安徽省蚌埠市2023屆高三下學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試(理)數(shù)學(xué)試題(解析版)

蚌埠市2023屆高三年級(jí)第二次教學(xué)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)〔理工類〕一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，那么〔〕A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算計(jì)算出后可得其模.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?yīng)選B.【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的四那么運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模，屬于根底題.2.集合，.假設(shè)，那么滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合為〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】就、分別討論，后者再利用得到相應(yīng)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合；當(dāng)時(shí)，，因，故或者，故或，綜上，，應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】集合中的包含關(guān)系，要考慮含參數(shù)的集合為空集〔或全集〕的特殊情況，此處分類的標(biāo)準(zhǔn)是所討論的集合何時(shí)為空集，不為空集時(shí)還要考慮集合中的元素是否是確定的，假設(shè)不確定，還要進(jìn)一步分類討論.3.兩個(gè)非零單位向量，的夾角為，那么以下結(jié)論不正確的是〔〕A.在方向上的投影為 B.C.， D.，使【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和投影的定義檢驗(yàn)各選項(xiàng)可得正確的結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，在方向上的投影為，故A正確；因?yàn)槭菃挝幌蛄?，故，故B正確；對(duì)于C，有，故C正確；對(duì)于D，，故不存在使得.綜上，選D.【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積的運(yùn)算滿足分配律即，但不滿足結(jié)合律，如一般情況下是不成立，另外，注意，其中為的夾角，其范圍為，從這個(gè)定義我們可以得到.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，那么〔〕A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,,聯(lián)立解得，那么，應(yīng)選B.5.函數(shù)，圖象大致為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng).由排除選項(xiàng).由，排除C選項(xiàng)，故本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于根底題.6.平面，，兩兩垂直，直線，，滿足：，，，那么直線，，的位置關(guān)系不可能是〔〕A.兩兩平行 B.兩兩垂直 C.兩兩相交 D.兩兩異面【答案】A【解析】【分析】在正方體中可找到實(shí)例滿足B、C、D，可用反證法證明A不成立.【詳解】如圖，在正方體，平面、平面、平面兩兩垂直，那么在這三個(gè)平面中，它們兩兩相交且兩兩垂直，故B,C正確.也在這三個(gè)平面中，它們彼此異面，故D正確；如以下圖所示，設(shè)，，.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)〔〕，過(guò)作，垂足分別為.因?yàn)椋?，平面，，故，因?yàn)?，所以，同理，因，故，同?假設(shè)兩兩平行，因，故或者，假設(shè)前者，因，那么，故，而，故，與矛盾；假設(shè)后者，那么，因，故，與矛盾.所以兩兩平行不成立，故A錯(cuò)，綜上，選A.【點(diǎn)睛】立體幾何中關(guān)于點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的命題的真假問題，可在正方體中考慮它們成立與否，因?yàn)檎襟w中涵蓋了點(diǎn)、線、面的所有位置關(guān)系，注意有時(shí)需要?jiǎng)討B(tài)地考慮位置關(guān)系.7.安徽某景區(qū)每半小時(shí)會(huì)有一趟纜車從山上發(fā)車到山下，某人下午在山上，準(zhǔn)備乘坐纜車下山，那么他等待時(shí)間不多于5分鐘的概率為〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意分析在何區(qū)間內(nèi)等待時(shí)間可以控制在5分鐘之內(nèi)，再由概率計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】此人在25分到30分或55分到60分之間的5分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于5分鐘，所以他等待時(shí)間不多于分鐘的概率為.應(yīng)選B【點(diǎn)睛】此題主要考查幾何概型，熟記公式即可求解，屬于根底題型.8.設(shè)，假設(shè)與的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)相等，那么〔〕A.4 B.-4 C.2 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式分別計(jì)算展開式中的常數(shù)項(xiàng)可得的大小.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令得到，故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.的展開式的通項(xiàng)公式為，令得到，故該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.因常數(shù)項(xiàng)相等，故，解得，應(yīng)選A.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的計(jì)算，通常利用通項(xiàng)公式來(lái)處理，此類問題為根底題.注意通項(xiàng)公式的特點(diǎn)〔指組合數(shù)的形式及其意義、各項(xiàng)的冪指數(shù)的形式與關(guān)系〕.9.