通信原理第八章

通信原理第八章第一頁，共八十八頁，2022年，8月28日§8.1引言回憶并思考一個(gè)問題:在數(shù)字調(diào)制部分,給定調(diào)制方式，接收（解調(diào)）方法不同，抗噪性能也不同。一個(gè)通信系統(tǒng)的優(yōu)劣在很大程度上取決于接收系統(tǒng)的性能。這是因?yàn)?，影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩兀ㄐ诺捞匦缘牟焕硐爰靶诺乐写嬖谠肼暤龋⒅苯幼饔玫浇邮斩?，?duì)信號(hào)接收產(chǎn)生影響。從接收角度看，可以采用最佳接收理論，使接收效果達(dá)到最佳。第二頁，共八十八頁，2022年，8月28日

二進(jìn)制數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)的誤碼率公式一覽表調(diào)制方式誤碼率相干解調(diào)非相干解調(diào)2ASK2FSK2PSK2DPSK第三頁，共八十八頁，2022年，8月28日§8.1引言最佳接收理論是以接收問題作為自己的研究對(duì)象，研究從噪聲中如何最好地提取有用信號(hào)。最好或最佳并不是絕對(duì)的概念，它是在某個(gè)準(zhǔn)則下的一個(gè)相對(duì)概念。在某個(gè)準(zhǔn)則下最佳的接收機(jī)，在另一準(zhǔn)則下不一定是最佳的。因此，最佳準(zhǔn)則的確立至關(guān)重要。第四頁，共八十八頁，2022年，8月28日§8.2數(shù)字信號(hào)的最佳接收準(zhǔn)則在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率”準(zhǔn)則。由于在傳輸過程中，信號(hào)會(huì)受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號(hào)si(t)時(shí)不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會(huì)造成錯(cuò)誤接收，我們期望錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好。最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是數(shù)字通信系統(tǒng)最常采用的準(zhǔn)則。由于影響接收端差錯(cuò)概率的因素有多個(gè)，所以數(shù)字信號(hào)最佳接收的準(zhǔn)則也有多個(gè)。第五頁，共八十八頁，2022年，8月28日1.最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則數(shù)字通信系統(tǒng)誤碼率(差錯(cuò)概率)Pe=p(s1)ps1(s2)+p(s2)ps2(s1)使Pe最小的接收機(jī)就是一種最佳接收機(jī)又與之等價(jià)的若干準(zhǔn)則第六頁，共八十八頁，2022年，8月28日最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則設(shè)發(fā)送的符號(hào)為s1,s2,接收結(jié)果為y若條件概率P(s1/y)>P(s2/y),則判決為s1，

P(s1/y)<P(s2/y),則判決為s2該種判決最為理想第七頁，共八十八頁，2022年，8月28日似然函數(shù)的概念與數(shù)字通信系統(tǒng)的接收判決過程有關(guān)似然比準(zhǔn)則第八頁，共八十八頁，2022年，8月28日數(shù)字通信系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型第九頁，共八十八頁，2022年，8月28日在數(shù)字通信系統(tǒng)中，消息是離散的狀態(tài)，設(shè)消息的狀態(tài)集合為X={x1,x2,…,xm}若消息集合中每一狀態(tài)的發(fā)送是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，第i個(gè)狀態(tài)xi的出現(xiàn)概率為P(xi)，則消息X的一維概率分布為X1x2

…xmP(x1)P(x2)…P(xm)根據(jù)概率的性質(zhì)有第十頁，共八十八頁，2022年，8月28日

若消息各狀態(tài)x1,x2,…,xm出現(xiàn)的概率相等，則有

P(x1)=P(x2)=…=P(xm)=消息是各種物理量，本身不能直接在數(shù)字通信系統(tǒng)中進(jìn)行傳輸，因此需要將消息變換為相應(yīng)的電信號(hào)s(t)，用參數(shù)S來表示。將消息變換為信號(hào)可以有各種不同的變換關(guān)系，通常最直接的方法是建立消息與信號(hào)之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即消息xi與信號(hào)si(i=1,2，…，m)相對(duì)應(yīng)。這樣，信號(hào)集合S也由m個(gè)狀態(tài)所組成，即第十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

