2022-2023學(xué)年山東省淄博五中八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）

2022-2023學(xué)年山東省淄博五中八年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、單選題（每題4分，共40分）1．已知，多項(xiàng)式x2﹣mx+n可因式分解為（x+3）（x﹣4），則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．72．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．63．在共有11人參加的演講比賽中，參賽選手的成績(jī)各不相同，因此選手要想知道自己是否進(jìn)入前六名，只需了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差4．已知關(guān)于x的分式方程﹣3＝的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣6 B．k＞﹣2 C．k＞﹣6且k≠﹣2 D．k≥﹣6且k≠﹣25．如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．72°6．式子n2﹣1與n2+n的公因式是（）A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣17．如圖，△ABC繞點(diǎn)A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)48°，得到△ADE，點(diǎn)E落在BC邊上，連接BD，當(dāng)BD⊥BC時(shí)，∠ABC的度數(shù)為（）A．24° B．42° C．48° D．66°8．如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去2022，那么所得的一組新數(shù)據(jù)（）A．平均數(shù)不變 B．中位數(shù)不變 C．眾數(shù)不變 D．方差不變9．已知＝7，則的值是（）A． B．2 C． D．10．如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共20分）11．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的方差是4，則3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的標(biāo)準(zhǔn)差為．12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．13．如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE（點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），連接BD．當(dāng)點(diǎn)E落在直線AB上時(shí)，線段BD的長(zhǎng)為．15．當(dāng)x＝時(shí)，分式的值為零．三、解答題16．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．17．已知關(guān)于x的分式方程的解滿足﹣4＜x＜﹣1，且k為整數(shù)，求符合條件的所有k值的和．18．某校招聘一名數(shù)學(xué)老師，對(duì)應(yīng)聘者分別進(jìn)行了教學(xué)能力、教研能力和組織能力三項(xiàng)測(cè)試，并按教學(xué)能力占70%，教研能力占20%，組織能力占10%，計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，作為最后評(píng)定的總成績(jī)．王偉和李婷都應(yīng)聘了該崗位，經(jīng)計(jì)算，王偉的最后評(píng)定總成績(jī)?yōu)?7.8分，已知李婷的教學(xué)能力、教研能力和組織能力三項(xiàng)成績(jī)依次為88分、84分、86分．若該校要在李婷和王偉兩人中錄用一人，誰(shuí)將被錄用？19．甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，騎自行車前往距離學(xué)校20千米的郊野公園．已知甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)速度的2倍，甲同學(xué)在路上因事耽擱了30分鐘，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)公園．問(wèn)：甲、乙兩位同學(xué)平均每小時(shí)各騎行多少千米？20．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度數(shù)．21．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．22．（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P．①求證：BD⊥CE．②連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（2）將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明．23．如圖1，△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝CE．（2）如圖2，過(guò)C作CF∥AB交DE延長(zhǎng)線于F，G為AE上一點(diǎn)，AG＝BD，連接DG、FG．求證：DG＝FG．（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠A＝45°，∠DGC＝∠B，EG＝2，求AB的長(zhǎng)．

參考答案一、單選題（每題4分，共40分）1．已知，多項(xiàng)式x2﹣mx+n可因式分解為（x+3）（x﹣4），則m的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．7【分析】分解因式結(jié)果利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出m的值即可．解：根據(jù)題意得：x2﹣mx+n＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，則m＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解和多項(xiàng)式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝5，則BE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AE，∠BAE＝60°，可證△ABE是等邊三角形，可得AB＝BE＝5，即可求解．解：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE＝5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．在共有11人參加的演講比賽中，參賽選手的成績(jī)各不相同，因此選手要想知道自己是否進(jìn)入前六名，只需了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的（）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【分析】此題是中位數(shù)在生活中的運(yùn)用，知道自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的中位數(shù)就可知道自己是否進(jìn)入前6名．解：11名參賽選手的成績(jī)各不相同，第6名的成績(jī)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以選手知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可知道自己是否進(jìn)入前6名．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了中位數(shù)的意義．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．4．已知關(guān)于x的分式方程﹣3＝的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣6 B．k＞﹣2 C．k＞﹣6且k≠﹣2 D．k≥﹣6且k≠﹣2【分析】表示出分式方程的解，根據(jù)解為正數(shù)確定出k的范圍即可．解：分式方程﹣3＝，去分母得：x﹣3（x﹣2）＝﹣k，去括號(hào)得：x﹣3x+6＝﹣k，解得：x＝，由分式方程的解為正數(shù)，得＞0，且≠2，解得：k＞﹣6且k≠﹣2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．5．如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．72°【分析】根據(jù)題意可得五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由鄰補(bǔ)角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，結(jié)合圖形代入求解即可．