正弦與余弦定理練習(xí)題及答案

-.z.國慶作業(yè)（一）正弦定理和余弦定理練習(xí)題一．選擇題1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則角B為()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不確定5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，則c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3)D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)8．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A.eq\r(6)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)二、填空題9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，則A＝________.10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.14．已知三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，則eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.15．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，則此三角形有________組解．17．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達(dá)C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點時，與燈塔A的距離是多少？（17題）三、簡答題18．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A、B及b、c.19．(2009年高考**卷)在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面積為15eq\r(3)，求邊b的長．21．已知△ABC的周長為eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求邊AB的長；(2)若△ABC的面積為eq\f(1,6)sinC，求角C的度數(shù)．23．在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．余弦定理練習(xí)題1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，則AC等于()A．6B．2eq\r(6)C．3eq\r(6)D．4eq\r(6)2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，則c等于()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\r(5)D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，則∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則∠B的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)5．在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，則acosB＋bcosA等于()A．a(chǎn)B．bC．cD．以上均不對6．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．由增加的長度決定7．已知銳角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面積為eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為()A．2B．－2C．4D．－48．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，則a為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3)D．29．已知△ABC的三個內(nèi)角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度數(shù)．11．已知a、b、c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則邊c的值為________．12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosA∶cosB∶cosC＝________.13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.14．已知△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為________．15．已知△ABC的三邊長分別是a、b、c，且面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，則角C＝________.16．(2011年**調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程*2－2eq\r(3)*＋2＝0的兩根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的長．18．已知△ABC的周長為eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求邊AB的長；(2)若△ABC的面積為eq\f(1,6)sinC，求角C的度數(shù)．19．在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，確定△ABC的形狀．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()A.eq\r(6)B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(6)解析：選A.應(yīng)用正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，求得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(6).2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D.eq\f(32,3)解析：選C.A＝45°，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝4eq\r(6).3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，則角B為()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對解析：選C.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不確定解析：選A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，則c＝()A．1B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：選A.C＝180°－105°－45°＝30°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\f(\r(2)×sin30°,sin45°)＝1.6．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：選D.∵eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2).7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)解析：選D.eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，求出sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵AB＞AC，∴∠C有兩解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA可求面積．8．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：選D.由正弦定理得eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).又∵C為銳角，則C＝30°，∴A＝30°，△ABC為等腰三角形，a＝c＝eq\r(2).9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，則A＝________.解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinA＝eq\f(a·sinC,c)＝eq\f(1,2).又∵a＜c，∴A＜C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)10．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)?sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4×\f(1,2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，a＝eq\f(12×sin30°,sin120°)＝4eq\r(3)，∴a＋c＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化簡，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),sin60°)＝12，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)×12×sin60°×c＝18eq\r(3)，∴c＝6.答案：12614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，則eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,sin30°)＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝eq\f(2RsinA－2sinB＋sinC,sinA－2sinB＋sinC)＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：依題意，sinC＝eq\f(2\r(2),3)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，解得b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)16．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，則此三角形有________組解．解析：∵bsinC＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)且c＝2，∴c<bsinC，∴此三角形無解．答案：017．如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角)為140°的方向航行，為了確定船位，船在B點觀測燈塔A的方位角為110°，航行半小時后船到達(dá)C點，觀測燈塔A的方位角是65°，則貨輪到達(dá)C點時，與燈塔A的距離是多少？解：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．即貨輪到達(dá)C點時，與燈塔A的距離是10eq\r(2)km.18．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A、B及b、c.解：由sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，得sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).由sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，得sinBsinC＝eq\f(1,2)[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，變形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝eq\f(π,6)，B＝C＝eq\f(5π,6)(舍去)，A＝π－(B＋C)＝eq\f(2π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝c＝aeq\f(sinB,sinA)＝2eq\r(3)×eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝2.故A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，b＝c＝2.19．(2009年高考**卷)在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B為銳角，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(3\r(10),10).又cos2A＝1－2sin2A＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，C＝eq\f(3π,4)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得eq\r(5)a＝eq\r(10)b＝eq\r(2)c，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(5)b.∵a－b＝eq\r(2)－1，∴eq\r(2)b－b＝eq\r(2)－1，∴b＝1.∴a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5).20．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面積為15eq\r(3)，求邊b的長．解：由S＝eq\f(1,2)absinC得，15eq\r(3)＝eq\f(1,2)×60eq\r(3)×sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.當(dāng)∠C＝30°時，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝60eq\r(3)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝2eq\r(15).當(dāng)∠C＝150°時，∠B＝150°(舍去)．故邊b的長為2eq\r(15).余弦定理1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，則AC等于()A．6 B．2eq\r(6)C．3eq\r(6) D．4eq\r(6)解析：選A.由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcosB)＝eq\r(42＋62－2×4×6×\f(1,3))＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，則c等于()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D．2解析：選B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(eq\r(3)－1)2－2×2×(eq\r(3)－1)cos30°＝2，∴c＝eq\r(2).3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，則∠A等于()A．60° B．45°C．120° D．150°解析：選D.cos∠A＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc,2bc)＝－eq\f(\r(3),2)，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則∠B的值為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：選D.由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，聯(lián)想到余弦定理，代入得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanB)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB).顯然∠B≠eq\f(π,2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).5．在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，則acosB＋bcosA等于()A．a(chǎn) B．bC．c D．以上均不對解析：選C.a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2c2,2c)＝c.6．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長度決定解析：選A.設(shè)三邊長分別為a，b，c且a2＋b2＝c2.設(shè)增加的長度為m，則c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均為銳角，即新三角形為銳角三角形．7．已知銳角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面積為eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為()A．2 B．－2C．4 D．－4解析：選A.S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×4×1×sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，又∵△ABC為銳角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4×1×eq\f(1,2)＝2.8．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，則a為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．2解析：選C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3eq\r(3)a，∴a2－3eq\r(3)a＋6＝0，解得a＝eq\r(3)或2eq\r(3).9．已知△ABC的三個內(nèi)角滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcosB)＝eq\r(1＋4－2×1×2×\f(1,2))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度數(shù)．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，∴a∶b∶c＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10).設(shè)a＝(eq\r(3)－1)k，b＝(eq\r(3)＋1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)，∴c邊最長，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a、b、c是△ABC的三邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，則邊c的值為________．解析：S＝eq\f(1,2)absinC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±eq\f(1,2)，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝eq\r(21)或eq\r(61).答案：eq\r(21)或eq\r(61)12．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，則cosA∶cosB∶cosC＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，設(shè)a＝2k(k＞0)，則b＝3k，c＝4k，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq\f(11,16)，同理可得：cosA＝eq\f(7,8)，cosC＝－eq\f(1,4)，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)·b·3eq\r(2)·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知△ABC的三邊長分別為AB＝7，BC＝5，AC＝6，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值為________．解析：在△ABC中，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(49＋25－36,2×7×5)＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝7×5×(－eq\f(19,35))＝－19.答案：－1915．已知△ABC的三邊長分別是a、b、c，且面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，則角C＝________.解析：eq\f(1,2)absinC＝S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)·eq\f(ab,2)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°16．(2011年**調(diào)研)三角形的三邊為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角為鈍角，則最小角的余弦值為________．解析：設(shè)三邊長為k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋k－12－k＋12＜0,k＋k－1＞k＋1))?2＜k＜4，∴k＝3，故三邊長分別為2,3,4，∴最小角的余弦值為eq\f(32＋42－22