S={s1,s2,…,sm}

并且信號(hào)集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率與消息集合各狀態(tài)出現(xiàn)概率相等，即

P(s1)=P(x1)P(s2)=P(x2)P(sm)=P(xm)

…同時(shí)也有第十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日若消息各狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，則有P(s1)=P(s2)=…=P(sm)=P(si)是描述信號(hào)發(fā)送概率的參數(shù)，通常稱為先驗(yàn)概率，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的第一數(shù)據(jù)。信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。在前面各章分析系統(tǒng)抗噪聲性能時(shí)，用噪聲的一維概率密度函數(shù)來描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性,在本章最佳接收中，為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，采用噪聲的多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為第十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日

f(n)=f(n1,n2,…,nk)式中，n1,n2,…,nk為噪聲n在各時(shí)刻的可能取值。根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析理論我們知道，若噪聲是高斯白噪聲，則它在任意兩個(gè)時(shí)刻上得到的樣值都是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對(duì)其抽樣，則它在抽樣時(shí)刻上的樣值也是互不相關(guān)的，同時(shí)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。根據(jù)隨機(jī)信號(hào)分析，若隨機(jī)信號(hào)各樣值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則其k維聯(lián)合概率密度函數(shù)等于其k個(gè)一維概率密度函數(shù)的乘積，即

f(n1,n2,…,nk)=f(n1)f(n2)…f(nk)

第十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日式中，f(ni)是噪聲n在ti時(shí)刻的取值ni的一維概率密度函數(shù)，若ni的均值為零，方差為σ2n，則其一維概率密度函數(shù)為噪聲n的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為根據(jù)帕塞瓦爾定理，當(dāng)k很大時(shí)有第十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日信號(hào)通過信道疊加噪聲后到達(dá)觀察空間，觀察空間的觀察波形為

y=n+s由于在一個(gè)碼元期間T內(nèi)，信號(hào)集合中各狀態(tài)s1,s2,…,sm中之一被發(fā)送，因此在觀察期間T內(nèi)觀察波形為

y(t)=n(t)+si(t)(i=1,2,…,m)

由于n(t)是均值為零，方差為σ2n的高斯過程，則當(dāng)出現(xiàn)信號(hào)si(t)時(shí),y(t)的概率密度函數(shù)fsi(y)可表示為第十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

fsi(y)稱為似然函數(shù)，它是信號(hào)統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的第二數(shù)據(jù)。根據(jù)y(t)的統(tǒng)計(jì)特性，按照某種準(zhǔn)則，即可對(duì)y(t)作出判決，判決空間中可能出現(xiàn)的狀態(tài)r1,r2,…,rm與信號(hào)空間中的各狀態(tài)s1,s2,…,sm相對(duì)應(yīng)。第十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日在數(shù)字通信系統(tǒng)中，最直觀且最合理的準(zhǔn)則是“最小差錯(cuò)概率”準(zhǔn)則。由于在傳輸過程中，信號(hào)會(huì)受到畸變和噪聲的干擾，發(fā)送信號(hào)si(t)時(shí)不一定能判為ri出現(xiàn)，而是判決空間的所有狀態(tài)都可能出現(xiàn)。這樣將會(huì)造成錯(cuò)誤接收，我們期望錯(cuò)誤接收的概率愈小愈好。在噪聲干擾環(huán)境中，按照何種方法接收信號(hào)才能使得錯(cuò)誤概率最??？我們以二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)為例分析其原理。在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送信號(hào)只有兩種狀態(tài)，假設(shè)發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的先驗(yàn)概率分別為P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在觀察時(shí)刻的取值分別為a1和a2，出現(xiàn)s1(t)信號(hào)時(shí)y(t)的概率密度函數(shù)fs1(y)為第十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日

fs1(y)=同理，出現(xiàn)s2(t)信號(hào)時(shí)y(t)的概率密度函數(shù)fs2(y)為

fs1(y)和fs2(y)的曲線如圖所示。

第十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日fs1(y)和fs2(y)的曲線圖第二十頁，共八十八頁，2022年，8月28日若在觀察時(shí)刻得到的觀察值為yi，可依概率將yi判為r1或r2。在yi附近取一小區(qū)間Δa，yi在區(qū)間Δa內(nèi)屬于r1的概率為

