高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題26圓錐曲線巧設(shè)直線必刷100題（教師版）

/125/125/專題26圓錐曲線巧設(shè)直線必刷100題方法提示:在圓錐曲線聯(lián)立與設(shè)線的問(wèn)題當(dāng)中,設(shè)直線的方法比較多.常見(jiàn)有幾下幾種類型:①當(dāng)題干中直接或者隱含直線過(guò)定點(diǎn)時(shí),可設(shè)點(diǎn)斜式局限性:局限性:不能表示垂直于軸的直線,需要單獨(dú)討論.②當(dāng)題干中含有過(guò)軸上一定點(diǎn)時(shí),或者在解題步驟中需要或,需要消掉,保留時(shí),設(shè)會(huì)簡(jiǎn)化解題步驟和計(jì)算量.局限性:不能表示垂直于軸的直線,需要單獨(dú)討論.③,當(dāng)題干中含有過(guò)軸上一定點(diǎn)時(shí),或者在解題步驟中需要或,需要消掉,保留時(shí),設(shè)會(huì)簡(jiǎn)化解題步驟和計(jì)算量.局限性:不能表示平行于軸的直線,需要單獨(dú)討論.一、單選題1．已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且拋物線上存在點(diǎn)，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線可求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，由題干條件可得出，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，又點(diǎn)在拋物線上，代入拋物線方程可求出值.【詳解】解：設(shè)，聯(lián)立得：，解得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋杂?，即，點(diǎn)在拋物線上，代入可得，解得：.故選：B.2．已知弦經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小B．C．以弦為直徑的圓與直線相離D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】與軸垂直時(shí)，為拋物線的通徑，是最短的焦點(diǎn)弦，即最小，A正確；設(shè)方程為，由得：，，，D正確；，，，B正確；中點(diǎn)到的距離為，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，C錯(cuò)誤.故選：C.3．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組根據(jù)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，可得，所以或（舍），所以，可得，則．故選：C.4．若直線y＝kx+2與雙曲線x2﹣y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．， B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得漸近線方程，把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去，利用判別式大于0和聯(lián)立求得的范圍．【詳解】由消去y，整理得，的兩根為x1，x2，∵直線y＝kx+2與雙曲線x2﹣y2＝6的右支交于不同的兩點(diǎn)，∴，∴k＜﹣1，∴.故選：D．5．已知過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】設(shè)直線AB的方程為x＝y(tǒng)+1，聯(lián)立，得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后過(guò)P作PH垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H，再利用拋物線的定義，由三點(diǎn)共線時(shí)求得最小值求解.【詳解】如圖所示：由題意，得F（1，0），故直線AB的方程為x＝y(tǒng)+1，聯(lián)立，得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，x1+x2＝（y1+y2）+2＝14，所以Q（7，2），過(guò)P作PH垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)H，由拋物線的定義得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以|PF|+|PQ|的最小值為8，故選：D.6．已知拋物線y2＝4x，直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為（）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】設(shè)直線l的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達(dá)定理及直線斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)直線l的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與拋物線方程，化簡(jiǎn)可得，y2﹣4my﹣4n＝0，由韋達(dá)定理可得，y1+y2＝4m，∵，∴4m＝4，即m＝1，∴直線l的方程為y＝x﹣n，∴k＝1．故選：D7．已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，直線方程為，然后拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得一個(gè)關(guān)于一元二次方程，又由線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，得，轉(zhuǎn)化為，由此即可確定的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，直線方程為，聯(lián)立，消去，得，所以，所以，因?yàn)?、中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，故，又，所以的取值范圍為.故選：A.8．平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，、的斜率分別為和，滿足，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線.設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出得到，從而得到的面積，由即可求出最小值.【詳解】因?yàn)橹本€l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，所以可設(shè)直線.設(shè)，則有，消去x得：，所以.由得：，即，所以，即.即直線l與x軸交于.又拋物線的焦點(diǎn)，所以.所以的面積.因?yàn)?，所以，?dāng)m=0時(shí)，即直線的斜率不存在時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的面積的最小值：.故選：D9．已知拋物線，和分別為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦恒過(guò)定點(diǎn)，則拋物線方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析可得，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】若直線與軸重合，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，，所以，，因?yàn)?，則，解得.因此，拋物線的方程為.故選：B.10．已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A．9 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線l與拋物線方程化簡(jiǎn)可得，設(shè)，，由此可得，結(jié)合可求A,B的坐標(biāo)，再由焦點(diǎn)弦公式求|AB|.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，代入拋物線方程，得．設(shè)，，由韋達(dá)定理得．因?yàn)椋?，所以．解得，或，，所以，，所以．故選D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A?B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為，則線段AB的長(zhǎng)為（）A． B．4 C．5 D．4或5【答案】D【分析】設(shè)，由題意得到，設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立方程組得到，根據(jù)均為拋物線上的點(diǎn)，得到，兩式相加得出關(guān)于的方程，求得的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)，可設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，整理得，則，因?yàn)榫鶠閽佄锞€上的點(diǎn)，可得，兩式相加得，即，解得或，因?yàn)?，可得?故選：D.12．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，:，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理有，由向量的數(shù)量關(guān)系得，即可求，進(jìn)而求，最后應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知即可求.【詳解】焦點(diǎn)，設(shè)直線為，代入拋物線方程得.設(shè)，由韋達(dá)定理得：①.由，即，有②∴由①②得：或，即，，化簡(jiǎn)得，或（舍）.故選：B.13．已知過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)、縱坐標(biāo)的比值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先設(shè)出直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得的范圍.【詳解】設(shè)直線，代入得，，，，直線，代入得，.故選：A14．橢圓上到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于的一元二次方程，令，進(jìn)而解出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為：，由，化為．（*），化為，解得．∵直線在橢圓的下方，故直線系中靠近的直線，取，代入可得：，解得．故選：A．15．過(guò)拋物線：焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△的面積為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意設(shè)為，聯(lián)立拋物線結(jié)合韋達(dá)定理求得，，再由線段的數(shù)量關(guān)系求，最后由列方程求p，寫出拋物線方程即可.【詳解】由題設(shè)，令為，聯(lián)立拋物線方程并整理得，∴若，則，，又易得，∴，則，即，∴，又，而，∴，即，又，則，故.故選：D16．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得拋物線方程.設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得．設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：B．