y的展開式I2x2丿中的常數(shù)項為()15215A.-B.-C.-D.-1824【遼寧省錦州市2017屆高三質(zhì)量檢測(二)】設(shè)a=fcosxdx，則I2x--\展開式中常數(shù)項為 I x丿0(用數(shù)字作答).【福建省泉州市2017屆高三(5月)】已知曲線C:y二x2+2x在點(diǎn)(0,0)處的切線為l，則由C,/以及直線x二1圍成的區(qū)域的面積等于 ?5.【湖北省襄陽第四中學(xué)2017屆高三5月】已知函數(shù)y二2cosx(0<x<2兀)的圖象和直線y二2圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面積是

6.【江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2017屆高三第二次聯(lián)考】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，過C,M,D三點(diǎn)的拋物線與CD圍成陰影部分，則向正方形內(nèi)撒一粒黃豆落在陰影部分的概率是()A.B.1CA.B.1C?一2D.7.ab【山西省臨汾第一中學(xué)7.ab【山西省臨汾第一中學(xué)2017屆高三全真模擬】定義』=ad-becd2二1x4—2x3二—2，那432323A.6B.3C.2D°&【河北省石家莊市2017屆高三沖刺模考】在拋物線y二X2與直線y二2圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA被該封閉圖形解得的線段長小于的概率是()c至.c至.16D.149.【江西省贛州市2017屆高三第二次模擬】如圖所示，由直線x二a,x=a+l(a>0)，y二x2及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于小矩形與大矩形的面積之間，即a2<Tx2dx<(a+1)2.類比之，若對VneN,+a—kk k-”kk不等式+ +???+—<—kk k-”kk不等式+ +???+—<In4< + +???+n+1n+2 2n nn+1k2n—1恒成立,則實(shí)數(shù)k等于 10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2017屆高三5月模擬】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n項和為S，數(shù)列｛b｝的通項公式為b=10.【湖南省長沙市長郡中學(xué)2017屆高三5月模擬】已知a=f（2x+1）dx， （neN*）n0前n項和為S，數(shù)列｛b｝的通項公式為b=n—8，則bS的最小值為.n n n nn11.【2016屆山西省榆林市高三二?！吭O(shè)m=J1J1—x2dx,若將函數(shù)f（x）=sin（?x+申）的圖像向左平—1移m個單位后所得圖像與原圖像重合，則?的值不可能為（）A.4B.6C.8D.12【答案】B12.【2016屆山東省師大附中高三最后一?！吭O(shè)函數(shù)f（x）=ax2+b（a主0），"o>0，則x0等于（）3C.2D.3x2,xe【0,1],13.【2016屆吉林省毓文中學(xué)高三模擬】設(shè)f（x）=<1—,xe、x仃,e]（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）dx0的值為（）43A.5B.—46C.—57D.-614.15.0 4【2016屆山西省忻州一中等四校高三下第四次聯(lián)考】已知函數(shù)f（x）二-x3+ax2+bx（a,beR）的圖象如圖所示，它與x軸在原點(diǎn)相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域（如圖陰影部分）的面積為;，則a的JL厶【一年原創(chuàng)真預(yù)測】1.J3sin4xdx的值為（）0B.C.D.2.【2017年第二次全國大聯(lián)考（山東卷）】n a已知a=212sinxdx，則二項式（x+ ）6展開式中的常數(shù)項o yx是 a3?定積分r（2x+ex）dx二ea，則（x+）6展開式中的常數(shù)項為（）o xA.1 B.-1 C.20 D.-204.若(1+x)(