第二十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日yi在相同區(qū)間Δa內(nèi)屬于r2的概率為可以看出，q1=即yi屬于r1的概率大于yi屬于r2的概率。因此，依大概率應(yīng)將yi判為r1出現(xiàn)。由于fs1(y)和fs2(y)的單調(diào)性質(zhì)，圖的判決過程可以簡化為如下的判決過程。第二十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日判決過程示意圖

第二十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日根據(jù)fs1(y)和fs2(y)的單調(diào)性質(zhì)，在圖y坐標(biāo)上可以找到一個(gè)劃分點(diǎn)y′0。在區(qū)間(-∞,y′0，q1＞q2；在區(qū)間(y′0,∞)，q1＜q2。根據(jù)圖所分析的判決原理，當(dāng)觀察時(shí)刻得到的觀察值yi∈(-∞,y′0)時(shí)，判為r1出現(xiàn)；若觀察時(shí)刻得到的觀察值yi∈(y′0,∞)時(shí)，判為r2出現(xiàn)。如果發(fā)送的是s1(t)，但是觀察時(shí)刻得到的觀察值yi落在(y′0,∞)區(qū)間,被判為r2出現(xiàn)，這時(shí)將造成錯(cuò)誤判決，其錯(cuò)誤概率為

Ps1(s2)=第二十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日同理，如果發(fā)送的是s2(t)，但是觀察時(shí)刻得到的觀察值yi落在(-∞,y′0)區(qū)間,被判為r1出現(xiàn)，這時(shí)也將造成錯(cuò)誤判決，其錯(cuò)誤概率為

Ps2(s1)=此時(shí)系統(tǒng)總的誤碼率為Pe=p(s1)ps1(s2)+p(s2)ps2(s1)=p(s1)可以看出，系統(tǒng)總的誤碼率與先驗(yàn)概率、似然函數(shù)及劃分點(diǎn)有關(guān)，第二十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)一定的情況下，系統(tǒng)總的誤碼率Pe是劃分點(diǎn)y′0的函數(shù)。不同的y′0將有不同的Pe，我們希望選擇一個(gè)劃分點(diǎn)y0使誤碼率Pe達(dá)到最小。使誤碼率Pe達(dá)到最小的劃分點(diǎn)y0稱為最佳劃分點(diǎn)。y0可以通過求Pe的最小值得到。即-P(s1)fs1(y0)+P(s2)fs2(y0)=0由此可得最佳劃分點(diǎn)將滿足如下方程:第二十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日判為s1判為s2在加性高斯白噪聲條件下，似然比準(zhǔn)則和最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則是等價(jià)的。似然比準(zhǔn)則第二十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日當(dāng)s1(t)和s2(t)的發(fā)送概率相等時(shí)，即P(s1)=P(s2)時(shí)，則有fs1(y)＞fs2(y),判為s1fs1(y)＜fs2(y),判為s2

其物理概念是，接收到的波形y中，哪個(gè)似然函數(shù)大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。

以上判決規(guī)則可以推廣到多進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，對(duì)于m個(gè)可能發(fā)送的信號(hào)，在先驗(yàn)概率相等時(shí)的最大似然準(zhǔn)則為最大似然準(zhǔn)則fsi(y)＞fsj(y),判為si(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m;i≠j)第二十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.最大輸出信噪比準(zhǔn)則由于信道信噪比r大小直接影響接收機(jī)誤碼率Pe，r增加，Pe減小；若r達(dá)到最大，則Pe達(dá)到最小，最終實(shí)現(xiàn)最佳接收。這就是最大輸出信噪比準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)證明，在接收機(jī)中加入匹配濾波器（MF)，MF能在某時(shí)刻給出最大輸出信噪比。第二十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.最小均方誤差準(zhǔn)則令(t)=x(t)-s(t)第三十頁，共八十八頁，2022年，8月28日§8.3確知信號(hào)的最佳接收機(jī)

