2009年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(含答案)

2009年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷(含答案)LtDPAGEPAGE42009年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共計(jì)50分）1.已知集合，，則＝（A）。A．B．C．D．空集解：由于，所以。答案為A。2.已知橢圓上一點(diǎn)P到點(diǎn)（4,0）距離等于4，則P點(diǎn)到直線的距離為（C）。A．4B．6C．D．解：因?yàn)椋瑒t。于是P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于。由于直線為橢圓的左準(zhǔn)線方程，則P到直線的距離為。答案為C。3.等差數(shù)列中，，，則部分和中最大的是（C）A．B．C．D．解：由題意知，。所以是單調(diào)遞減數(shù)列。又。由此可得當(dāng)時(shí)，最大。A．1B．C．D．解：答案為C。10.問下述計(jì)算機(jī)程序的打印結(jié)果為（D）A．B．C．D．開始是開始是輸出否打印解：答案為D。二、填空題（本大題共7小題，每小題7分，共計(jì)49分）11.－8。解：由于，所以。12．直線與函數(shù)的圖像至少有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為。解：通過作圖可知，實(shí)數(shù)b的取值范圍為。13．對任意正整數(shù)n，數(shù)列滿足，則。解：由題意得，。于是。所以14．已知，則。解：。15．實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為。解：。由此可得，其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。16．在邊長為1的正方體中，分別為，上的點(diǎn)，且，則四邊形的面積最小值為。解：由題意，可得當(dāng)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積可取到最小值。17．設(shè)，則自然數(shù)x，y，z的乘積能被10整除的情形有72種。解：（1）x，y，z的取法有種；（2）x，y，z不取2，4，6的取法有種；（3）x，y，z不取5的取法有種；（4）x，y，z不取2，4，5，6的取法有種。由容斥原理得，x，y，z的乘積能被10整除的情形有＝72。三、解答題（本大題共3小題，每小題17分，共計(jì)51分）18．三棱錐S-ABC中，SA平面ABC，，。求SC與平面ABC所成夾角的正弦值；求B到平面ASC的距離；求平面SBC與SAC所成銳二面角的大小。解：在平面ABC上，過A作。以A為原點(diǎn)，以向量AB，AD，AS的方向分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。于是有，，，。因?yàn)镾A平面ABC，所以SC與平面ABC所成夾角就是。在直角△SAC中，，于是。（5分）設(shè)平面ASC的法向量為，則且，而，所以，從而有。于是B到平面ASC的距離為。（11分）設(shè)平面SBC的法向量為，則且，而，所以，從而有。設(shè)平面SBC與SAC所成銳二面角為，則，即。（17分）已知拋物線（）上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。（1）求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程C；（2）若在C上的點(diǎn)到直線的距離為d，求d的最小值。解：設(shè)，，則。又因?yàn)椋?。從而有，即有。?分）（1）設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則。于是有，即為該中點(diǎn)的軌跡方程。（11分）（2）。當(dāng)時(shí)，，。（17分）設(shè)函數(shù)，其中，b為任意常數(shù)。證明：當(dāng)時(shí)，有。證：已知，所以為其極小值點(diǎn)，此時(shí)，而.（7分）1）；此時(shí)有.(i)當(dāng)時(shí)，；（此不等式顯然成立）于是有。(ii)當(dāng)時(shí)，；此時(shí)同樣有。于是有。(iii)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)考慮于是有。（12分）2)；此時(shí)有。由于，所以。于是有。3）；此時(shí)有。由于，所以。于是有。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。綜合1），2），3），有當(dāng)時(shí)，有。（17分）四、附加題（本大題共2小題，每小題25分，共計(jì)50分）注：附加題每題的得分只能是：0，5，10，15，20，25，即5分為一個(gè)檔次。21．設(shè)（）且。試求，并證明之。解:由于。（5分）令，則對任意，有。即有，（10分）從而有。由于，所以。（15分）上式等號(hào)成立的充要條件是，即。因此。（25分）評分標(biāo)準(zhǔn)：求出最小值得5分；中間過程20分。22．用一個(gè)數(shù)列取遍走遍復(fù)平面上所有整點(diǎn)：令，，然后按逆時(shí)針方向逐格前進(jìn)。再令，其中i為虛數(shù)單位。求的最簡潔的統(tǒng)一表達(dá)式。k+1個(gè)k+1個(gè)解：由于，所以應(yīng)是模4的同余式。為了尋找規(guī)律，我們首先去求k+1個(gè)k+1個(gè)的表達(dá)式。