17．設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，，則為（）A．1 B．-1 C．4 D．-4【答案】B【分析】設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程后寫出根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，由此求得為定值.【詳解】，設(shè)，由圖可知直線的斜率存在且不為.設(shè)直線，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：．所以．故．又均不為0，故，即為定值.故選：B18．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且．設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．則直線過(guò)定點(diǎn)（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先結(jié)合拋物線的定義求得拋物線方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，由列方程，化簡(jiǎn)求得，由此求得直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】∵是拋物線上一點(diǎn)，且．∴，解得，即拋物線的方程為．依題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，，由消去得，則，．因?yàn)?，所以，即．化?jiǎn)得．由得，所以直線的方程為，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．故選：C19．過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線不垂直y軸，設(shè)出其方程并與橢圓方程聯(lián)立求出直線被橢圓所截弦長(zhǎng)即可推理作答.【詳解】顯然過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最短弦所在直線l不垂直y軸，設(shè)l的方程為：x=my+c，由消去x并整理得：，設(shè)直線l與橢圓交于點(diǎn)，則有，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，于是，當(dāng)，即直線l垂直于x軸時(shí)，，所以過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的最短弦是與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直的弦，最短弦長(zhǎng)是.故選：A20．已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過(guò)橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為（）A．6 B．15 C．20 D．12【答案】D【分析】由直線AB不垂直y軸，設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，求出弦AB長(zhǎng)，即可列式推理作答.【詳解】顯然直線AB不垂直y軸，橢圓中心為原點(diǎn)O，設(shè)直線AB的方程為：x=my，由消去y得：，設(shè)，由橢圓對(duì)稱性，不妨令，焦點(diǎn)，△ABF的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以△ABF面積的最大值為12.故選：D21．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)直線方程為：，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消，根據(jù)，可得，利用韋達(dá)定理可得，整理即可求解.【詳解】過(guò)右焦點(diǎn)的直線的傾斜角,不妨設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程，得，設(shè)，，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：D22．若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線的共有（）A．一條 B．兩條 C．三條 D．四條【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則需分直線與拋物線對(duì)稱軸平行、直線與拋物線相切兩種情況討論，特別要注意直線的斜率是否存在.【詳解】解：（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，顯然與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，（2）①當(dāng)過(guò)點(diǎn)且直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，即斜率為0時(shí)，顯然與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，②當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且斜率存在且斜率不為0，與拋物線相切時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線方程為，代入到拋物線方程，消得：，由已知有，則，解得：，即直線方程為，綜上可得：過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線l共有3條，故選：C.23．如圖，在拋物線的準(zhǔn)線上任取一點(diǎn)（異于準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．與點(diǎn)位置有關(guān) B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得交點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出坐標(biāo)，再求出直線的方程，令即可求出答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則直線的方程為，由得，令，可得，所以直線的斜率為．所以直線的方程為，令，解得，所以直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：D24．已知拋物線C：y2＝8ax(a＞0)的焦點(diǎn)F與雙曲線D：的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于點(diǎn)A，B，則|AF|＋2|BF|的最小值為（）A．3＋4 B．6+4 C．7 D．10【答案】B【詳解】依題意得，2a＝，即2a2－a－1＝0，解得a＝1或(負(fù)值舍去)，∴F(2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋2＝＋2．設(shè)直線AB的方程為x＝my＋2(m≠0)，由得y2－8my－16＝0，∴y1y2＝－16．從而|AF|＋2|BF|＝＝6＋≥6＋，當(dāng)且僅當(dāng)＝2時(shí)取等號(hào)．故選：B．25．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、.則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，由橢圓方程可得、的坐標(biāo)，求出，所在直線方程，可得與的坐標(biāo)，求得，再由動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，得，則的值可求.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，由橢圓方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則.故選：B.26．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立得出韋達(dá)定理，再結(jié)合向量的等式以及弦長(zhǎng)即可求解.【詳解】解：由焦點(diǎn)，設(shè)直線為，代入拋物線方程得.設(shè)，，由韋達(dá)定理得：①.由，即，有②∴由①②得：，或，，即，，所以，化簡(jiǎn)得，所以或（舍）.故選：B.27．已知橢圓：上有一動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），點(diǎn)?分別在?軸上，使得為的中點(diǎn)，若軸上一點(diǎn)，滿足，則的最小值為（）A．3 B． C． D．5【答案】B【分析】設(shè)且，可得，由點(diǎn)在橢圓上有，進(jìn)而求坐標(biāo)，由題設(shè)易知，最后利用基本不等式求最值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】令且，則，又在橢圓上，∴，則，此時(shí)直線為，故，由，即是垂直平分線，則.綜上，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.故選：B28．已知橢圓，P為E的長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為的直線l與E交于M，N兩點(diǎn)，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)出點(diǎn)和直線l的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程得出韋達(dá)定理，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】設(shè)，直線l的方程為，將直線方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而有，所以．故選：B．29．已知直線過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn).若直線的斜率為，，以為直徑的圓與軸交于，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意表示出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦公式求出，即可得到拋物線方程，設(shè)的中點(diǎn)為，即可求出的坐標(biāo)，從而求出圓的方程，令，即可求出圓與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出；【詳解】解：拋物線（）的焦點(diǎn)，則直線為，則，消去得，即，所以，，所以，所以，所以拋物線方程為，直線，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，即，所以圓的方程為，令，解得，，所以；故選：C30．已知拋物線：和圓：，過(guò)點(diǎn)作直線與上述兩曲線自左而右依次交于點(diǎn)，，，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由題可設(shè)直線的方程為，設(shè)，利用韋達(dá)定理可得，再結(jié)合拋物線的定義可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】由拋物線：可知焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，由拋物線的定義可知∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D31．