所謂最佳接收機(jī)設(shè)計(jì)是指在一組給定的假設(shè)條件下，利用信號(hào)檢測(cè)理論給出滿足某種最佳準(zhǔn)則接收機(jī)的數(shù)學(xué)描述和組成原理框圖，而不涉及接收機(jī)各級(jí)的具體電路。第三十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日1.理想接收機(jī)-按照似然比準(zhǔn)則建立

其中相乘器與積分器構(gòu)成相關(guān)器。接收過程是分別計(jì)算觀察波形y(t)與s1(t)和s2(t)的相關(guān)函數(shù)，在抽樣時(shí)刻t=T，y(t)與哪個(gè)發(fā)送信號(hào)的相關(guān)值大就判為哪個(gè)信號(hào)出現(xiàn)。U1=lnP(s1)U2=lnP(s2)式中：第三十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日2.理想接收機(jī)的簡化結(jié)構(gòu)-相關(guān)接收機(jī)

如果發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的出現(xiàn)概率相等，即P(s1)=P(s2)，可得U1=U2。此時(shí)，兩個(gè)相加器可以省去，先驗(yàn)等概率情況下的二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)得到簡化。也稱相關(guān)檢測(cè)式最佳接收機(jī)第三十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日3.匹配濾波器式最佳接收機(jī)-按照最大輸出信噪比準(zhǔn)則建立

匹配濾波器可以看成是一個(gè)計(jì)算輸入信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)器。設(shè)發(fā)送信號(hào)為s(t)，則匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為h(t)=s(T-t)第三十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日數(shù)字信號(hào)接收等效原理圖推導(dǎo)匹配濾波器特性第三十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日為了使錯(cuò)誤判決概率盡可能小，就要選擇濾波器傳輸特性使濾波器輸出信噪比盡可能大的濾波器。當(dāng)選擇的濾波器傳輸特性使輸出信噪比達(dá)到最大值時(shí)，該濾波器就稱為輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。下面就來分析當(dāng)濾波器具有什么樣的特性時(shí)才能使輸出信噪比達(dá)到最大。分析模型圖,設(shè)輸出信噪比最大的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)為H(ω),濾波器輸入信號(hào)與噪聲的合成波為

r(t)=s(t)+n(t)式中，s(t)為輸入數(shù)字信號(hào)，其頻譜函數(shù)為S(ω)。n(t)為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度為。第三十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日由于該濾波器是線性濾波器，滿足線性疊加原理，因此濾波器輸出也由輸出信號(hào)和輸出噪聲兩部分組成，即

y(t)=so(t)+no(t)式中輸出信號(hào)的頻譜函數(shù)為So(ω)，其對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)為

so(t)=濾波器輸出噪聲的平均功率為第三十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日在抽樣時(shí)刻t0，線性濾波器輸出信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為

ro=由式可見，濾波器輸出信噪比ro與輸入信號(hào)的頻譜函數(shù)S(ω)和濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。在輸入信號(hào)給定的情況下，輸出信噪比ro只與濾波器的傳輸函數(shù)H(ω)有關(guān)。使輸出信噪比ro達(dá)到最大的傳輸函數(shù)H(ω)就是我們所要求的最佳濾波器的傳輸函數(shù)。采用施瓦茲(Schwartz)不等式可以容易地解決該問題。

第三十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日式中，X(ω)和Y(ω)都是實(shí)變量ω的復(fù)函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)X(ω)=KY*(ω)時(shí)式中等式才能成立。K為任意常數(shù)。將施瓦茲不等式代入，并令X(ω)=H(ω)Y(ω)=S(ω)ejωt0施瓦茲不等式為第三十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日可得ro=

