線性系統(tǒng)的可控性和可觀性

線性系統(tǒng)的可控性和可觀性摘要：線性系統(tǒng)的可控性和可控性是線性系統(tǒng)最基本的概念。本文從這個(gè)基本概念著手，介紹了線性系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形和可觀標(biāo)準(zhǔn)形，并且對(duì)系統(tǒng)可控性和可觀性的判據(jù)做了詳細(xì)的介紹。本文的研究有利于對(duì)線性系統(tǒng)可控性和可觀性的知識(shí)體系有一個(gè)比較好的了解，對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代控制理論提供一個(gè)扎實(shí)的基礎(chǔ)，同時(shí)通過對(duì)相關(guān)知識(shí)的歸納總結(jié)，為以后的學(xué)習(xí)研究提供了一個(gè)好的方法。通過對(duì)其中大量高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，可以提高應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解決相關(guān)問題的意識(shí)與能力。關(guān)鍵詞:線性系統(tǒng)；可控性；可觀性LinearsystemcontrollabilityandobservabilityHouShiboLiuYingruiWanglinlinLinHuanAbstact:Controllabilityoflinearsystemsandcontrolisthemostbasicconceptsoflinearsystems.Thispaperstartedfromthisbasicconcept,introducedtheformoflinearsystemcontrollabilityandobservabilityofthestandardnormalform,andthesystemcontrollabilityandobservabilitycriterionforadetaileddescription.Thisstudyisbeneficialtothelinearsystemcontrollabilityandobservabilityofknowledgehaveabetterunderstandingofthefurtherstudyofmoderncontroltheoryprovidesasolidfoundation,throughsummarizedtherelevantknowledgeforthefutureoflearningStudyprovidesagoodmethod.Throughwhichalargenumberoflearningandapplicationofadvancedmathematics,appliedmathematicscanimproveawarenessoftheproblemsolvingandcapacity-related.Keywords:Linearsystem；Controllable；Observability0引言在控制工程中，有兩個(gè)問題經(jīng)常引起設(shè)計(jì)者的關(guān)心。那就是加入適當(dāng)?shù)目刂谱饔煤?，能否在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉(zhuǎn)移）到希望的狀態(tài)上，以通過對(duì)系統(tǒng)輸出在一段時(shí)間內(nèi)的觀測(cè)，能否判斷（識(shí)別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能控性與能觀性問題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現(xiàn)代理論中很重要的兩個(gè)概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng)中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則最優(yōu)控制問題的解是不存在的[1]。1可控性能控性所考察的只是系統(tǒng)在控制作用的控制下，狀態(tài)矢量的轉(zhuǎn)移情況，而與輸出無(wú)關(guān)，所以只需從狀態(tài)方程的研究出發(fā)即可。1.1線性連續(xù)定常系統(tǒng)的可控性定義線性連續(xù)定常系統(tǒng)（1）如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)，轉(zhuǎn)移到指定的任意終端狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是能控的[2]。1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性連續(xù)定常單輸入系統(tǒng)（2）其可控的充分必要條件是由構(gòu)成的能控性矩陣（3）滿秩，即。否則當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為不能控的。下面來推導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的條件，在不失一般性的條件下，假設(shè)終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，并設(shè)初始時(shí)間為零，即。方程（1）的解為由能控性定義，可得即（4）注意到可寫成（5）將方程（5）代入方程（4）中，可得（6）設(shè)那么方程（6）變?yōu)椋?）要是系統(tǒng)能控，則對(duì)任意給定的初始狀態(tài)，應(yīng)能從式（7）解出來，因此，必須保證的逆存在，亦即其秩必須等于。同理，可以證明，對(duì)于多輸入系統(tǒng)（8）其能控的充分必要條件是由構(gòu)成的能控性矩陣（9）滿秩，即。否則當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為不能控的。需要注意的是，對(duì)于單輸入系統(tǒng)，陣為的方陣，與的行列式的值不為零是等價(jià)的，故可以通過計(jì)算的行列式的值是否為零來判斷是否滿秩。而對(duì)于多輸入系統(tǒng)，此時(shí)為的矩陣，其秩的確定一般的說要復(fù)雜一些。由于矩陣和積是方陣，而它的秩等價(jià)于的秩，因此可以通過計(jì)算方陣的秩來確定的秩[3]。