函數(shù)，先將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的〔縱坐標(biāo)不變〕，再將得到的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么的最小值為〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式得到，再利用周期變換得到對(duì)應(yīng)的解析式為，結(jié)合該函數(shù)的對(duì)稱軸可得向右的最小平移，使得得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.【詳解】，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到的解析式為，考慮該函數(shù)在軸左側(cè)且最靠近軸的對(duì)稱軸，該對(duì)稱軸為，故只需把的圖像向右平移個(gè)單位，所得的函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)平移為最小平移.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換，注意周期變換和平移變換〔左右平移〕的次序?qū)瘮?shù)解析式的影響，比方，它可以由先向左平移個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，也可以先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再向左平移.另外，求最小平移時(shí)，可結(jié)合圖像的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心來(lái)得到最小平移的長(zhǎng)度.10.《九章算術(shù)》中描述的“羨除〞是一個(gè)五面體，其中有三個(gè)面是梯形，另兩個(gè)面是三角形.一個(gè)羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，那么該羨除的體積為〔〕A.20 B.24 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】畫出五面體的直觀圖，利用割補(bǔ)法求其體積.【詳解】五面體對(duì)應(yīng)的直觀圖為：由三視圖可得：，三個(gè)梯形均為等腰梯形且平面平面到底面的距離為，間的距離為.如以下圖所示，將五面體分割成三個(gè)幾何體，其中為體積相等的四棱錐，且，，那么棱柱為直棱柱，為直角三角形.又；，故五面體的體積為.應(yīng)選A.【點(diǎn)睛】此題考查三視圖，要求根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，注意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系．而不規(guī)那么幾何體的體積的計(jì)算，可將其分割成體積容易計(jì)算的規(guī)那么的幾何體.11.為拋物線的焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)在拋物線上，且，那么的最小值為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用焦半徑公式計(jì)算的橫坐標(biāo)后可得的坐標(biāo)，求出關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)后可得距離和的最小值.【詳解】不妨為第一象限中的點(diǎn)，設(shè)〔〕.由拋物線的方程得，那么，故，所以，關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，應(yīng)選D.【點(diǎn)睛】在坐標(biāo)平面中，定直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和的最小〔或距離差的最大值〕，常常利用對(duì)稱性把距離和的最值問題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問題來(lái)處理.12.定義在上的函數(shù)滿足，且，不等式有解，那么正實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用條件求出，再用參變別離法求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故，因，所以?不等式有解可化為即在有解.令，那么，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；故，所以，應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】不等式的恒成立問題，應(yīng)優(yōu)先考慮參變別離的方法，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值〔或最值的范圍〕問題來(lái)處理，有時(shí)新函數(shù)的最值點(diǎn)〔極值點(diǎn)〕不易求得，可摘用設(shè)而不求的思想方法，利用最值點(diǎn)〔極值點(diǎn)〕滿足的等式化簡(jiǎn)函數(shù)的最值可以求得相應(yīng)的最值范圍．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.實(shí)數(shù)，滿足，那么目標(biāo)函數(shù)的最大值為__________．【答案】16【解析】【分析】畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線可得目標(biāo)函數(shù)的最大值．【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如下圖：當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值．又由可得，故的最大值為，填．【點(diǎn)睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題，常通過(guò)線性規(guī)劃來(lái)求最值，求最值時(shí)往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比方表示動(dòng)直線的橫截距的三倍，而那么表示動(dòng)點(diǎn)與的連線的斜率．14.，，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，那么________〔用具體數(shù)字作答〕.【答案】1533【解析】【分析】算出后利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.【詳解】，為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故.填.【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，那么用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，那么用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，那么用并項(xiàng)求和法.15.