已知斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，并與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，將直線與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理，求得，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合題中條件得到關(guān)于的等量關(guān)系，求得結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意，直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，整理得，所以，所以，所以，故選：C.32．兩個(gè)長(zhǎng)軸在軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓．若，分別為外層橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線，，切點(diǎn)分別為，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立，根據(jù)直線為橢圓的切線，由△，得到，同理得到，然后由兩切線斜率之積等于求解.【詳解】解：設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立，消去可得：，因?yàn)橹本€為橢圓的切線，所以△，化簡(jiǎn)可得：，設(shè)直線的方程為：，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為．故選：B．33．過(guò)點(diǎn)（1，2）且與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)的直線l斜率的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，2] D．[﹣2，+∞）【答案】B【分析】設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣1），與雙曲線方程聯(lián)立方程組，由方程組無(wú)解（相應(yīng)方程無(wú)解）得結(jié)論．【詳解】解：由題意l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣1），與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，并整理得（4﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣8＝0，若4﹣k2＝0，即k＝±2，當(dāng)k＝2時(shí)，方程即為﹣4＝0，方程無(wú)解，直線l與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)k＝﹣2是，方程即為16x﹣20＝0，方程有一個(gè)解，此時(shí)直線l與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；若4﹣k2≠0，∵過(guò)點(diǎn)P（1，2）直線l與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，∴△＝[2（k2﹣2k）]2﹣4（4﹣k2）（﹣k2+4k﹣8）＝64（﹣k+2）＜0，解得k＞2．綜上所述，直線l斜率的取值范圍是[2，+∞）．故選：B．34．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出，求出長(zhǎng)度的最小值，再利用拋物線的定義來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為的一半，進(jìn)而求出點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值.【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，則設(shè)直線的方程為，，，，.聯(lián)立，整理得，則，..故選：B.35．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則三角形OAB面積的最小值為（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用韋達(dá)定理得到，由的范圍可得答案.【詳解】由得，設(shè)由已知直線的斜率存在設(shè)為，所以直線，聯(lián)立得，，當(dāng)時(shí)，三角形面積的最小值為，故選：D．36．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線定義將A到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為A到準(zhǔn)線的距離，求出A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到縱坐標(biāo)，設(shè)出直線AB，代入拋物線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系求出|y1-y2|，進(jìn)而求出面積.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由拋物線的定義可知，，由拋物線的對(duì)稱性，不妨令，設(shè)直線的方程為，由得，，∴，四邊形的面積，故選：A．37．對(duì)正整數(shù)，設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則數(shù)列的前項(xiàng)和公式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，利用向量的數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理求得，利用等差數(shù)列求和公式即可得解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)任作直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得：，則，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和，故選：A．38．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知直線的斜率不為0，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理及條件可求出點(diǎn)，即得.【詳解】由題可知，根據(jù)題意可知直線的斜率不為0，可設(shè)直線方程為，，不妨設(shè)，如圖，由得，，∴，由可得，∴∴解得∴∴，即，∴.故選：A.39．設(shè)A，B分別是雙曲線x2-=1的左、右頂點(diǎn)，設(shè)過(guò)P的直線PA，PB與雙曲線分別交于點(diǎn)M，N，直線MN交x軸于點(diǎn)Q，過(guò)Q的直線交雙曲線的右支于S，T兩點(diǎn)，且=2，則△BST的面積為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別設(shè)直線PA和PB的方程，聯(lián)立與雙曲線的方程可得M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而利用三點(diǎn)共線斜率相等，化簡(jiǎn)可得Q(2，0)，再聯(lián)立過(guò)Q的直線與雙曲線的方程，設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，根據(jù)=2與S△BST=|BQ|·|y1-y2|求解即可【詳解】雙曲線x2-=1的左、右頂點(diǎn)分別為A(-1，0)，B(1，0)，又P，∴直線PA的方程為x=-1，PB的方程為x=-+1，聯(lián)立可得y2-=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-1可得x=，即有M，聯(lián)立可得y2-y=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-+1，可得x=，即N設(shè)Q(s，0)，由M，N，Q三點(diǎn)共線，可得kMN=kQN，即有=，將M，N的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得=，解得s=2，即Q(2，0)，設(shè)過(guò)Q的直線方程為x=my+2，聯(lián)立得(3m2-1)y2+12my+9=0，設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又=2，∴y1=-2y2，∴-2·=，解得m2=，可得S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|==·=3·=故選：A．40．已知斜率不為0的直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且交橢圓于，兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿足，則的取值范圍為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】設(shè)直線的方程并聯(lián)立橢圓方程求解，得到的斜率為參數(shù)的關(guān)于的二次方程，再根據(jù)韋達(dá)定理，寫出弦長(zhǎng)，求出中點(diǎn)坐標(biāo)和的垂直平分線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出和，最后根據(jù)的斜率范圍求出的取值范圍.【詳解】解：很明顯點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得，因此，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，的垂直平分線的方程為，當(dāng)時(shí)，，則，因此，所以，故選：B．第II卷（非選擇題）二、填空題41．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的面積為___________.【答案】【分析】設(shè)，，根據(jù)可得，，設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理可求出，進(jìn)而可求出的面積.【詳解】由，知：為的中點(diǎn)，設(shè)，，則，，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，整理得，由直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，知，得，由韋達(dá)定理得，所以，因?yàn)?，所以，所?故答案為：42．已知直線l分別切拋物線（）和圓于點(diǎn)A，B（A，B不重合），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，___________.【答案】【分析】設(shè)，首先求出直線的方程為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，求出，再由焦半徑公式即可求解.【詳解】設(shè)，，所以，所以，所以直線的方程為，則，把代入，可解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.故答案為：43．拋物線C：y2=4，直線繞旋轉(zhuǎn)，若直線與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)．則直線的斜率k的取值范圍是_________________【答案】，【分析】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用判別式大于零，從而可求得答案【詳解】由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)橹本€與拋物線C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，且，即，且，解得，且，所以直線的斜率k的取值范圍是，故答案為：44．