新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)1.1函數(shù)的概念課件新人教A版必修第一冊

1.建立完整的函數(shù)概念,體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.3.1函數(shù)的概念及其表示3.1.1函數(shù)的概念1.函數(shù)的有關(guān)概念1|函數(shù)的概念函數(shù)的定義一般地,設(shè)A,B是①

非空的實(shí)數(shù)集

,如果對于集合A中的②任意

一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有③唯一確定

的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱④

f:A→B

為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)函數(shù)的記法⑤

y=f(x)

,x∈A定義域x叫做自變量,x的⑥取值范圍A

叫做函數(shù)的定義域值域函數(shù)值的集合⑦

{f(x)|x∈A}

叫做函數(shù)的值域注意:在函數(shù)定義中,用符號y=f(x)表示函數(shù),其中f(x)表示x對應(yīng)的函數(shù)值,而不是f乘x.2.同一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.因?yàn)橹涤蚴怯啥x域和對應(yīng)

關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的⑧

定義域

相同,并且⑨對應(yīng)關(guān)系

完全

一致,即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).1.一般區(qū)間的表示設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),而且a<b,我們規(guī)定:2|區(qū)間的概念及其表示集合名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間⑩

[a,b]

{x|a<x<b}開區(qū)間

(a,b)

{x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a,b)

{x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a,b]

2.特殊區(qū)間的表示集合區(qū)間數(shù)軸表示{x|x≥a}[a,+∞)

{x|x>a}(a,+∞)

{x|x≤b}(-∞,b]

{x|x<b}(-∞,b)

R(-∞,+∞)

某物體從高度為19.6m的空中自由下落,物體下落的距離s(m)與所用時(shí)間t(s)的平

方成正比,這個(gè)規(guī)律用數(shù)學(xué)式子可以描述為s=

gt2,其中g(shù)取9.8m/s2.判斷第1~3題是否正確.1.函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2].

(√)2.函數(shù)的值域?yàn)閇0,+∞).

(

?)3.當(dāng)t=1時(shí),物體下落的距離是4.9m.

(√)4.函數(shù)的定義域和值域一定是無限集.

(

?)提示:函數(shù)的定義域和值域也可能是有限集,如f(x)=1.5.在函數(shù)的定義中,集合B是函數(shù)的值域.

(

?)提示:在函數(shù)的定義中,函數(shù)的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.6.區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法,任何數(shù)集都能用區(qū)間表示.

(

?)提示:不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示,如集合{0}就不能用區(qū)間表示.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.1|如何求函數(shù)的定義域1.已知函數(shù)解析式求定義域(1)如果函數(shù)解析式是整式,那么在沒有指明它的定義域的情況下,函數(shù)的定義域

是實(shí)數(shù)集R.(2)如果函數(shù)解析式含分式或0次冪,那么函數(shù)的定義域是使分母或底數(shù)不為零的

實(shí)數(shù)的集合.(3)如果函數(shù)解析式僅含偶次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或

等于零的實(shí)數(shù)的集合.(4)如果函數(shù)解析式是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部

分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合(即求各部分自變量取值集合的交集).(5)由實(shí)際背景確定的函數(shù),其定義域不僅要考慮解析式有意義,還要考慮自變量

的實(shí)際意義的制約.2.求抽象函數(shù)的定義域(1)求抽象函數(shù)的定義域,要明確以下幾點(diǎn):①函數(shù)f(x)的定義域是指x的取值范圍.②函數(shù)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍,而不是φ(x)的取值范圍.③f(t),f(φ(x)),f(h(x))三個(gè)函數(shù)中的t,φ(x),h(x)在對應(yīng)關(guān)系f下的取值范圍相同.(2)抽象函數(shù)定義域的求解方法:①已知f(x)的定義域?yàn)锳,求f(φ(x))的定義域,實(shí)質(zhì)是已知φ(x)的取值范圍為A,求x的

取值范圍.②已知f(φ(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域,實(shí)質(zhì)是已知x的取值范圍為B,求φ(x)的

取值范圍,此范圍就是f(x)的定義域.③已知f(φ(x))的定義域?yàn)镃,求f(g(x))的定義域,實(shí)質(zhì)是已知φ(x)中的x的取值范圍

為C,求出φ(x)的取值范圍D,再令g(x)的取值范圍為D,求出x的取值范圍,此范圍就是f(g(x))的定義域.求下列函數(shù)的定義域:(1)y=

;(2)y=

;(3)f(x)=

.解析

(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足

解得x>-2,且x≠-1.所以函數(shù)y=

的定義域?yàn)閧x|x>-2,且x≠-1}.(2)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足