設(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，且原點(diǎn)到直線的距離等于雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，那么該雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)為，連接，利用條件可得且為直角三角形，從而，故可得所求的離心率．【詳解】設(shè)，那么，故．取的中點(diǎn)為，連接，那么，故是到距離的兩倍，所以，在中，有，所以，兩邊平方有即，所以，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，那么需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．16.正三棱錐中，，點(diǎn)在棱上，且.正三棱錐的外接球?yàn)榍颍^(guò)點(diǎn)作球的截面，截球所得截面面積的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】通過(guò)補(bǔ)體可得球的直徑及，平面截球的截面面積最小時(shí)，應(yīng)有平面，從而可計(jì)算截面圓的半徑從而得到其面積的大?。驹斀狻恳?yàn)?，所以，所以，同理，故可把正三棱錐補(bǔ)成正方體〔如下圖〕，其外接球即為球，直徑為正方體的體對(duì)角線，故，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，那么且，所以，當(dāng)平面時(shí)，平面截球的截面面積最小，此時(shí)截面為圓面，其半徑為，故截面的面積為．填．【點(diǎn)睛】如果三棱錐中，兩兩垂直，那么我們可以把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，這樣三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，且外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線．三、解答題：共70分。解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.如圖，等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且，.〔1〕求；〔2〕求.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用兩角和的正切公式得到，結(jié)合角的范圍可得，在利用正弦定理可計(jì)算.〔2〕在中，利用余弦定理可計(jì)算，最后根據(jù)勾股定理得到.【詳解】〔1〕由條件及兩角和的正切公式得：，而，所以，那么，∵，∴.在中，由正弦定理知：，即.〔2〕由〔1〕知，，而在等腰直角三角形中，，，所以，那么.在中，由余弦定理，，∴，∵，∴.【點(diǎn)睛】三角形中共有七個(gè)幾何量〔三邊三角以及外接圓的半徑〕，一般地，知道其中的三個(gè)量〔除三個(gè)角外〕，可以求得其余的四個(gè)量.〔1〕如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；〔2〕如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三條邊〕；〔3〕如果知道兩角及一邊，用正弦定理.18.如下圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)為中點(diǎn)，現(xiàn)以線段為折痕將菱形折起使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置且平面平面，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn).〔1〕求證：平面平面；〔2〕求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用為中位線可得，從而得到平面，我們可證四邊形為平行四邊形，從而，故平面，利用面面的判定定理可得平面平面.〔2〕建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可計(jì)算銳二面角的余弦值.【詳解】〔1〕菱形中，，分別為，的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，那么，又平面，所以平面.又點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，那么，平面，所以平面.而點(diǎn)，所以平面平面.〔2〕菱形中，，那么為正三角形，∴，，.折疊后，，又平面平面，平面平面，從而平面.∵，∴，，三條線兩兩垂直，以，，的方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，設(shè)平面的法向量為，那么，即，令，得，，∴.∵平面的一個(gè)法向量，∴.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，那么.【點(diǎn)睛】面面平行證明的關(guān)鍵是在一個(gè)平面中找到兩條相交直線，它們都平行于另外一個(gè)平面，而線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.19.，，且的周長(zhǎng)為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.直線：與曲線交于不同兩點(diǎn)，.〔1〕求曲線的方程；〔2〕是否存在直線使得？假設(shè)存在，求出直線的方程，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.【答案】〔1〕〔2〕不存在【解析】【分析】〔1〕利用橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡為橢圓〔除了左右兩個(gè)頂點(diǎn)〕且，，從而可得軌跡的方程.〔2〕假設(shè)直線存在，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用韋達(dá)定理可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的中垂線的方程為，因其過(guò)，故可得，但因與橢圓相交，故有，因此有，故直線不存在.【詳解】〔1〕由題意知，可得曲線的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，根據(jù)題設(shè)可知，，故橢圓方程為：.〔2〕假設(shè)直線存在，聯(lián)立得：，由，得：①設(shè)的中點(diǎn)為，由韋達(dá)定理可知點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，∴的垂直平分線方程為：.假設(shè)過(guò)，把代入得：②聯(lián)立①②，消去可得，，此方程無(wú)解，∴不存在.故這樣的直線不存在.【點(diǎn)睛】求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是根本量確實(shí)定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.