解：如圖所示，五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，∴∠EAB＝∠ACD＝，∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．6．式子n2﹣1與n2+n的公因式是（）A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1【分析】把式子n2﹣1與n2+n分別進(jìn)行因式分解后，根據(jù)公因式的確定方法，即可得到答案．解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），∴n2﹣1與n2+n的公因式是n+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是確定公因式的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC繞點(diǎn)A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)48°，得到△ADE，點(diǎn)E落在BC邊上，連接BD，當(dāng)BD⊥BC時(shí)，∠ABC的度數(shù)為（）A．24° B．42° C．48° D．66°【分析】連接BD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD，∠DAB＝48°，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及余角性質(zhì)可得答案．解：連接BD，∵△ABC繞點(diǎn)A，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)48°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠DAB＝48°，∴，∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣66°＝24°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，等腰三角形“等邊對(duì)等角”．8．如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去2022，那么所得的一組新數(shù)據(jù)（）A．平均數(shù)不變 B．中位數(shù)不變 C．眾數(shù)不變 D．方差不變【分析】分別根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)以及方差的定義解答即可．解：如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去2022，那么所得的一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比原來(lái)少2022，故選項(xiàng)A不合題意；中位數(shù)比原來(lái)少2022，故選項(xiàng)B不合題意；眾數(shù)比原來(lái)少2022，故選項(xiàng)C不合題意；方差不變，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)以及方差，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．9．已知＝7，則的值是（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)分式的倒數(shù)求得x﹣＝，于是得到結(jié)論．解：∵＝7，∴＝，∴x﹣4﹣＝，∴x﹣＝，∵的倒數(shù)為x﹣1﹣＝﹣1＝，∴＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的值，正確的求分式的倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可求∠ADB＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠ADC＝105°，∴∠DAB＝75°，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝75°，∴∠BDA＝30°，∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，∴AH＝2BH﹣BH，∵∠EBA＝60°，∴∠BEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ABE＝45°，∴∠EBH＝45°＝∠BEH，∴BH＝EH，∴DE＝BH﹣BH，AE＝3BH﹣BH，∴＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共20分）11．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的方差是4，則3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的標(biāo)準(zhǔn)差為6．【分析】根據(jù)方差公式求出這組數(shù)據(jù)的方差，再進(jìn)行開(kāi)方，即可得出答案．解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，…xn的方差是4，∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的方差是：32×4＝36，∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的標(biāo)準(zhǔn)差為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差需要先算出方差，計(jì)算方差的步驟是：①計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；②計(jì)算偏差，即每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；③計(jì)算偏差的平方和；④偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差即方差的算術(shù)平方根；注意標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣都是非負(fù)數(shù)．12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝8．【分析】設(shè)t＝x2+y2（t≥0），則原方程轉(zhuǎn)化為t（t﹣7）＝8，然后利用因式分解法解方程求得t的值即可．解：設(shè)t＝x2+y2（t≥0），則：t（t﹣7）＝8，整理，得（t﹣8）（t+1）＝0．所以t＝8或t＝﹣1（舍去）．所以x2+y2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．13．如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，則圖中陰影部分的面積是．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知陰影部分面積為平行四邊形面積的一半，進(jìn)而可求出結(jié)果．解：∵平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴S△AFO＝S△CEO，∴陰影部分面積等于△BCD的面積，即為?ABCD面積的一半，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AD于點(diǎn)P，∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°，∴DP＝1，CP＝，∴S平行四邊形ABCD＝BC?CP＝，∴陰影部分面積為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE（點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），連接BD．當(dāng)點(diǎn)E落在直線AB上時(shí)，線段BD的長(zhǎng)為或3．【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB＝5，再分兩種情況求BD的長(zhǎng)，一是點(diǎn)E在邊AB上，則∠DEB＝180°﹣∠＝90°，BE＝AB﹣AE＝1，可求得BD＝；二是點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，則BE＝AB+AE＝9，可求得BD＝3．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋轉(zhuǎn)得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，如圖1，點(diǎn)E在邊AB上，則∠DEB＝180°﹣∠＝90°，∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，∴BD＝＝＝；如圖2，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，∴BD＝＝＝3，綜上所述，線段BD的長(zhǎng)為或3，故答案為：或3．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，求出點(diǎn)E在邊AB上及點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)BE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15．