高中數(shù)學平面向量實際背景基本概念教案新人教版必修4新人教版高中必修4數(shù)學教案

第二章平面向量本章教材剖析1．豐富多彩的背景,令人著迷的內容.教材第一從力、位移等量講清向量的實質背景以及研究向量的必需性,接著介紹了平面向量的有關知識.學生將認識向量豐富的實質背景,理解平面向量及其運算的意義,能用向量語言與方法表述和解決數(shù)學、物理中的一些問題,發(fā)展運算能力和解決實質問題的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎,從學生熟知的功的看法出發(fā),引出了平面向量數(shù)目積的看法及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)目積的性質、運算律及坐標表示.向量數(shù)目積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來,這樣為解決有關的幾何問題供給了方便,特別能有效地解決線段的垂直問題.最后介紹了平面向量的應用.2．教課的最正確契機,嶄新的思想視角.向量擁有幾何形式和代數(shù)形式的“兩重身份”,這一看法是由物理學和工程技術抽象出來的.反過來,向量的理論和方法,又成為解決物理學和工程技術的重要工具,向量之所以有用,要點是它擁有一套優(yōu)秀的運算性質,經(jīng)過向量可把空間圖形的性質轉變?yōu)橄蛄康倪\算,這樣經(jīng)過向量就能較簡單地研究空間的直線和平面的各樣有關問題.這一章的內容固然看法多,但多數(shù)有其物理上的根源,固然抽象,卻與圖形有著親密的聯(lián)系,向量應用的優(yōu)勝性也是特別明顯的.嶄新的思想視角,適合的教與學,使得向量不單生動風趣,并且是培育學生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機.3．本章充分表現(xiàn)出新教材特色.以學生已有的物理知識和幾何內容為背景,直觀介紹向量的內容,著重向量運算與數(shù)的運算的對照,特別注意知識的發(fā)生過程.對看法、法例、公式、定理等的辦理主要經(jīng)過察看、比較、剖析、綜合、抽象、歸納得出結論.這一章中的一些例題,教科書不是先給出解法,而是先進行剖析,研究出解題思路,再給出解法.解題后有的還總結出解決該題時運用的數(shù)學思想和數(shù)學方法,有的還讓學生進一步考慮有關的問題.對知識的辦理,都盡量設計成讓學生自己察看、比較、猜想、剖析、歸納、類比、想象、抽象、歸納的形式,從而培育學生的思想能力.向量的坐標其實是把點與數(shù)聯(lián)系起來,從而可把曲線與方程聯(lián)系起來,這樣便可用代數(shù)方程研究幾何問題,同時也能夠用幾何的看法辦理某些代數(shù)問題.本章教課約需12課時,詳細分派以下,僅供參照.標題課時2.1平面向量的實質背景及基本看法1課時2.2向量的線性運算3課時2.3平面向量的基本定理及坐標表示2課時2.4平面向量的數(shù)目積2課時2.5平面向量的應用舉例2課時本章復習2課時§2.1平面向量的實質背景及基本看法一、教課剖析本節(jié)是本章的入門課,看法許多,但難度不大.學生可依據(jù)原有的位移、力等物理看法來學習向量的看法,聯(lián)合圖形實物劃分平行向量、相等向量、共線向量等看法.因為向量根源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特色,所以它在物理和幾何中擁有寬泛的應用,可經(jīng)過幾個詳細的例子說明它的應用.位移是物理中的基本量之一,也是幾何研究的重要對象.幾何中常用點表示地點,研究如何由一點的地點確立此外一點的地點.位移簡潔地表示了點的地點之間的相對關系,它是向量的重要的物理模型.力是常有的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其余力,讓學生舉出物理學中力的其余一些實例,目的是要成立物理課中學過的位移、力及矢量等看法與向量之間的聯(lián)系,以此更為自然地引入向量概念,并成立學習向量的認知基礎.二、教課目的1、知識與技術：認識向量的實質背景，理解平面向量的看法和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等看法；并會劃分平行向量、相等向量和共線向量。2、過程與方法：經(jīng)過對向量的學習，使學生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)目的實質差別。3、感情態(tài)度與價值觀：經(jīng)過學生對向量與數(shù)目的辨別能力的訓練，培育學生認識客觀事物的數(shù)學實質的能力。三、要點難點教課要點:理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的看法,會表示向量.教課難點:平行向量、相等向量和共線向量的差別和聯(lián)系.四、教課假想：（一）導入新課思路1.(情境導入)如圖1,在同一時刻,老鼠由A向西北方向的C處逃跑,貓在B處向正東方向的D處追去,貓可否追到老鼠呢？學生立刻得出結論:追不上,貓的速度再快也沒用,因為方向錯了.教師合時設問:如何從數(shù)學的角度來揭露這個問題的實質？由此睜開新課.圖1思路2.兩列火車先后從同一站臺沿相反方向開出,各走了相同的行程,如何用數(shù)學式子表示這兩列火車的位移？從中國象棋中規(guī)定“馬”走日,象走“田”,讓學生在圖上畫出馬、象走過的路線引入也是一個不錯的選擇.（二）推動新課、新知研究、提出問題①在物理課中,我們學過力的看法.請回首一下力的三因素是什么？還有哪些量和力擁有相同特色呢?這些量的共同特色是什么？如何利用你所學的數(shù)學中的知識抽象這些擁有共同特色的量呢？②新的看法是對這些擁有共同特色的量的描繪,應如何定義這樣的量呢？③數(shù)目與向量的差別在哪里？活動:教師指導學生閱讀教材,思慮議論并解決上述問題,學生議論列舉與位移相同的一些量.物體遇到的重力是豎直向下的,物體的質量越大,它遇到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它遇到的浮力就越大；速度與加快度都是既有大小,又有方向的量；物理中的動量與矢量都有方向,且有大小；物理學中存在著很多既有大小,又有方向的量.教師指引學生察看思慮這些量的共同特色,我們可否在數(shù)學學科中對這些量加以抽象,形成一種新的量.至此機遇成熟,引入向量,并把那些只有大小,沒有方向的量,如年紀、身高、長度、面積、體積、質量等稱為數(shù)目,物理學上稱為標量.明顯數(shù)目和向量的差別就在于方向問題.議論結果:①略.②我們把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中稱為矢量.③略.提出問題①如何表示向量?②有向線段和線段有何差別和聯(lián)系？分別能夠表示向量的什么?③長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量?④知足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎?⑤有一組向量,它們的方向相同或相反,這組向量有什么關系？如何定義平行向量?⑥假如把一組平行向量的起點所有移到一點O,它們能否是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系?⑦數(shù)目與向量有什么差別?⑧數(shù)學中的向量與物理中的力有什么差別?活動:教師指導學生閱讀教材,經(jīng)過閱讀教材思慮議論以上問題.特別是有向線段,是學習向量的要點.但不可以說“向量就是有向線段,有向線段就是向量”,有向線段不過向量的一種幾何表示,兩者有實質的差別.向量只由方向和大小決定,而與向量的起點的地點沒關,但有向線段不單與方向、長度有關,也與起點的地點有關.如圖2,在線段AB的兩個端點中,規(guī)定一個次序,假定A為起點、B為終點,我們就說線段AB擁有方向,擁有方向的線段叫做有向線段,往常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、B為終點的有向線段記作AB.起點要寫在終點的前面.已知AB,線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度,記作|AB|.有向線段包括三個因素:起點、方向、長度.圖2知道了有向線段的起點、方向和長度用有向線段表示向量的方法是:

,它的終點就獨一確立

.1°起點是

A,終點是

B的有向線段

,對應的向量記作

:AB.這里要提示學生注意

AB

的方向是由點

A指向點

B,點

A是向量的起點

.2°用字母

a,b,c,表示

.(

必定要學生規(guī)范書寫

:印刷用黑體

a,書寫用

)3°向量

AB

(或

a)的大小,就是向量

AB

(或

a)的長度(或稱模

),

記作|

AB

|(

或|a|).教師要注意指引學生將數(shù)目與向量的模進行比較,數(shù)目有大小而沒有方向負和0之分,可進行運算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也能夠比較大小能比較大小,像a＞b就沒存心義,而|a|>|b|存心義.議論結果:①向量也可用字母a,b,c,表示(印刷用粗黑體表示),手寫用

,其大小有正、.因為方向不a→來表示,或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示

,如

AB

、CD

.注意:手寫體上邊的箭頭必定不可以漏寫.②有向線段:擁有方向的線段就叫做有向線段,其有三個因素:起點、方向、長度.向量與有向線段的差別:向量只有大小和方向兩個因素,與起點沒關,只需大小和方向相同,則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向三個因素,起點不一樣,只管大小和方向相同,也是不一樣的有向線段.圖3③長度為0的向量叫零向量,長度為1個單位長度的向量,叫單位向量.但要注意,零向量、單位向量的定義都不過限制了大小.長度為0的向量叫做零向量,記作0,規(guī)定零向量的方向是隨意的.長度等于1個單位的向量,叫做單位向量.④長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定義的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我們規(guī)定0與任一直量平行即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完好定義；向量a,b,c平行,記作a∥b∥c.如圖3.又如圖

4,a,b,c

是一組平行向量

圖4,任作一條與

a所在直線

0平行的直線

l,

在l

上任取一點O,則可在

l上分別作出

OA

＝a,

OB

=b,

OC

=c.