根據(jù)帕塞瓦爾定理有第四十頁，共八十八頁，2022年，8月28日式中E為輸入信號(hào)的能量。代入式有ro≤式說明，線性濾波器所能給出的最大輸出信噪比為r0max=根據(jù)施瓦茲不等式中等號(hào)成立的條件X(ω)=KY*(ω)，可得不等式中等號(hào)成立的條件為

H(ω)=KS*(ω)e-jωt0

式中，K為常數(shù)，通常可選擇為K=1。S*(ω)是輸入信號(hào)頻譜函數(shù)S(ω)的復(fù)共軛。即為就是我們所要求的最佳線性濾波器的傳輸函數(shù)，該濾波器在給定時(shí)刻t0能獲得最大輸出信噪比。第四十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日這種濾波器的傳輸函數(shù)除相乘因子Ke-jωt0外，與信號(hào)頻譜的復(fù)共軛相一致，所以稱該濾波器為匹配濾波器。從匹配濾波器傳輸函數(shù)H(ω)所滿足的條件，我們也可以得到匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)：第四十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日即匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)為h(t)=Ks(t0-t)式表明，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)是輸入信號(hào)s(t)的鏡像函數(shù)，t0為輸出最大信噪比時(shí)刻。其形成原理如圖所示。對(duì)于因果系統(tǒng)，匹配濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足:h(t)=Ks(t0-t),t≥00,t＜0第四十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日匹配濾波器單位沖激響應(yīng)原理第四十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日關(guān)于匹配濾波器的特性在數(shù)字通信系統(tǒng)中，濾波器是其中重要部件之一，濾波器特性的選擇直接影響數(shù)字信號(hào)的恢復(fù)。在數(shù)字信號(hào)接收中，濾波器的作用有兩個(gè)方面，第一是使濾波器輸出有用信號(hào)成分盡可能強(qiáng)；第二是抑制信號(hào)帶外噪聲，使濾波器輸出噪聲成分盡可能小，減小噪聲對(duì)信號(hào)判決的影響。匹配濾波器滿足：H(ω)=KS*(ω)e-jωt0

第四十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日匹配濾波器舉例例：設(shè)輸入信號(hào)如圖所示，試求該信號(hào)的匹配濾波器傳輸函數(shù)和輸出信號(hào)波形。so(t)OTt2T2T23Ts(t)0Tt2T12Th(t)0Tt1第四十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日so(t)其他=可見，匹配濾波器的輸出在t=T時(shí)刻得到最大的能量E=。第四十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日匹配濾波器在抽樣時(shí)刻t=T時(shí)的輸出樣值與最佳接收機(jī)中相關(guān)器在t=T時(shí)的輸出樣值相等,因此在最小差錯(cuò)概率準(zhǔn)則下，相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價(jià)的。另外，無論是相關(guān)器還是匹配式接收機(jī),它們的比較器都是在t=T時(shí)刻才作出判決，也即在碼元結(jié)束時(shí)刻才能給出最佳判決結(jié)果。因此，判決時(shí)刻的任何偏差都將影響接收機(jī)的性能。關(guān)于最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)的說明第四十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日

由于相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)與匹配濾波器形式的最佳接收機(jī)是等價(jià)的，因此可以從兩者中的任一個(gè)出發(fā)來分析最佳接收機(jī)的誤碼性能。下面從相關(guān)器形式的最佳接收機(jī)角度來分析這個(gè)問題。最佳接收機(jī)輸出總的誤碼率為

Pe=P(s1)Ps1(s2)+P(s2)Ps2(s1)

其中,P(s1)和P(s2)是發(fā)送信號(hào)的先驗(yàn)概率。Ps1(s2)是發(fā)送s1(t)信號(hào)時(shí)錯(cuò)誤判決為s2(t)信號(hào)出現(xiàn)的概率；Ps2(s1)是發(fā)送s2(t)信號(hào)時(shí)錯(cuò)誤判決為s1(t)信號(hào)出現(xiàn)的概率?！?.4二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼性能第四十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日設(shè)發(fā)送信號(hào)為s1(t)，接收機(jī)輸入端合成波為y(t)=s1(t)+n(t)其中,n(t)是高斯白噪聲，其均值為零，方差為σ2n。若

