新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何4曲線與方程學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE6曲線與方程課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.3.初步掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法.1.數(shù)學(xué)抽象——能通過(guò)具體的實(shí)例理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能掌握求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常見(jiàn)方法.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一曲線的方程與方程的曲線一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系：（1）曲線C上的①點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上，則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線，方程F(x,y)=0為曲線C的方程.要點(diǎn)二動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程1.軌跡方程就像直線可以看成動(dòng)點(diǎn)做②直線運(yùn)動(dòng)的軌跡，圓可以看成動(dòng)點(diǎn)做③圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡一樣，曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡，所以曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.2.求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)（如果沒(méi)有平面直角坐標(biāo)系，需建立）；（2）寫(xiě)出M要滿足的幾何條件，并將該幾何條件用④M的坐標(biāo)表示出來(lái)；（3）化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)所得方程是不是M的軌跡方程.自主思考1.如果曲線與方程僅滿足“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能舉例說(shuō)明嗎？答案：提示有可能曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程y=1-x2，此時(shí)方程y=2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程與求其軌跡有何區(qū)別？答案：提示求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程得出方程即可，而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么圖形.3.求軌跡方程時(shí)，根據(jù)一個(gè)已知的平面圖形建立的坐標(biāo)系是唯一的嗎？答案：提示不是唯一的，一般以得到的曲線方程最簡(jiǎn)單為標(biāo)準(zhǔn).名師點(diǎn)睛對(duì)曲線的方程與方程的曲線的定義的四點(diǎn)說(shuō)明：①定義中的條件（1）說(shuō)明曲線上沒(méi)有點(diǎn)的坐標(biāo)不是方程的解，即曲線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都符合這個(gè)條件．②定義中的條件（2）說(shuō)明符合條件的所有解構(gòu)成的點(diǎn)都應(yīng)在曲線上．③定義的實(shí)質(zhì)是平面曲線上的點(diǎn)集{M|p(M)}和方程F(x,y)=0的解集{(x,y)|F(x,y)=0}之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此平面曲線可以理解為平面內(nèi)符合某種條件的點(diǎn)的集合．④從集合角度看，若設(shè)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)組成集合A，以方程F(x,y)=0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成集合B，則A?B且B?A，所以A=B．互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一曲線的方程與方程的曲線的概念的理解及應(yīng)用精講精練例（1）方程x-1?A.B.C.D.（2）“點(diǎn)M在曲線y2=4x上”是“點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：（1）D（2）B解析：（1）因?yàn)榉匠蘹-1?ln(x2+y2-1)=0，所以可得x-1=0或ln(x2+y（2）∵y2=4x，∴=2x或y=-2x，故點(diǎn)M在曲線y2=4x上，但不一定在曲線y=-2x上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)不一定滿足方程y=-2x；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程y=-2x，則點(diǎn)M一定在曲線y=-2x上，故也一定在曲線y2=4x解題感悟曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”，稱為純粹性；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說(shuō)曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．遷移應(yīng)用1.（多選）命題“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解”是真命題，則下列命題中不正確的是()A.方程F(x,y)=0的曲線是CB.方程F(x,y)=0的曲線不一定是曲線CC.F(x,y)=0是曲線C的方程D.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上答案：A;C;D解析：曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解，但以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定在曲線C上，故A，C，D都不正確，B正確．2.若曲線y2-xy+2x+k=0過(guò)點(diǎn)(a,-a)(a∈R答案：∵曲線y2-xy+2x+k=0過(guò)點(diǎn)(a,-a)，∴k=-2a2-2a=-2(a+12)2探究點(diǎn)二曲線的交點(diǎn)精講精練例已知曲線C1:2x-5y+5=0，答案：建立方程組{2x-5y+5=0,①y=-10x,②△=25-4×2×50＜0，因此方程③無(wú)實(shí)數(shù)解，從而方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，因此曲線C1:2x-5y+5=0與曲線解題感悟結(jié)合曲線方程的定義，兩曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為兩曲線的方程構(gòu)成的方程組的解，所以可以把求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題，把討論交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.如果只涉及曲線的一部分，那么常用到數(shù)形結(jié)合的方法．遷移應(yīng)用1.（2021山東日照高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y=4-x2與直線y=m答案：2解析：曲線y=4-x2為以原點(diǎn)O(0,0)為圓心，2為半徑的半圓(x若曲線與直線y=m有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，則m=2.探究點(diǎn)三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程精講精練類型1定義法求軌跡方程例1已知圓C:(x-1)2+答案：如圖，設(shè)OQ為過(guò)O點(diǎn)的一條弦，P(x,y)為其中點(diǎn)，連接CP，則CP⊥OQ.設(shè)M為OC的中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為(12,0)∵∠OPC=90∴|PM|=12|OC|=1∴動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)M(12,0)為圓心，OC為直徑的圓上，故所求的軌跡方程為(x-1類型2直接法求軌跡方程例2若動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離是它到點(diǎn)A(2,0)的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.答案：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則動(dòng)點(diǎn)P到直線x=8的距離d=|x-8|，到點(diǎn)A的距離|PA|=(x-2)2+y化簡(jiǎn)得3x2+4類型3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）求軌跡方程例3已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在曲線x2+y2=1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3,0)答案：設(shè)P(x,y)，M(x0,y0)，因?yàn)镻為又因?yàn)镸在曲線x2+y2=1上，所以(2x-3)2+4y解題感悟求曲線方程的方法：（1）定義法：若能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫(xiě)出曲線方程．（2）直接法：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說(shuō)明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程．（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，再代入到其他動(dòng)點(diǎn)滿足的條件或軌跡方程中，整理即得所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．遷移應(yīng)用1.（2021上海浦東高二期末）已知定點(diǎn)A(-2,0)，B(2,0)和曲線y=x2+3（1）求線段AB的垂直平分線的方程；（2）若點(diǎn)G是△ABC的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.答案：（1）AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，且A、B在x軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以線段AB的垂直平分線即y軸，故方程為x=0.（2）設(shè)G(x,y)，C(x1,y1)，則y1=x12可以檢驗(yàn)，上式就是動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程.評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（2020山東濟(jì)寧曲阜一中高二月考）下列四個(gè)圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是()A.B.C.D.答案：D2.曲線y=1x與A.(1,1)B.(2,2)C.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)D.不存在答案：D3.已知兩點(diǎn)M(-2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P滿足PM?PN=0答案：x4.（2021遼寧沈陽(yáng)高二月考）若動(dòng)點(diǎn)P在曲線y=2x2+1上移動(dòng)，則點(diǎn)P答案：y=4素養(yǎng)演練邏輯推理——曲線的方程與方程的曲線的證明1.證明：與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k(k＞0)的點(diǎn)構(gòu)成的曲線的方程是xy=±k.答案：證明①設(shè)M(x0,y0)是曲線上的任意一點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)M與x軸的距