已知點(diǎn)在橢圓：（）上，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的最大值和最小值分別為4和．直線點(diǎn)，且與平行，過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，當(dāng)矩形的面積為時(shí)，則直線的斜率是______．【答案】【分析】由已知求得a，b，從而求得橢圓的方程，再設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長(zhǎng)AP，點(diǎn)A到直線的距離，由矩形的面積公式建立方程可求得m的值，從而得出直線的斜率.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，解得，所以橢圓的方程為，則，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，所以，而點(diǎn)A到直線的距離為，所以矩形的面積為，解得，所以直線的方程為，所以直線的斜率為，故答案為：.45．已知斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與橢圓交于A，B兩點(diǎn).直線l1，l2分別過(guò)點(diǎn)A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點(diǎn)M，N（M，N分別在點(diǎn)A，B的右側(cè)），分別作∠ABN和∠BAM的角平分線相交于點(diǎn)P，則PAB的面積為___________.【答案】【分析】解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出|AB|=，再求出點(diǎn)到的距離即得解.【詳解】解：不妨假設(shè)直線l過(guò)左焦點(diǎn)（﹣1，0），則直線方程為y=x+1.聯(lián)立，解得或，則A（0，1），，則|AB|=.則l1的方程為y=1，l2的方程為；設(shè)P點(diǎn)到l，l1，l2的距離分別為d，d1，d2，由角平分定理得d=d1=d2，又，所以.所以△PAB的面積為.故答案為：.46．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，直線MF與C的另一交點(diǎn)為A，M關(guān)于點(diǎn)P（12，4）的對(duì)稱點(diǎn)為B，當(dāng)|MA|+|AB|的值最小時(shí)，直線AM的方程為__．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），由于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為13，所以|NG|+|NP|≥13，當(dāng)且僅當(dāng)G，N，P三點(diǎn)共線，且N在G，P之間時(shí)，等號(hào)成立，進(jìn)而可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝4，，設(shè)出直線MA的方程為x＝my+1，與拋物線聯(lián)立即可求出參數(shù)m，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】解：設(shè)N為MA的中點(diǎn)，連接NP，分別過(guò)點(diǎn)M，N，A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，G，E，則|AB|＝2|NP|，由拋物線的定義知，|MA|＝|MF|+|AF|＝|MD|+|AE|＝2|NG|，∴|MA|+|AB|＝2|NG|+2|NP|＝2（|NG|+|NP|），∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為13，∴|NG|+|NP|≥13，當(dāng)且僅當(dāng)G，N，P三點(diǎn)共線，且N在G，P之間時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝4，∵直線MA過(guò)點(diǎn)F（1，0），∴設(shè)直線MA的方程為x＝my+1，設(shè)M（x1，y1），A（x2，y2），聯(lián)立，得y2﹣4my﹣4＝0，∴y1+y2＝4m＝2yN＝8，∴m＝2，∴直線MA的方程為x＝2y+1，即．故答案為：．47．已知點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為________．【答案】或【分析】設(shè)直線方程為：，，，用坐標(biāo)表示，可得，將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可解得，即，結(jié)合，即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，所以，得，所以，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，所以，所以，設(shè)，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，則直線斜率，由，所以或.故答案為：或.48．點(diǎn)?分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于?兩點(diǎn)，記直線?的斜率分別為?，則的最小值為___________【答案】【分析】設(shè)?，聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)直線的斜率為，求得，，從而可將用k表示,求出，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)?，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)直線的斜率為，則，，所以，，，而，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.49．已知橢圓，一組平行直線的斜率為，經(jīng)計(jì)算當(dāng)這些平行線與橢圓相交時(shí)，被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在定直線l上，則直線l的方程為___________.【答案】【分析】設(shè)這組平行直線的方程為，并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系、判別式，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得定直線的方程.【詳解】設(shè)這組平行直線的方程為，聯(lián)立，整理得，，解得.且，，所以這組平行直線與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以這些點(diǎn)均在上.故答案為：.50．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn).且線段的中點(diǎn)在直線上，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為_______________________．【答案】【分析】由點(diǎn)差法求出，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程和求出，可得直線過(guò)，再由結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】設(shè)，是中點(diǎn)，則滿足，兩式作差得，即，又，故，設(shè)過(guò)直線方程為，聯(lián)立可得，，又，即，解得或1，因?yàn)楫愄?hào)，故，則，直線方程為，則直線過(guò)，，故答案為：51．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn).且線段的中點(diǎn)在直線上，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積為______．【答案】【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)題意求出的值；然后求弦長(zhǎng)和原點(diǎn)到直線的距離，從而可求出的面積.【詳解】由題意知：直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，由，消得，設(shè)，則，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，所以，即，因?yàn)?，所以，解得?舍)，所以，直線的方程為，所以，原點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.故答案為：.52．已知拋物線C：y2＝4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的中點(diǎn)在y軸上的射影分別為P，Q，且｜PQ｜＝4，則直線l的方程為__________．【答案】【分析】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足為，，由可得，設(shè)直線，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，，從而可求的m的值，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，，過(guò)點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足為，，由可得，所以，設(shè)直線，聯(lián)立，消去x得，由韋達(dá)定理可得，，所以，解得，所以直線l的方程為.故答案為：．53．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F斜率為k的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OMN的重心為點(diǎn)G，則k=__________.【答案】【分析】設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)三角形重心性質(zhì)，得到，再設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理求解.【詳解】焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由三角形重心性質(zhì)得，，解得，聯(lián)立方程得則，解得，時(shí)G不合題意，故答案為：54．如圖，過(guò)點(diǎn)作直線、與拋物線相交，其中與交于、兩點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，直線過(guò)E的焦點(diǎn)F，若、的斜率為，滿足，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、、，設(shè)直線的方程為，將直線、、的方程均與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用直線的斜率公式結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)直線的方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、、，聯(lián)立，可得，所以，，，同理可得，，易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，，，，，因?yàn)?，則，解得.故答案為：.55．