新教材高中數(shù)學(xué)第6章統(tǒng)計(jì)學(xué)初步4用樣本估計(jì)總體課件湘教版必修第一冊

6.4

用樣本估計(jì)總體1|用樣本估計(jì)總體的集中趨勢1.平均數(shù)(1)平均數(shù)平均數(shù)也稱為均值,在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的地位,是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢最主

要的指標(biāo).若樣本容量為n,第i個(gè)個(gè)體是xi,則樣本平均數(shù)①

=

.(2)層權(quán)與簡單估計(jì)在分層抽樣中,用N表示總體A的個(gè)體總數(shù),若將總體A分為L層,用Ni表示第i層(i=1,

2,…,L)的個(gè)體總數(shù),則有N=N1+N2+…+NL.我們稱Wi=

(i=1,2,…,L)為第i層的層權(quán).對i=1,2,…,L,用

表示從第i層抽出樣本的均值.我們稱

=W1

+W2

+…+WL

是總體均值μ的簡單估計(jì).2.眾數(shù)、中位數(shù)(1)眾數(shù)我們稱觀測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)②次數(shù)最多

的數(shù)是眾數(shù),用M0表示.眾數(shù)作為一組數(shù)

據(jù)的代表,能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)將一組觀測數(shù)據(jù)按③從小到大

的順序排列后,我們稱處于④中間位置

的數(shù)是中位數(shù),用Me表示.中位數(shù)的作用與算術(shù)平均數(shù)有些相近,可以用來表示總體的“中等”水平,因此

中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表,也能反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.3.平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的比較平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是一組數(shù)據(jù)的代表,它們從不同側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的集中

趨勢.平均數(shù)的計(jì)算要用到所有的數(shù)據(jù),它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息,因此在

現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用較廣,但它容易受極端值的影響;中位數(shù)對極端值不敏感,但沒有

利用數(shù)據(jù)中的所有信息;眾數(shù)只能反映一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù),也沒有

利用數(shù)據(jù)中的所有信息.1.極差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們將一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值統(tǒng)稱為極值,將最大值與最小

值之差稱為極差,也稱全距,用R表示.2.方差(1)總體方差統(tǒng)計(jì)上,常采用方差來刻畫一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小:若設(shè)y1,y2,…,yN是總體的全部個(gè)

體,μ是總體均值,則稱⑤

σ2=

為總體方差或方差.2|用樣本估計(jì)總體的離散程度總體方差σ2刻畫了總體中的個(gè)體向總體均值μ的集中或離散的程度:方差越小,表

明個(gè)體與均值μ的距離越近,個(gè)體向μ集中得越好.總體方差σ2也刻畫了總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)的程度:方差越小,表明個(gè)體越整

齊,波動(dòng)越小.(2)樣本方差類似地,若從總體中隨機(jī)抽樣,獲得n個(gè)觀測數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用

表示這n個(gè)數(shù)據(jù)的均值,則稱⑥

s2=

[(x1-

)2+(x2-

)+…+(xn-

)2]

為這n個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差,也簡稱為方差.樣本方差s2刻畫了樣本數(shù)據(jù)相對于樣本均值

集中或離散的程度.樣本方差依賴于樣本的選取,帶有隨機(jī)性.如果樣本是隨機(jī)抽取的,當(dāng)樣本容量較大時(shí),樣本方差是總體方差的估計(jì).3.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.如果σ2是總體方差,則稱σ=

是總體標(biāo)準(zhǔn)差﹔如果s2是樣本方差,則稱s=

是樣本標(biāo)準(zhǔn)差.給定數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn和均值

.由方差計(jì)算公式知道,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s可以用下面的公式計(jì)算:⑦

s=

百分位數(shù)是位于按一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一個(gè)百分位置的數(shù)值,以Pr

表示,其中r是區(qū)間[1,99]上的整數(shù).一個(gè)百分位數(shù)Pr將總體或樣本的全部觀測值分

為兩部分,至少有r%的觀測值小于或等于它,且至少有(100-r)%的觀測值大于或

等于它,當(dāng)r%=50%時(shí),Pr即對應(yīng)中位數(shù).3|百分位數(shù)1.標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過極差.

(√)2.標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各

個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.

(

?)3.在記錄兩個(gè)人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中,方差大的表示射擊水平高.

(

?)4.中位數(shù)和眾數(shù)一定不相等.

(

?)5.頻率分布直方圖中,小矩形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻數(shù)與組距

的比值.

(

?)6.頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.

(√)7.50%分位數(shù)一定是中位數(shù).

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.1|方差和標(biāo)準(zhǔn)差高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購被稱為中國的“新四大發(fā)明”.為評估共

享單車的使用情況,選了n座城市作為試驗(yàn)基地,這n座城市共享單車的使用量(單

位:人次/天)分別為x1,x2,…,xn.問題1.要評估共享單車使用量的穩(wěn)定程度,應(yīng)該選擇數(shù)據(jù)的哪項(xiàng)指標(biāo)?提示:標(biāo)準(zhǔn)差(方差)能反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度,因此可以用來評估共

享單車使用量的穩(wěn)定程度.2.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差越大,共享單車使用量越穩(wěn)定嗎?提示:統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差越大,共享單車使用量越不穩(wěn)定.1.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的方法流程:

2.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的作用:(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大;標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.(2)在實(shí)際應(yīng)用中,常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策.在平均數(shù)相等的情

況下,比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性.3.若x1,x2,…,xn的平均數(shù)為

,方差為s2,標(biāo)準(zhǔn)差為s,則以下數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差有如下規(guī)律:數(shù)據(jù)平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差x1,x2,…,xn

s2sx1+b,x2+b,…,xn+b(b為常

數(shù))

+bs2sax1,ax2,…,axn(a為常數(shù))a

a2s2|a|sax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,

b為常數(shù))a

+ba2s2|a|s如圖是甲、乙兩人在一次射擊比賽中中靶的情況(擊中靶中心的圓面為10環(huán),靶

中各數(shù)字表示該數(shù)字所在圓環(huán)被擊中時(shí)所得的環(huán)數(shù)),每人射擊了6次.