這就是說

,任一組平行向量都能夠挪動到同向來線上,所以,平行向量也叫做共線向量.說明:平行向量能夠在同向來線上,要差別于兩平行線的地點關系.⑥是共線向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共線向量,這是因為任一組平行向量都可移到同向來線上(與有向線段的起點沒關).平行向量能夠在同向來線上,要差別于兩平行線的地點關系；共線向量能夠相互平行,要差別于在同向來線上的線段的地點關系.⑦數(shù)目只有大小,是一個代數(shù)目,能夠進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向、大小兩重性質,不可以比較大小.⑧力有大小、方向、作用點三個因素,而數(shù)學中的向量是由物理中的力抽象出來的,只有大小與方向兩個因素,與起點的地點沒關.（三）應用示例例1如圖5,試依據(jù)圖中的比率尺以及三地的地點,在圖中分別用有向線段表示A地至B、C兩地的位移.(精準到1km)圖5剖析:本例是一個簡單的實質問題,要求畫出有向線段表示位移,目的在于穩(wěn)固向量看法及其幾何表示.解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232km;(AB長度×8000000÷100000)表示

A地至

C地的位移

,且|

|

≈296km.(AC

長度×

8000000

÷100000)評論:地點是幾何學研究的重要內容之一置確立此外一點的地點.如圖5,由A點確立

,幾何中常用點表示地點B點、C點的地點.

,研究如何由一點的位變式訓練一個人從A點出發(fā)沿東北方向走了100m抵達B點,而后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100m抵達C點,求這人從C點走回A點的位移.圖6解:依據(jù)題意畫出表示圖,如圖6所示.|AB|=100m,|BC|=100m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC為正三角形.∴|CA|=100m,即這人從C點返回A點所走的行程為100m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即這人行走的方向為西偏北15°.故這人從C點走回A點的位移為沿西偏北15°方向100m.圖7例2判斷以下命題能否正確,若不正確,請簡述原因.ABCD中,AB與CD是共線向量;單位向量都相等.活動:教師指引學生畫出平行四邊形,如圖7.因為

AB//CD,所以

AB∥CD

.因為上邊已經(jīng)明確

,單位向量只限制了大小

,方向不確立

,所以單位向量不必定相等解:(1)正確;

,即單位向量模均相等且為

1,但方向不確立

.(2)不正確

.評論:此題考察基本看法,關于單位向量、平行向量的看法特色及相互關系一定掌握好.圖8例3如圖8,設O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫出圖中所示向量與OA、OB、OC、相等的量.活動:本例是聯(lián)合正六邊形的一些幾何性質六邊形是邊長等于半徑并且對邊相互平行的正多邊形

,讓學生穩(wěn)固相等向量和平行向量的看法,正,它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,擁有豐富的幾何性質

.教科書中要求判斷

OA

與EF

,OB

與

AF

能否相等

,是要經(jīng)過長度相等方向相反的兩個向量的不等

,讓學生從反面認識向量相等的看法

.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.評論:向量相等是一個重要的看法大小相等,還要方向相同.變式訓練

,此后常常用到

.讓學生在訓練中明確

,向量相等不單本例變式一

:與向量

OA長度相等的向量有多少個？

(11

個)本例變式二

:能否存在與向量

OA長度相等、方向相反的向量？

(存在)例4以下命題正確的選項是()a與b共線,b與c共線,則a與c也共線隨意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四極點向量a與b不共線,則a與b都是非零向量有相同起點的兩個非零向量不平行活動:因為零向量與任一直量都共線,所以A不正確.因為數(shù)學中研究的向量是自由向量所以兩個相等的非零向量能夠在同向來線上,而此時就構不行四邊形,根本不行能是一個平行四邊形的四個極點,所以B不正確.向量的平行只需方向相同或相反即可,與起點能否相同沒關,所以D不正確.關于C,其條件以否認形式給出,所以可從其逆否命題來下手考慮,倘若a與b不都是非零向量,即a與b起碼有一