已知點(diǎn)P為直線l：x＝－2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線y2＝2px(p＞0)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2為定值，則該定值為____．【答案】4【分析】假設(shè)切線方程x＝my－my1＋x1，然后與拋物線方程聯(lián)立然后使用Δ＝0，得到m＝，同時(shí)聯(lián)立兩條切線方程并化簡(jiǎn)可得，結(jié)合拋物線方程計(jì)算即可.【詳解】解析設(shè)過(guò)A(x1，y1)的切線方程為x＝my－my1＋x1．由得y2－2pmy＋2pmy1－2px1＝0，∴Δ＝4p2m2－4×2p(my1－x1)＝0，解得m＝．因此切線方程為y1y＝px＋px1，同理，過(guò)B(x2，y2)的切線方程為y2y＝px＋px2，又兩切線的交點(diǎn)P在直線l：x＝－2上，故設(shè)P(－2，t)，則消去t得．從而，化簡(jiǎn)得(x1x2－4)(x2－x1)＝0，又x2－x1不恒為0，故x1x2－4＝0恒成立．故x1x2為定值4．故答案為：456．已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則__________.【答案】【分析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】由拋物線：可知?jiǎng)t焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：57．已知橢圓，過(guò)橢圓在第二象限上的任意一點(diǎn)作橢圓的切線與軸相交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的取值范圍是______________【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出切線PQ方程，進(jìn)而求得點(diǎn)Q坐標(biāo)，再借助數(shù)量積及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè)，則有，即，顯然切線PQ斜率存在，設(shè)PQ的方程：，由消去y并整理得：，因此，，化簡(jiǎn)整理得：，即，亦即，解得，則直線PQ方程為：，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，，又，則，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，于是得，所以的取值范圍是.故答案為：58．已知橢圓C：＝1，直線l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F且交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB的中垂線交x軸于M點(diǎn)，則的取值范圍為__．【答案】【分析】由橢圓的方程得到左焦點(diǎn)（i）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直接計(jì)算求得；（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可知與已知矛盾；（iii）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判別式得到中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長(zhǎng)，根據(jù)直線垂直的關(guān)系可以得到中垂線方程，求得坐標(biāo)，得到，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍.綜合可得的取值范圍.【詳解】解：由橢圓的方程：＝1，可得左焦點(diǎn)，（i）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，則直線l為x軸，AB的中垂線為y軸，這時(shí)M與原點(diǎn)O重合，這時(shí)，|FM|＝c＝1，所以，（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，AB的中垂線為x軸，舍去，（iii）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由于直線的斜率存在，所以.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程：，整理可得：，,∴y1+y2＝，y1y2＝，則弦長(zhǎng)|AB|＝，，所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，所以直線AB的中垂線方程為：，令y＝0，可得，所以，所以，所以綜上所述的取值范圍是，故答案為：．59．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，若的面積為，則___________.【答案】2或【分析】先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)M到直線的距離為d，表達(dá)出的面積，求出m的值（注意分兩種情況），再分別求出與的長(zhǎng)，求出結(jié)果【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：∵拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2∴，即∴拋物線方程為，焦點(diǎn)∵過(guò)點(diǎn)的直線與交于A，兩點(diǎn)∴設(shè)直線方程為：與拋物線方程聯(lián)立得：設(shè)，，不妨假設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，B點(diǎn)在x軸下方.則，則設(shè)點(diǎn)M到直線的距離為d則∴解得：∴當(dāng)時(shí)，，解得：此時(shí)：∴，∴2當(dāng)時(shí)，，解得：此時(shí)：∴，∴故答案為：2或60．已知斜率不為0的直線過(guò)橢圓：的左焦點(diǎn)且交橢圓于兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理分別求得和的表達(dá)式，即可求出范圍.【詳解】由題可得點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)椋稍O(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立方程可得，則，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，的垂直平分線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，所以，則.故答案為：.三、解答題61．己知拋物線C：y2=2px(p>0)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)A，B,且（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N,且滿足.證明直線過(guò)x軸上一定點(diǎn)Q，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意可得直線AB方程，進(jìn)而可得，可求得p值，即可得答案.（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，表達(dá)式，根據(jù)，可得，代入計(jì)算，即可求得n值，分析即可得答案.（1）由己知A，B兩點(diǎn)所在的直線方程為則，故．拋物線C的方程為．（2）由題意，直線l不與y軸垂直，設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，消去x，得．，，，，，又，，，解得或而，此時(shí)直線l的方程為，故直線l過(guò)定點(diǎn)．62．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線，分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得解.（2）用，兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合第（1）問(wèn)證明即可.（1）設(shè)，,直線方程為：，代入，得，則，，所以，，，則，，，故直線的方程為:（2）設(shè)，則，故直線的方程為.令，得，所以點(diǎn)，同理可得，點(diǎn).則，所以由（1）可得，，所以，所以.63．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）設(shè)為拋物線上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出過(guò)焦點(diǎn)的直線，再和拋物線聯(lián)立，最后運(yùn)用拋物線的定義及韋達(dá)定理可求出直線方程；（2）求出直線，分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積為零建立方程求解即可.（1）由已知，得設(shè)直線的方程為，代入，得．設(shè)，，則，．則，解得，所以直線的方程為．（2）證明：設(shè)，則，故直線的方程為．令，得，所以點(diǎn)．同理可得，點(diǎn)．設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為則，．由題意，知，則，即．由（1）可得，所以解得或，故以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.64．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）曲線C表示中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）（2）存在點(diǎn)，使得為定值【分析】（1）由直接化簡(jiǎn)即可求解；（2）當(dāng)直線斜率為0時(shí)，與曲線無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，將整體代換為關(guān)于的表達(dá)式，利用比例關(guān)系化簡(jiǎn)可求.（1）設(shè)點(diǎn)，由題意得，整理得，所以曲線C表示中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）；（2）由（1）可知，曲線C與x軸無(wú)公共點(diǎn)，所以當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，與曲線C無(wú)交點(diǎn)．所以設(shè)直線l的方程為，由得，由于點(diǎn)在曲線C內(nèi)部，所以恒成立，則．假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，使得的值為定值，則有．要使上式為定值，則，解得，此時(shí)，所以，存在點(diǎn)，使得為定值．65．已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及的值；（2）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，且，求的最小值并證明直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）最小值為，證明見(jiàn)解析【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，解得答案.（2）聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，再利用均值不等式解得最值，得到直線的定點(diǎn).（1）依題意，點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，∴拋物線的方程為．（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，消去x得，．