2可觀性控制系統(tǒng)大多采用反饋控制形式。在現(xiàn)代控制理論中，其反饋信息是由系統(tǒng)的狀態(tài)變量組合而成。但并非所有的系統(tǒng)的狀態(tài)變量在物理上都能測(cè)取到，于是便提出能否通過對(duì)輸出的測(cè)量獲得全部狀態(tài)變量的信息，這便是系統(tǒng)的能觀測(cè)問題2.1可觀性概念能觀性表示的是輸出反映狀態(tài)矢量的能力，與控制作用沒有直接關(guān)系，所以分析能觀性問題時(shí)，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)，即（10）如果對(duì)任意給定的輸入，在有限的觀測(cè)時(shí)間，使得根據(jù)期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)，則稱狀態(tài)是能觀的。若系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)都是能觀的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的[4]。2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀性判據(jù)線性連續(xù)定常系統(tǒng)（11）其能觀的充分必要條件是由構(gòu)成的能觀性矩陣（12）滿秩，即。否則當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)為不能觀的。證明由式（11）可以求得由于我們可得（13）因此，根據(jù)在時(shí)間區(qū)間測(cè)量到的，要能從式（13）唯一地確定，即完全能觀的充要條件是矩陣滿秩。同樣，對(duì)于單輸出系統(tǒng)，陣為的方陣，與的行列式的值不為零是等價(jià)的，故可以通過計(jì)算的行列式的值是否為零來判斷是否滿秩。而對(duì)于多輸出系統(tǒng)，此時(shí)為的矩陣，由于矩陣和積是方陣，而它的秩等價(jià)于的秩，因此可以通過計(jì)算方陣的秩來確定的秩。3可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀標(biāo)準(zhǔn)型由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)也不是唯一的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問題的需要，將狀態(tài)空間表達(dá)式化成相應(yīng)的幾種標(biāo)準(zhǔn)形式：如約旦標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)于狀態(tài)反饋來說比較方便，而能觀標(biāo)準(zhǔn)型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。無(wú)論選用哪種標(biāo)準(zhǔn)形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行非奇異線性變換，而且關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。這樣做的理論依據(jù)是非奇異變換不改變系統(tǒng)的自然模態(tài)及能控性，能觀性，而且只有系統(tǒng)完全能控（能觀）才能化成能控（能觀）標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)于一個(gè)傳遞函數(shù)為： （14）的系統(tǒng)，可以證明，當(dāng)其無(wú)相消的零極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)一定能控能觀，則可直接由傳遞函數(shù)寫出其能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型[5]。3.1可控標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14），則可直接寫出其能控標(biāo)準(zhǔn)型：（15）如果給定的能控系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達(dá)式描述的，且并不具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的形式，則可用下面的方法將其化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：（16）若系統(tǒng)是完全能控的，則存在線性非奇異變換，（17）（18）其中為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達(dá)式（16）化為：（19）其中（20）（21）（22）能控的。3.2可觀性標(biāo)準(zhǔn)型當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如式（14），則可直接寫出其能觀標(biāo)準(zhǔn)型：（23）當(dāng)給定的能觀系統(tǒng)是用狀態(tài)空間表達(dá)式描述的，且并不是能觀標(biāo)準(zhǔn)型，同樣可用下面的方法將其變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:（24）若系統(tǒng)是完全能觀的，則存在線性非奇異變換，（25）（26）其中為系統(tǒng)特征多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)。使其狀態(tài)空間表達(dá)式（14）化為：其中（27）（28）（29）4結(jié)束語(yǔ)運(yùn)用歸納總結(jié)的方式介紹了線性系統(tǒng)的可控性和可觀性的概念，標(biāo)準(zhǔn)形式及他的判據(jù)，并給出了證明的過程。從而可以讓我們對(duì)線性系統(tǒng)的能控性的知識(shí)體系有一個(gè)比較全面的了解，對(duì)于學(xué)習(xí)自動(dòng)控制的初學(xué)者來說是一種較好的方法。在介紹判據(jù)內(nèi)容時(shí)我們歸納了一些比較實(shí)用的判斷方法，特別是對(duì)于矩陣的秩比較大時(shí)，用一般的方法計(jì)算就會(huì)較復(fù)雜，而用上面的新方法則會(huì)使計(jì)