(1)請用列表法將甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計(jì)出來;(2)請用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)對甲、乙兩人這次的射擊情況進(jìn)行比較.解析

(1)甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計(jì)如下表:環(huán)數(shù)678910甲命中次數(shù)00222乙命中次數(shù)01032(2)

=

×(8×2+9×2+10×2)=9(環(huán)),

=

×(7×1+9×3+10×2)=9(環(huán)),

=

×[(8-9)2×2+(9-9)2×2+(10-9)2×2]=

,

=

×[(7-9)2+(9-9)2×3+(10-9)2×2]=1,因?yàn)?/p>

=

,

<

,所以甲與乙的平均成績相同,但甲的發(fā)揮比乙穩(wěn)定.2|用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1.一般情況下,如果樣本容量恰當(dāng),抽樣的方法比較合理,那么樣本的數(shù)字特征能

夠反映總體的數(shù)字特征.在允許一定誤差存在的前提下,可以用樣本的數(shù)字特征

去估計(jì)總體的數(shù)字特征.2.用樣本估計(jì)總體是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法,即用樣本平均數(shù)估計(jì)總

體平均數(shù),用樣本方差估計(jì)總體方差(方差和標(biāo)準(zhǔn)差是描述一個(gè)樣本和總體的波

動(dòng)大小的特征數(shù),方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,表示這個(gè)樣本或總體的波動(dòng)越小,即越穩(wěn)定).

一般地,樣本容量越大,這種估計(jì)就越準(zhǔn)確.3.利用樣本估計(jì)總體的目的是通過對樣本平均數(shù)和方差的比較,能對總體進(jìn)行全

面的分析、比較,進(jìn)而提出合理的建議和指導(dǎo)意見,對實(shí)際應(yīng)用問題做出正確的

反饋.1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系:(1)眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高的小矩形中某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐

標(biāo).(2)由于在樣本中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中

位數(shù),因此在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左側(cè)和右側(cè)的小矩形的面積和應(yīng)該相等,

據(jù)此可以估計(jì)中位數(shù)的值.說明:樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從頻率分布直方

圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往

與樣本的實(shí)際中位數(shù)數(shù)值不一致.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn).用頻率分

布直方圖估計(jì)平均數(shù)時(shí),平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)(組中值)之積的和.2.利用頻率分布直方圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)均為近似值,往往與由實(shí)際

數(shù)據(jù)得出的不一致,但它們能粗略估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).下表給出了亞洲某些國家的國民平均壽命(單位:歲).國家平均壽命國家平均壽命阿曼76.1阿富汗59.0巴基斯坦65.2巴林76.1阿聯(lián)酋76.7馬來西亞74.2朝鮮68.9東帝汶67.3孟加拉國70.1韓國80.6柬埔寨66.4塞浦路斯79.4老撾64.3卡塔爾77.8沙特阿拉伯73.7蒙古67.6科威特74.1哈薩克斯坦68.3緬甸64.9菲律賓67.8印度尼西亞68.2日本82.8黎巴嫩78.5土庫曼斯坦65.0泰國73.7尼泊爾68.0吉爾吉斯斯坦69.3約旦73.4土耳其74.1烏茲別克斯坦67.9越南75.0伊拉克68.5也門62.8中國74.8以色列81.6文萊77.6伊朗74.0新加坡81.5敘利亞72.3印度66.5(1)根據(jù)這40個(gè)國家的樣本數(shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中樣本

數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[59.0,63.0),[63.0,67.0),[67.0,71.0),[71.0,75.0),[75.0,79.0),[79.0,8

3.0].請根據(jù)上述所提供的數(shù)據(jù),求出頻率分布直方圖中a,b的值;

(2)請根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想,利用(1)中的頻率分布直方圖估計(jì)亞洲國民的平均壽命及壽命的中位數(shù)(保留一位小數(shù)).解析

(1)根據(jù)題表中數(shù)據(jù),亞洲這40個(gè)國家中,國民平均壽命在[71.0,75.0)內(nèi)的頻數(shù)是9,頻率是

=0.225,國民平均壽命在[75.0,79.0)內(nèi)的頻數(shù)是7,頻率是

=0.175,則a=

=0.05625,b=

=0.04375.(2)由題中頻率分布直方圖可知,國民平均壽命在[59.0,63.0)內(nèi)的頻率為0.0125×4

=0.05,在[63.0,67.0)內(nèi)的頻率為0.0375×4=0.15,在[67.0,71.0)內(nèi)的頻率為0.06875×

4=0.275,在[79.0,83.0]內(nèi)的頻率為0.03125×4=0.125,則所有樣本國家的國民平均壽命約為61×0.05+65×0.15+69×0.275+73×0.225+77×

0.175+81×0.125=71.8(歲).因?yàn)榍叭M頻率之和為0.05+0.15+0.275=0.475,所以中位數(shù)為

×4+71≈71.4(歲).根據(jù)統(tǒng)計(jì)思想,估計(jì)亞洲國民的平均壽命為71.8歲,壽命的中位數(shù)為71.4歲.3|百分位數(shù)求百分位數(shù)的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟如下:第一步,按照從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù);第二步,計(jì)算i=np;第三步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p

分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在隨機(jī)抽取的12場比賽中的得分情況如下:甲運(yùn)動(dòng)員得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,