，解得或2（舍），當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.∴t＝3或t＝－1（舍）所以的最小值為，直線l：x＝my＋3恒過(guò)定點(diǎn)（3，0）．66．已知是拋物線（）的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動(dòng)直線垂直于線段，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積為時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，計(jì)算交代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得值，得拋物線方程；（2）設(shè)出直線的方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理求得弦長(zhǎng)，然后由四邊形面積可得參數(shù)值，得直線方程．（1）根據(jù)已知條件可知直線的方程為.聯(lián)立消去并整理得，設(shè)，，則，，所以，.因?yàn)?，所以，整理得，解得或（舍去），所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€與線段垂直，所以直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，由弦長(zhǎng)公式得，由（1）可知，，，所以.聯(lián)立消去并整理得，設(shè)，，則，，由弦長(zhǎng)公式得，所以四邊形的面積，解得，所以直線的方程為.67．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－，0)和F2(，0)，且橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）過(guò)點(diǎn)作不與y軸垂直的直線l交該橢圓于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，試判斷∠MAN的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）為定值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，采用待定系數(shù)法和橢圓關(guān)系式即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程得出韋達(dá)定理，通過(guò)求為定值可判斷.（1）由題意設(shè)橢圓方程為，將c＝，a2＝b2＋c2，代入橢圓方程得，又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，得，解得b2＝1，所以a2＝4.所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立直線MN和橢圓的方程得，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝，y1＋y2＝，則＝，所以∠MAN＝.68．已知橢圓和拋物線，點(diǎn)F為的右焦點(diǎn)，點(diǎn)H為的焦點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)F作的切線，切點(diǎn)為P，求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)H的直線l交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn)M在線段上，記的面積為的面積為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得：．求出的坐標(biāo)，然后求解，推出拋物線方程；設(shè)點(diǎn)，直線方程為：，聯(lián)立可得：．利用韋達(dá)定理，結(jié)合又，求出的縱坐標(biāo)的范圍然后求解三角形的面積的比值，推出結(jié)果即可．（1）由題可知：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得：．則△，故且，即點(diǎn),故，所以，拋物線的方程：；（2）設(shè)點(diǎn)，直線方程為：，聯(lián)立可得：．故，從而，又，則，從而，且，則，從而，，由此可得．69．已知橢圓的方程為：（），離心率為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)作不平行于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】(1)由題意知，，再由得到各個(gè)參數(shù)值，進(jìn)而得到方程；（2）將直線和橢圓方程聯(lián)立，直線方程為：，化簡(jiǎn)得到，再由直線方程化簡(jiǎn)得到，代入韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.（1）由題意知，，，，（2），設(shè)：，與，聯(lián)立得設(shè)，，，，直線方程為：，即：，過(guò)定點(diǎn)．70．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若軌跡上存在兩點(diǎn)，滿足（，分別為直線，的斜率），求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題設(shè)知：，結(jié)合橢圓的定義寫出軌跡的方程；（2）設(shè)：，，聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理可得，，根據(jù)可得，由有，即可求直線的斜率的取值范圍.（1）由題設(shè)，若，∴，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由題設(shè)，設(shè)直線：，，∴.聯(lián)立軌跡可得：，則，∴，，，則，即，∵，且，∴且，可得或.71．已知橢圓：的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為且，求直線的傾斜角.【答案】（1）（2）或【分析】(1)結(jié)合已知條件分別求出，即可求解；(2)首先設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求出斜率，進(jìn)而即可得到答案.（1）不妨設(shè)所求橢圓的焦距為，因?yàn)殡x心率，所以①，因?yàn)闄E圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，所以，即②，又因?yàn)棰郏月?lián)立①②③可得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由(1)結(jié)論可知，的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，，由可得，，，從而，即，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式可知，，解得，故直線的傾斜角為或.72．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】通過(guò)，得到點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)，的橢圓，應(yīng)用橢圓的定義得到其軌跡方程；首先判斷直線的斜率是否存在，通過(guò)聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合，得到四邊形為平行四邊形，若要成為矩形，需有，運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得結(jié)果．（1）由題意得，，，，設(shè)，，則動(dòng)點(diǎn)M滿足，由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，，故軌跡的方程為（2）存在滿足條件的直線.設(shè)直線的方程為，由方程組，消去，整理得：則恒成立，即直線與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，，則①，②由得，即，∴四邊形OAPB為平行四邊形若存在直線使四邊形OAPB為矩形，則，即③將①?②代入③式得：，解得，所以直線的方程為，此時(shí)四邊形OAPB為矩形.73．已知拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3.（1）求拋物線的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，.求直線的斜率.【答案】（1）（2）【分析】（1）（1）根據(jù)到焦點(diǎn)的距離為3，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)的方程為.聯(lián)立，根據(jù)，利用弦長(zhǎng)公式求解.（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，到焦點(diǎn)的距離為，.拋物線方程為.（2）設(shè)的方程為.聯(lián)立方程組，得.設(shè)，，，，則，...，.74．已知點(diǎn)皆為曲線C上點(diǎn)，P為曲線C上異于A，B的任意一點(diǎn)，且滿足直線PA的斜率與直線PB的斜率之積為.（1）求曲線C的方程；（2）若曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與曲線交于，求證：直線與直線斜率之和為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè),代入,化簡(jiǎn)即可求出曲線的方程（2）橢圓與直線聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理即可（1）設(shè)為曲線上異于A,B的任意一點(diǎn),因?yàn)樗?所以即.所以又皆為曲線上的點(diǎn)所以曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立,得所以,即①因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以②把①式代入②式得直線與直線斜率之和為定值075．已知橢圓C：，，且橢圓C右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【分析】（1）結(jié)合，，求解即可得答案；（2）根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程得，再結(jié)合得，進(jìn)一步求解得即可得答案.（1）解：∵，，∴解得，.∴橢圓C的方程為：（2）解：易知直線l的斜率存在且不為零.設(shè)，，直線l的方程為：.聯(lián)立：，可得.其中由韋達(dá)定理有：又∵，可得代入韋達(dá)定理有，可得解得，.∴直線l的方程為：或.76．已知點(diǎn)皆為曲線C上點(diǎn)，P為曲線C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且滿足直線PM的斜率與直線PN的斜率之積為.（1）求曲線C的方程；（2）若曲線上點(diǎn)，經(jīng)過(guò)曲線C右焦點(diǎn)的直線與曲線C交于，（異于）兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)，，的斜率分別為，，，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，依題意得，化簡(jiǎn)即可求解；（2）設(shè)設(shè)直線的方程為：，由得，設(shè)，由斜率公式與根與系數(shù)的關(guān)系求解即可（1）設(shè)，依題意得，整理得，所以曲線C的方程為；（2）由題意可知，不妨設(shè)，橢圓的右焦點(diǎn)，由題意可設(shè)直線的方程為：，由直線與直線交于點(diǎn)，可知，由得，設(shè)，則，又由題意可得：，，，因?yàn)椋?7．