U1+y(t)s1(t)dt＞U2+y(t)s2(t)dt則判為s1(t)出現(xiàn)，是正確判決。若

U1+則判為s2(t)出現(xiàn)，是錯(cuò)誤判決。將y(t)=s1(t)+n(t)代入式可得第五十頁，共八十八頁，2022年，8月28日U1+代入U(xiǎn)1=lnP(s1)和U2=lnP(s2)，并利用s1(t)和s2(t)能量相等的條件可得左邊設(shè)為隨機(jī)變量，令為ξ，即

ξ=上式右邊是常數(shù)，令為a,即第五十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日可簡化為ξ＜a判為s2(t)出現(xiàn)，產(chǎn)生錯(cuò)誤判決。則發(fā)送s1(t)將其錯(cuò)誤判決為s2(t)的條件簡化為ξ＜a事件，相應(yīng)的錯(cuò)誤概率為

Ps1(s2)=P(ξ＜a)

只要求出隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)，即可計(jì)算出式誤碼率。根據(jù)假設(shè)條件，n(t)是高斯隨機(jī)過程，其均值為零，方差為σ2n。根據(jù)隨機(jī)過程理論可知，高斯型隨機(jī)過程的積分是一個(gè)高斯型隨機(jī)變量。所以ξ是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，只要求出ξ的數(shù)學(xué)期望和方差，就可以得到ξ的概率密度函數(shù)。第五十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日ξ的數(shù)學(xué)期望為

E［ξ］=Eξ的方差為σ2ξ=D［ξ］=E［ξ2］=E式中E［n(t)n(τ)］為高斯白噪聲n(t)的自相關(guān)函數(shù)，由隨機(jī)信號(hào)分析可知

E［n(t)n(τ)］=δ(t-τ)=δ(0)

0t=t第五十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日將上面的結(jié)果代入前式于是可以寫出ξ的概率密度函數(shù)為至此,可得發(fā)送s1(t)將其錯(cuò)誤判決為s2(t)的概率為

利用相同的分析方法，可以得到發(fā)送s2(t)將其錯(cuò)誤判決為s1(t)的概率為第五十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日式中b為第五十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日最佳接收機(jī)誤碼率結(jié)果式中:為了分析方便，我們定義s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)為

式中,E是信號(hào)s1(t)和s2(t)在0≤t≤T期間的平均能量。當(dāng)s1(t)和s2(t)具有相等的能量時(shí)，有A越大，則誤碼率越小，抗噪性能越好。第五十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

E=E1=E2=Eb

將Eb和ρ代入得:

上式即為二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)誤碼率的一般表示式。它與信噪比及發(fā)送信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ有關(guān)。最佳接收機(jī)誤碼率結(jié)果（續(xù)）第五十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，

若互相關(guān)系數(shù)ρ=1，則誤碼率為討論

也就是說，當(dāng)發(fā)送二進(jìn)制信號(hào)s1(t)和s2(t)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)能達(dá)到最小誤碼率，此時(shí)的波形就稱為是最佳波形。當(dāng)互相關(guān)系數(shù)ρ=0時(shí)(正交)，誤碼率為第五十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日

若發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)是不等能量信號(hào)，如E1=0，E2=Eb，ρ=0，發(fā)送信號(hào)s1(t)和s2(t)的平均能量為E=Eb/2，在這種情況下，誤碼率表示式變?yōu)橛懻摰谖迨彭摚舶耸隧摚?022年，8月28日