當(dāng)x＝2時(shí)，分式的值為零．【分析】要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0．解：由分子x2﹣4＝0?x＝±2；由分母x+2≠0?x≠﹣2；所以x＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】要注意分母的值一定不能為0，分母的值是0時(shí)分式?jīng)]有意義．三、解答題16．（1）因式分解：x2（x﹣3）+y2（3﹣x）；（2）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．【分析】（1）先提公因式，再用公式法分解；（2）先把代數(shù)式分解因式，再整體代入求解．解：（1）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）＝（x﹣3）（x2﹣y2）＝（x﹣3）（x+y）（x﹣y）；（2）∵x+y＝3，xy＝2，∴2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2＝2×2×9＝36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，整體代入法是解題的關(guān)鍵．17．已知關(guān)于x的分式方程的解滿足﹣4＜x＜﹣1，且k為整數(shù)，求符合條件的所有k值的和．【分析】先解出分式方程，得到，代入﹣4＜x＜﹣1求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．解：，解得：，∵﹣4＜x＜﹣1，∴，解得：﹣7＜k＜14，∵k為整數(shù)，∴k為﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠﹣3，∴k≠35且k≠0，∴所有符合條件的k中，含負(fù)整數(shù)6個(gè)，正整數(shù)13個(gè)，∴符合條件的k值的和為：﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝70．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的求解方法．18．某校招聘一名數(shù)學(xué)老師，對(duì)應(yīng)聘者分別進(jìn)行了教學(xué)能力、教研能力和組織能力三項(xiàng)測(cè)試，并按教學(xué)能力占70%，教研能力占20%，組織能力占10%，計(jì)算加權(quán)平均數(shù)，作為最后評(píng)定的總成績(jī)．王偉和李婷都應(yīng)聘了該崗位，經(jīng)計(jì)算，王偉的最后評(píng)定總成績(jī)?yōu)?7.8分，已知李婷的教學(xué)能力、教研能力和組織能力三項(xiàng)成績(jī)依次為88分、84分、86分．若該校要在李婷和王偉兩人中錄用一人，誰(shuí)將被錄用？【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義求出李婷的最后評(píng)定總成績(jī)，再與王偉的成績(jī)比較即可．解：李婷的最后評(píng)定總成績(jī)?yōu)椋?8×70%+84×20%+86×10%＝87（分），∵王偉的最后評(píng)定總成績(jī)?yōu)?7.8分，87＜87.8，∴王偉將被錄用．【點(diǎn)評(píng)】本題考查加權(quán)平均數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是記住加權(quán)平均數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．19．甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，騎自行車前往距離學(xué)校20千米的郊野公園．已知甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)速度的2倍，甲同學(xué)在路上因事耽擱了30分鐘，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)公園．問(wèn)：甲、乙兩位同學(xué)平均每小時(shí)各騎行多少千米？【分析】設(shè)乙同學(xué)平均每小時(shí)騎行x千米，則甲同學(xué)平均每小時(shí)騎行2x千米，利用時(shí)間＝路程÷速度，結(jié)合甲同學(xué)比乙同學(xué)少用30分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出乙同學(xué)的騎行速度，再將其代入2x中，可求出甲同學(xué)的騎行速度．解：設(shè)乙同學(xué)平均每小時(shí)騎行x千米，則甲同學(xué)平均每小時(shí)騎行2x千米，根據(jù)題意得：﹣＝，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是所列方程的解，且符合題意，∴2x＝2×20＝40．答：甲同學(xué)平均每小時(shí)騎行40千米，乙同學(xué)平均每小時(shí)騎行20千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．20．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，進(jìn)而推出∠ADE＝∠ADB，再根據(jù)AD＝CD得∠DAC＝∠C，由三角形外角性質(zhì)得∠ADB＝∠DAC+∠C，最后根據(jù)∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）即可求解．解：將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點(diǎn)，EF、CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【分析】（1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可證明∠H＝∠AFE，進(jìn)而可得：AH＝AF，【解答】證明（1）∵E，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴EG是△BDC的中位線，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，∴EG＝BD，F(xiàn)G＝AC，∵BD＝AC，∴GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF，∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H，∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，∴∠H＝∠AFE，∴AH＝AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．22．（1）如圖①，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P．①求證：BD⊥CE．②連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（2）將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD，CE相交于點(diǎn)P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明．【分析】（1）①由△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，證明△ABD≌△ACE（SAS），可得∠ABD＝∠ACE，再利用三角形的內(nèi)角和定理證明∠BPC＝180°﹣90°＝90°即可；②在BD上截取BF＝CP，連接AF，證明△BAF≌△CAP（SAS），可得△AFP是等腰直角三角形，，從而可得結(jié)論；（2）在CP上截取CN＝BP，連接AN，證明△BAP≌△CAN（SAS），可得△APN是等腰直角三角形，，從而可得結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°＝∠ABD+∠DAC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB+∠CBD＝∠CBD+∠BCP，∴∠BPC＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥CE；②解：結(jié)論：PB＝PC+PA．理由：在BD上截取BF＝CP，連接AF，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝90°，∴△AFP是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：結(jié)論：CP＝BP+PA．理由：在CP上截取CN＝BP，連接AN，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BP＝CN，∴△BAP≌△CAN（SAS），∴AN＝AP，∠BAP＝∠CAN，∴∠BAC＝∠PAN＝90°，∴△APN是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．23．如圖1，△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E．（1）求證：BD＝CE．（2）如圖2，過(guò)C作CF∥AB交DE延長(zhǎng)線于F，G為AE上一點(diǎn)，AG＝BD，連接DG、FG．