北師大版八年級(jí)上冊(cè)實(shí)數(shù)和二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固講義

《實(shí)數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】數(shù)的開才方根實(shí)數(shù)立方根依次方根實(shí)數(shù)的性質(zhì)實(shí)數(shù)的分類[實(shí)數(shù)的運(yùn)算定義求法「強(qiáng)質(zhì)定義 一而=同Jab-Ja■而

5mo,匕》0)一同類二次根式有理數(shù)無(wú)理數(shù)L二次報(bào)式除法分降行理化二次根式卻減晨|—-一次根式的L餐與反【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和立方根一、一一、類型項(xiàng)目“一一、_平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示±0a3a性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論(x，a)2=a(a>0)；— (a(a>0)aa2=a=<［一a(a<0)(3a)3=ai 3a3=a3—a二-3a要點(diǎn)二、無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類I I正有理數(shù)］有理數(shù)I零 ;有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)I 〔負(fù)有理數(shù)J無(wú)理數(shù)正無(wú)理數(shù)］

無(wú)理數(shù)正無(wú)理數(shù)］

負(fù)無(wú)理數(shù)1無(wú)限不循環(huán)小數(shù)要點(diǎn)詮釋：(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).(2)無(wú)理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如%:'5，32等；②有特殊意義的數(shù)，如n；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001?(3)凡能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，并且無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式：(1)任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|a|三0；(2)任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即a2三0；(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即'a>0(a>0).非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：(1)非負(fù)數(shù)有最小值零；(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0..實(shí)數(shù)的運(yùn)算數(shù)a的相反數(shù)是一a；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.實(shí)數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而??；法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法

要點(diǎn)三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì).二次根式形如*/（a>0）的式子叫做二次根式，如、/3,.2,V0.02,v0等式子，都叫做二次根式.式子aa才是二次根式，要點(diǎn)詮釋：二次根式、；a有意義的條件是a>0，即只有被開方數(shù)a>式子aa才是二次根式，0a才有意義..二次根式的性質(zhì)（1）人之。（〃之；(2)=0g2o)；（3）(2)=0g2o)；（3）值'=g|二，a(a>0)一口(4七口).如2=如2=(<2)2；Ja=(%a)2 (a>0)，aa2一定有意義.要點(diǎn)詮釋：（1）一個(gè)非負(fù)數(shù)a可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即；1 一一=（\：3）2；X=?x）2（x>0）.右中a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，（3）化簡(jiǎn)而時(shí)，先將它化成|a|，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）右與G.a）2的異同不同點(diǎn)：、a中a可以取任何實(shí)數(shù)，而（%a）2中的a必須取非負(fù)數(shù)；aa2=a，（n）2=a（a>0）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)a取非負(fù)數(shù)時(shí)，、、a=（%a）2..最簡(jiǎn)二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2）被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式如J2,4ab,3或,\；a2+b2等都是最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2..同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如.2與<8，由于屈=2；2，J2與尿顯然是同類二次根式.

要點(diǎn)四、二次根式的運(yùn)算.乘除法(1)乘除法法則：類型 法則 逆用法則_ _ _ 積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的乘法 而八b二'即"0b"0)標(biāo)=而八b(a>0,b>0)商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式:二次根式的除法(a>二次根式的除法(a>0,b>0)要點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘(或相除)的法則，如a7b?c《d=ac^bd.(2)被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)(在分母上時(shí)只能為正數(shù)).如%：(—4)x(—9)豐<—4x>,1—9..加減法將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如。'2+3<2—5二=(1+3—5)<2=-五.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問題1、已知J1、已知J=-+J3—x+12x—3，求x2y的值.02、（2016春南昌期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足〈加-16+設(shè)-2y+4|二。，求2x-里y的立方根.3類型二、與實(shí)數(shù)有關(guān)的問題4^、已知a是<10的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，求（-a>+（b+3>的值.舉一反三：【變式】已知5+五1的小數(shù)部分為a,5-節(jié)的小數(shù)部分為b，則a+b的值是 a-b的值是.4、閱讀理解，回答問題.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，有時(shí)會(huì)遇到比較兩數(shù)大小的問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論特征，采用相應(yīng)辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法：若a-b>0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若a-b<0,則a<b.例如：在比較m2+1與m2的大小時(shí)，小東同學(xué)的作法是:,/(m2+1)—(m2)=m2+1-m2=1m2+1>m2請(qǐng)你參考小東同學(xué)的作法，比較4<3與（2+\；3）2的大小.舉一反三：… …… , 1 【變式】實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a,—a，一,a2的大小關(guān)系是：；a < >-1a0類型三、實(shí)數(shù)綜合應(yīng)用5、閱讀材料:學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算，13的近似值.小明的方法：???<9<<13<<16，設(shè)<13=3+k(0<k<1)..??(43)2:(3+k)2.4 T-T-c4c/r.,.13=9+6k+k2,a13~9+6k,解得k氏一..,.<13氏3+—氏3.67.6 6問題：(1)請(qǐng)你依照小明的方法，估算、-,'41的近似值；(2)請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算記的公式：已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a<而<a+1,且m=a2+b，則