分析在數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)誤碼率性能分析中我們知道，雙極性信號(hào)的誤碼率低于單極性信號(hào)，其原因之一就是雙極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，而單極性信號(hào)之間的互相關(guān)系數(shù)ρ=0。數(shù)字頻帶傳輸系統(tǒng)誤碼性能分析中，2PSK信號(hào)能使互相關(guān)系數(shù)ρ=-1，因此2PSK信號(hào)是最佳信號(hào)波形；2FSK和2ASK信號(hào)對(duì)應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)ρ=0,因此2PSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2FSK和2ASK系統(tǒng)；2FSK信號(hào)是等能量信號(hào)，而2ASK信號(hào)是不等能量信號(hào)，因此2FSK系統(tǒng)的誤碼率性能優(yōu)于2ASK系統(tǒng)。增加信號(hào)之間的距離可以提高通信系統(tǒng)的抗干擾能力。另外，相干解調(diào)接收機(jī)抗噪性能優(yōu)于非相干解調(diào)，因?yàn)橄喔山庹{(diào)接收機(jī)結(jié)構(gòu)類似于最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)（相關(guān)式）。第六十頁，共八十八頁，2022年，8月28日相干解調(diào)接收機(jī)結(jié)構(gòu)與最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)的比較BPFs2PSK(t)acLPFdbe抽樣判決器輸出coswct定時(shí)(b)相干解調(diào)接收機(jī)(a)相關(guān)式最佳接收機(jī)第六十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日

四、最佳接收機(jī)與實(shí)際接收機(jī)性能比較

實(shí)際接收機(jī)和最佳接收機(jī)誤碼性能一覽表如表?？梢钥闯觯瑑煞N結(jié)構(gòu)形式的接收機(jī)誤碼率表示式具有相同的數(shù)學(xué)形式，實(shí)際接收機(jī)中的信噪比r=與最佳接收機(jī)中的能量噪聲功率譜密度之比相對(duì)應(yīng)。第六十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日誤碼率公式一覽表

接收方式實(shí)際接收機(jī)誤碼率Pe

最佳接收機(jī)誤碼率Pe

相干PSK相干FSK相干ASK非相干ASK第六十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日r==最佳接收機(jī)與實(shí)際接收機(jī)性能比較（續(xù)）==

在實(shí)際接收機(jī)中，為使信號(hào)順利通過，帶通濾波器的帶寬必須滿足B＞。在此情況下，實(shí)際接收機(jī)性能比最佳接收機(jī)性能差。上述分析表明：在相同條件下，最佳接收機(jī)性能一定優(yōu)于實(shí)際接收機(jī)性能。第六十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日最佳接收理論的應(yīng)用最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)——相關(guān)式、匹配濾波式;最佳信號(hào)形式的設(shè)計(jì)——ρ=-1;加大信號(hào)點(diǎn)間距離d(或A)第六十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日§8.5隨相信號(hào)的最佳接收機(jī)確知信號(hào)最佳接收是信號(hào)檢測(cè)中的一種理想情況。實(shí)際中，由于種種原因，接收信號(hào)的各分量參數(shù)或多或少帶有隨機(jī)因素，因而在檢測(cè)時(shí)除了不可避免的噪聲會(huì)造成判決錯(cuò)誤外，信號(hào)參量的未知性使檢測(cè)錯(cuò)誤又增加了一個(gè)因素。因?yàn)檫@些參量并不攜帶有關(guān)假設(shè)的信息，其作用僅僅是妨礙檢測(cè)的進(jìn)行。造成隨參信號(hào)的原因很多，主要有：發(fā)射機(jī)振蕩器頻率不穩(wěn)定，信號(hào)在隨參信道中傳輸引起的畸變，雷達(dá)目標(biāo)信號(hào)反射等。第六十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

隨機(jī)相位信號(hào)簡稱隨相信號(hào)，是一種典型且簡單的隨參信號(hào)，其特點(diǎn)是接收信號(hào)的相位具有隨機(jī)性質(zhì)，如具有隨機(jī)相位的2FSK信號(hào)和具有隨機(jī)相位的2ASK信號(hào)都屬于隨相信號(hào)。對(duì)于隨相信號(hào)最佳接收問題的分析，與確知信號(hào)最佳接收的分析思路是一致的。但是，由于隨相信號(hào)具有隨機(jī)相位，使得問題的分析顯得更復(fù)雜一些，最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)形式也比確知信號(hào)最佳接收機(jī)復(fù)雜。第六十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