解得x≤5,且x≠±3,所以函數(shù)y=

的定義域?yàn)閧x|x≤5,且x≠±3}.(3)要使函數(shù)f(x)有意義,自變量x的取值必須滿足

即

解得-1≤x<1.因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1).易錯(cuò)警示已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域要注意以下兩點(diǎn):(1)不可對解析式化簡變形,以免定義域發(fā)生變化.(2)定義域必須用集合或者區(qū)間表示,且用區(qū)間表示結(jié)果為幾部分的定義域時(shí),應(yīng)

該用并集符號“∪”連接.(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3],求函數(shù)f(2x+1)的定義域;(2)已知函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)閇1,3],求函數(shù)f(x)的定義域;(3)已知函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)閇1,3],求函數(shù)f(3x)的定義域;(4)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定義域.思路點(diǎn)撥根據(jù)抽象函數(shù)定義域的實(shí)質(zhì)列出不等式(組)求解,對于含參數(shù)的抽象函數(shù)要注意

分類討論.解析

(1)由題意知,函數(shù)f(2x+1)中2x+1的范圍與函數(shù)f(x)中x的范圍相同,∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],∴函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)閇0,1].(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇3,7].(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],∴3x∈[3,7],即x∈

,∴函數(shù)f(3x)的定義域?yàn)?/p>

.(4)依題意有

?

∵m>0,∴-m<0,1-m<1+m,但m與1-m的大小不確定,∴對m與1-m的大小分類討論.①若m=1-m,即m=

,則x=m=

;②若m<1-m,即m<

,則m≤x≤1-m;③若m>1-m,即m>

,則x不存在,與題意不符.綜上,0<m≤

,函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧x|m≤x≤1-m}.2|如何解決函數(shù)求值問題1.求函數(shù)值的方法(1)已知函數(shù)f(x)的解析式時(shí),只需用常數(shù)a替換解析式中的x并進(jìn)行計(jì)算,即得f(a)

的值.(2)已知函數(shù)f(x)與g(x)的解析式,求f(g(a))的值,應(yīng)遵循由內(nèi)到外的原則.注意:用來替換解析式中x的常數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值,否則求值無意義.2.已知函數(shù)值求自變量的對應(yīng)值的方法(1)已知函數(shù)f(x)的解析式時(shí),列方程f(x)=a,解出其中的x,即可得到函數(shù)值為a時(shí)x的值.(2)已知函數(shù)f(x)與g(x),求f(g(x))=a中的x的值,可以由內(nèi)到外,也可由外到內(nèi)進(jìn)行求解.已知函數(shù)f(x)=11+x(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f(g(3))的值;(3)若f(g(x))=14,求x的值.思路點(diǎn)撥本題是函數(shù)求值的問題,(1)(2)分別將自變量的值代入解析式中求解即可,(3)可以

由外到內(nèi),也可以由內(nèi)到外求解.解析

(1)f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6.(2)g(3)=32+2=11,∴f(g(3))=f(11)=11+11=22.(3)解法一:∵f(g(x))=14,∴11+g(x)=14,解得g(x)=3,∴x2+2=3,解得x=±1.解法二:f(g(x))=f(x2+2)=11+x2+2=13+x2,令13+x2=14,則x2=1,解得x=±1.3|如何求函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法1.觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù),可根據(jù)其解析式的結(jié)構(gòu)特征通過直接觀察得

到值域.2.圖象法:畫出函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”直觀得到函

數(shù)的值域.3.配方法:此方法是求“二次函數(shù)”值域的基本方法,即把函數(shù)式通過配方轉(zhuǎn)化成

能直接看出其值域的方法.4.分離常數(shù)法:此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”

的形式,便于求值域.5.換元法:對于一些無理函數(shù)(如y=ax±b±

),通過換元把它們轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù),間接求出原函數(shù)的值域,注意換元后新元的取值范圍.除此之外還有判別式法,反表示法等,解題時(shí)根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇并應(yīng)用.求下列函數(shù)的值域:(1)y=x2-4x+6,x∈[1,5];(2)y=

;(3)