已知雙曲線的離心率為2，且過(guò)點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若斜率為的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)M，若Q為PM的中點(diǎn)，求l的方程.【答案】（1）（2）（或）【分析】（1）由離心率可得，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程可得，解方程組即可求解.（2）設(shè)，，，由題意可得，設(shè)l的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理即可求解；將直線與橢圓方程聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理也可求解.（1）因?yàn)椋?，?將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得，解得，故C的方程為.（2）設(shè)，，，因?yàn)镼為PM的中點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€l的斜率為，所以可設(shè)l的方程為，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，.因?yàn)椋?，解得，，解得，即，故l的方程為.在第（2）問(wèn)中，若未寫判別式大于0，但寫到“由，得l與C必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，另外本問(wèn)還可以通過(guò)聯(lián)立方程消去y求解，其過(guò)程如下：設(shè)，，l的方程為，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，.因?yàn)镼為PM的中點(diǎn)，所以，則，，解得，，，解得，即，故l的方程為（或）.78．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是，以其短軸為直徑的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求的最小值；【答案】（1）（2）【分析】（1）結(jié)合題意可得，解方程組，進(jìn)而可求出結(jié)果，（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出的范圍，從而結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.（1）由題意可得，解得，所以橢圓E的方程為；（2）橢圓E左焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)橢圓E左焦點(diǎn)的直線為（存在且不為0），，則，設(shè)，則，且所以的中點(diǎn)為，因此線段的垂直平分線為，令，則的縱坐標(biāo)為，因?yàn)榕c軸交于負(fù)半軸，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，所以，即，而當(dāng)時(shí)，；79．已知拋物線C：的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l過(guò)點(diǎn)與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B．點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接．求證：直線過(guò)y軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）依題意表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可求，從而得解；（2）設(shè)直線的方程為，又設(shè)，，，，則，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及判別式，求出直線的斜率，推出直線方程，利用直線系求解即可．（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以拋物線方程為；（2）設(shè)直線的方程為，又設(shè)，，，，則，，由得，則△，，，所以，于是直線的方程為，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn)．80．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，直線.（1）若橢圓W的左頂點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，求m的值；（2）過(guò)F的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C，D（不與點(diǎn)A，B重合），直線與直線相交于點(diǎn)M，求證：A，D，M三點(diǎn)共線.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)題意可得的中點(diǎn)在直線上且，列出方程組，解方程組即可；(2)對(duì)直線斜率是否存在分類討論，當(dāng)直線CD斜率k不存在時(shí)，求出點(diǎn)A、M、C、D坐標(biāo)，利用可證得A、D、M三點(diǎn)共線；當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，將表示為含有k的算式，得出即可.（1）由題意知，直線的斜率存在，且斜率為，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，所以線段的中點(diǎn)在直線上，又，，有，解得或，所以；（2）已知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：x=1，此時(shí)，有，所以直線，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，即A、D、M三點(diǎn)共線；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，則，得，，設(shè)，則，直線BC的方程為，令，得，所以直線AD、AM的斜率分別為，，上式的分子，所以，即A、D、M三點(diǎn)共線.綜上，A、D、M三點(diǎn)共線.81．已知拋物線：上有一點(diǎn).（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】（1）拋物線：，準(zhǔn)線方程為：（2）證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)拋物線C所過(guò)的點(diǎn)即可求出C的方程及其準(zhǔn)線方程.(2)設(shè)出直線AB方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理即可計(jì)算作答.（1）因拋物線：過(guò)點(diǎn)，則有，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，準(zhǔn)線方程為：.（2）依題意，過(guò)點(diǎn)的直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程為，由消去x并整理得：，設(shè)，則，，于是得，所以為定值.82．已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)．（1）證明：直線PA與直線PB的斜率乘積為定值；（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)Q作與軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)B？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【分析】（1）結(jié)合斜率的計(jì)算公式化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果；（2）直線MN的方程為與橢圓聯(lián)立，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理即可求出結(jié)果.（1）；設(shè)，且，則所以（2）設(shè)，直線MN的方程為；聯(lián)立及，得，所以，（*）若以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B，則，即將帶入整理得；帶入（*），化簡(jiǎn)整理得5，解得，或（舍），滿足，故存在，使得以MN為直徑的圓過(guò)恒過(guò)定點(diǎn)B；83．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心．過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）．（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理即可獲解（2），再結(jié)合焦點(diǎn)弦公式即可獲解（1）由題知，故，拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，，，，，，得，，，，（2），由（1）知，可求得，，故的方程為，即84．如圖，已知橢圓C：，點(diǎn)，為其左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).（1）若直線的斜率為2，求直線OM的斜率；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】(1)結(jié)合已知條件利用點(diǎn)差法即可求解；(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理和已知條件求出，然后利用和表示出的面積即可求解.（1）由題意，不妨設(shè)，，，從而，，故，由兩式相減可得到，，化簡(jiǎn)整理可得，，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以，解得，即直線OM的斜率為.（2）由橢圓C：易知，，，由題意，不妨設(shè)直線的方程：，由可得，，恒成立，由韋達(dá)定理可知，，，因?yàn)椋?，，，所以，即，解得，因?yàn)椋?，所以的面積，因?yàn)?，所以的面積為.85．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且橢圓E的離心率．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）當(dāng)直線l（斜率不為0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)時(shí)，問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）軸上存在點(diǎn)，使得軸平分【分析】（1）由題意得，求出即可求解；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得軸平分，然后把角度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題是本題的關(guān)鍵，列出等式，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得到結(jié)果.（1）由題意可知：，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）軸上存在點(diǎn)，使得軸平分；理由如下：假設(shè)軸上存在點(diǎn)，使得軸平分設(shè)直線：，與聯(lián)立可得：設(shè)，則，由題意得：∴即化簡(jiǎn)得：把，代入，得：化簡(jiǎn)得：∵直線的斜率變化，且斜率不為0∴∴∴軸上存在點(diǎn)，使得軸平分86．