二進(jìn)制隨相信號(hào)具有多種形式，我們以具有隨機(jī)相位的2FSK信號(hào)為例展開分析。設(shè)發(fā)送的兩個(gè)隨相信號(hào)為s1(t,φ1)=Acos(ω1t+0s2(t,φ2)=Acos(ω2t+φ2),0≤t≤T00tT,

其他0tT,

其他式中，ω1和ω2為滿足正交條件的兩個(gè)載波角頻率；φ1和φ2是每一個(gè)信號(hào)的隨機(jī)相位參數(shù)，它們的取值在區(qū)間［0,2π］上服從均勻分布，即一、二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)第六十八頁，共八十八頁，2022年，8月28日0≤φ1≤2π其他f(φ2)=0≤φ1≤2π其他s1(t,φ1)和s2(t,φ2)持續(xù)時(shí)間為(0,T)，且能量相等，即Eb=E1=E2=假設(shè)信道是加性高斯白噪聲信道，則接收機(jī)輸入端合成波為y(t)=s1(t,φ1)+n(t),發(fā)送s1(t,φ1)時(shí)

s2(t,φ2)+n(t),發(fā)送s2(t,φ2)時(shí)第六十九頁，共八十八頁，2022年，8月28日

在確知信號(hào)的最佳接收中，通過似然比準(zhǔn)則可以得到最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)。然而在隨相信號(hào)的最佳接收中，接收機(jī)輸入端合成波y(t)中除了加性高斯白噪聲之外，還有隨機(jī)相位，因此不能直接給出似然函數(shù)fs1(y)和fs2(y)。此時(shí)，可以先求出在給定相位φ1和φ2的條件下關(guān)于y(t)的條件似然函數(shù)fs1(y/φ1)和fs2(y/φ2)，即

fs1(y/φ1)=fs2(y/φ2)=由概率論知識(shí)可得第七十頁，共八十八頁，2022年，8月28日fs1(y/φ1)=式中第七十一頁，共八十八頁，2022年，8月28日為常數(shù)。令隨機(jī)變量ξ(φ1)為式中:第七十二頁，共八十八頁，2022年，8月28日于是，式可表示為fs1(y)式中，K為常數(shù)，為零階修正貝塞爾函數(shù)。同理可得，出現(xiàn)s2(t)時(shí)y(t)的似然函數(shù)fs2(y)為第七十三頁，共八十八頁，2022年，8月28日fs2(y)=代入M1和M2的具體表示式可得:第七十四頁，共八十八頁，2022年，8月28日

假設(shè)發(fā)送信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)的先驗(yàn)概率相等，采用最大似然準(zhǔn)則對(duì)觀察空間樣值作出判決，即fs1(y)＞fs2(y),判為s1fs1(y)＜fs2(y),判為s2

判為s2代入式可得:判為S2判決式兩邊約去常數(shù)K后有判為S1第七十五頁，共八十八頁，2022年，8月28日判為S2

根據(jù)零階修正貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)可知，I0(x)是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，若函數(shù)I0(x2)＞I0(x1)，則有x2＞x1。根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)大小作出判決，可以簡化為根據(jù)比較零階修正貝塞爾函數(shù)自變量的大小作出判決。此時(shí)判決規(guī)則簡化為M1＞M2,判為S1M1＜M2,判為s2

第七十六頁，共八十八頁，2022年，8月28日

判決式兩邊約去常數(shù)并代入M1和M2的具體表示式后有M1＞M2,判為s1M1＜M2,判為s2

即判為s1,而第七十七頁，共八十八頁，2022年，8月28日

就是對(duì)二進(jìn)制隨相信號(hào)進(jìn)行判決的數(shù)學(xué)關(guān)系式，根據(jù)以上二式可構(gòu)成二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)如圖所示。上述最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)形式是相關(guān)器結(jié)構(gòu)形式?？梢钥闯?，二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)比二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜很多，實(shí)際中實(shí)現(xiàn)也較復(fù)雜。與二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)分析相類似，可以采用匹配濾波器對(duì)二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化。由于接收機(jī)輸入信號(hào)s1(t,φ1)和s2(t,φ2)包