圓錐曲線中的對(duì)稱問題，要撓住中點(diǎn)和垂直兩個(gè)幾何特征，通過(guò)聯(lián)立直線方程和橢圓方程后再利用韋達(dá)定理得到參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合判別式得到的不等式可探求參數(shù)存在與否或探求它們相應(yīng)的范圍.20.隨著網(wǎng)上購(gòu)物的普及，傳統(tǒng)的實(shí)體店遭受到了強(qiáng)烈的沖擊，某商場(chǎng)實(shí)體店近九年來(lái)的純利潤(rùn)如下表所示：年份202320232023202320232023202320232023時(shí)間代號(hào)123456789實(shí)體店純利潤(rùn)〔千萬(wàn)〕22.32.52.932.52.11.71.2根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.254；根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.985；〔1〕如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該商場(chǎng)2023年實(shí)體店純利潤(rùn)，現(xiàn)有兩個(gè)方案：方案一：選取這9年的數(shù)據(jù)，進(jìn)行預(yù)測(cè)；方案二：選取后5年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).從生活實(shí)際背景以及相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺得哪個(gè)方案更適宜.附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：小概率0.050.0130.8780.95970.6660.798〔2〕某機(jī)構(gòu)調(diào)研了大量已經(jīng)開店的店主，據(jù)統(tǒng)計(jì)，只開網(wǎng)店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的，既開網(wǎng)店又開實(shí)體店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)以此調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，假設(shè)從上述統(tǒng)計(jì)的店主中隨機(jī)抽查了5位，求只開實(shí)體店的人數(shù)的分布列及期望.【答案】〔1〕選取方案二更適宜〔2〕，分布列見解析【解析】【分析】〔1〕根據(jù)表中數(shù)據(jù)的特征及相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大小可判斷方案二更適宜.〔2〕設(shè)只開實(shí)體店的店主人數(shù)為，那么服從二項(xiàng)分布，利用公式可得分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】〔1〕選取方案二更適宜，理由如下：①中介紹了，隨著網(wǎng)購(gòu)的普及，實(shí)體店生意受到了強(qiáng)烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)可以看出從2023年開始，純利潤(rùn)呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì)，可以預(yù)見，2023年的實(shí)體店純利潤(rùn)收入可能會(huì)接著下跌，前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù).②相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，我們沒有理由認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值，所以有的把握認(rèn)為與具有線性相關(guān)關(guān)系.〔僅用①解釋得3分，僅用②解釋或者用①②解釋得6分〕〔2〕此調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，從上述統(tǒng)計(jì)的店主中隨機(jī)抽查了1位，開網(wǎng)店的概率為，只開實(shí)體店的概率為，設(shè)只開實(shí)體店的店主人數(shù)為，那么，，，，，，，所以，的分布列如下：012345∴，故.【點(diǎn)睛】〔1〕相關(guān)系數(shù)越接近1，線性相關(guān)性越強(qiáng)；〔2〕在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見的概率分布列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算〔如二項(xiàng)分布、超幾何分布等〕．21.〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值的值域.【答案】〔1〕見解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕求出，分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.〔2〕求出且對(duì)其化簡(jiǎn)后可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用(1)的結(jié)論可知該函數(shù)為上的增函數(shù)且其值域?yàn)?，因此在有唯一的零點(diǎn)即有唯一的極小值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷，而也就是，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)為上的增函數(shù)，從而得到其值域.【詳解】〔1〕證明：的定義域?yàn)椋?假設(shè)，那么時(shí)，，假設(shè)，那么時(shí)，，時(shí)，.綜上：①當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，在，和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.〔2〕，.由〔1〕知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，∴存在唯一的，使得，∵，∴，而，，?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增.故.記，在時(shí)，，且當(dāng)且僅當(dāng).∴單調(diào)遞增，且，，∴，即的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】一般地，假設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，那么在上為單調(diào)增〔減〕函數(shù)；反之，假設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增〔減〕函數(shù)，那么．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)的極值點(diǎn)〔