若拋物線的交點(diǎn)為F，過(guò)F作直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別以線段AF，BF為直徑作圓和圓.（1）證明：圓和圓均與y軸相切；（2）設(shè)圓與y軸相切于點(diǎn)D，圓與y相切于點(diǎn)E，求的值，并求面積的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），最小值【分析】（1）過(guò)點(diǎn)，分別作軸的垂線，分別記垂足為，，利用拋物線的定義判斷出，即可證明圓與軸相切，同理可得圓與軸相切于點(diǎn)；（2）設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，判斷出，表示出面積利用基本不等式求出的面積的最小值.（1）過(guò)點(diǎn)，分別作軸的垂線，分別記垂足為，，因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，故，故圓與軸相切，同理可得圓與軸相切于點(diǎn)；（2）設(shè)，，由（1）可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，消去得，即，故，故，故，故，則面積又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，的面積取得最小值.87．已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn).（1）求橢圓的方程.（2）已知，直線：交橢圓于A，B兩點(diǎn)，證明：直線PA斜率與直線PB斜率之積為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件可得，，解出即可；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理得到，，然后由算出答案即可.（1）由題意，，，解得，，因此橢圓的方程為；（2）證明：直線的方程為，設(shè)，，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為.由消去，得，易知，得，，所以直線PA斜率與直線PB斜率之積為定值.88．已知拋物線C：，直線l過(guò)拋物線焦點(diǎn)F，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1.（1）求直線l的方程；（2）求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可建立關(guān)系求解；（2）利用弦長(zhǎng)公式求出，再求出點(diǎn)到直線距離，即可求出面積.（1）由題可得，易知直線斜率不為0，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，則，解得，所以直線方程為，即；（2）因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離為，所以.89．有一種畫橢圓的工具如圖1所示，定點(diǎn)O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿OP繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿PQ通過(guò)P處鉸鏈與OP連接，PQ上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)P繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，P也不動(dòng)），Q處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，是否存在異于點(diǎn)M的定點(diǎn)N，使得MN平分？若存在，求點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，使得MN平分【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)：，求出的值即可求解；（2）先猜出定點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為：，，則，求解即可（1）由題意可知：曲線是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓，設(shè)：，則，所以曲線C的方程為；（2）假設(shè)存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)N，使得MN平分；當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)為，由對(duì)稱性知：若定點(diǎn)N存在，則點(diǎn)N一定在軸上，設(shè)，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)為，MN平分也成立；當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為：，，聯(lián)立，得，，，所以，又，又，所以，因?yàn)椴缓銥?，所以，即，，綜上可知：存在，使得MN平分90．已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)在直線上，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，可得，可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)，直線的方程為，并與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到，又，求得的最大值，即可得結(jié)果.（1）橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)在直線上，橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，故，∴所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，直線的方程為?聯(lián)立得：，，即，,，令，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)三角形的面積取得最大值為.91．如圖，橢圓：的離心率為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于點(diǎn)，，是橢圓上不與，重合的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若是△的外心，，求的值；（2）若是△的重心，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓和圓的對(duì)稱性得軸，再由得出的關(guān)系式，得離心率．（2）設(shè)，直線方程為，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由直線方程得，利用重心坐標(biāo)公式得，此坐標(biāo)代入橢圓方程，設(shè)換元，注意利用轉(zhuǎn)換，得關(guān)于的二次方程需有正數(shù)解．從而得的范圍．（1）由橢圓與圓的對(duì)稱性知，軸，是橢圓內(nèi)接矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，則，，或．又，所以，，（舍去負(fù)值），所以；（2）設(shè)，直線方程為，由得，，，，是的重心，，，所以，，在橢圓上，則，設(shè)，則，由得，該方程在上有解，若，方程為，無(wú)正數(shù)解；，，所以或，解得．綜上，．92．已知的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)作不與x軸重合的直線與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線m的方程為：，過(guò)點(diǎn)M作ME垂直于直線m于點(diǎn)E（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）求證：線段EN必過(guò)定點(diǎn)，并求的值（ii）點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OEN面積的最大值【答案】（1）（2）（i）證明見(jiàn)解析，；（ii）【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)和離心率，列出方程組，即可求出，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)直線方程：，，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求解直線方程，然后得到定點(diǎn)坐標(biāo)；（ii）由題可得，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解最大值即可．（1）（1）由題可知：，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由題意知，設(shè)直線方程：，設(shè)，，，聯(lián)立方程得，得，所以，，所以，又，所以直線方程為：，令，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，.（ii）由（i）中，所以，又易知，所以，令，，，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，所以．93．在直角坐標(biāo)系中，橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為和，若為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，若三角形的周長(zhǎng)為為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線、與直線分別交于點(diǎn)、，記直線和直線的斜率分別為和，若，試求直線的斜率．【答案】（1）（2）【分析】（1）由橢圓定義求出，再代入點(diǎn)求出即可求出方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.（1）由已知和橢圓的定義知：三角形的周長(zhǎng)，故，所以橢圓的方程為，又點(diǎn)在橢圓上，故，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由已知可得直線的斜率不為，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去得：故有，，故，，直線的方程為，解得與直線的交點(diǎn)，同理解得，故，，．故，解得．所以直線的斜率．94．如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．過(guò)對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上．橢圓有光學(xué)性質(zhì)：從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)橢圓面反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線與直線、的夾角相等．已知，垂足為，，，以所在直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系．（1）求截口BAC所在橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P為橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．①是否存在m，使得P到和P到直線的距離之比為定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若的角平分線PQ交y軸于點(diǎn)Q，設(shè)直線PQ的斜率為k，直線、的斜率分別