一道平面幾何證明題的數(shù)學(xué)啟示

一道平面幾何證明題的數(shù)學(xué)啟示有些平面幾何題，初看平淡無奇，細(xì)想時卻蘊藏著豐富的教育價值．高明的教師，一旦根據(jù)學(xué)生的思維實際，結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容，科學(xué)的使用和巧妙的改造，這些題目便會放出奇光異彩．本文擬就一道平面幾何證明題，談自己在教學(xué)過程的一些作法與體會，請教于廣大同仁．題目：如圖1，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB上任意一點，E是AC延長線上的一點，且BD＝CE，連結(jié)DE交BC于F．求證：FD＝FE．在平面幾何第三章“三角形”的復(fù)習(xí)課中，我將此題作為例題，經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生分析，得到如下兩種證法．證法1：過點D作DM∥AC交BC于M，然后證△DNF≌△ECF，則有FD＝FE．證法2：過點E作EN∥AB交BC的延長線于N，然后證△BDF≌△NEF，則有FD＝FE．通過此次講解，不僅以題帶面復(fù)習(xí)了“三角形”一章的有關(guān)知識，而且使學(xué)生掌握了“利用平行線構(gòu)造全等三角形來證線段相等”這一重要證明方法．時隔不久，在進(jìn)行第四章“四邊形”的復(fù)習(xí)課中，我又出示此題．這時，班里的“語文小博士”馬上站起來說：“老師，這道題我們早就會證啦，您還拿來給我們做，真是老調(diào)重彈！”引來同學(xué)們哄堂大笑．我說：“你能說出過去證明此題的方法嗎？”“能！”“好，說說看．”果然他能簡潔地說出前面學(xué)過的兩種證法，我給予肯定與贊揚．然后說：“你還有新的證法嗎？”約過二分鐘，不見他回答，我示意他坐下．經(jīng)老師點撥與啟發(fā)，同學(xué)們又發(fā)現(xiàn)如下兩種證法．證法3：過點D作DM∥AC交BC于M，連DC、ME，如圖2．易證明DMCE．四邊形DMEC為平行四邊形．∴FD＝FE．證法4：過點D作DN∥BC交AC于N，如圖2，易證得課后小結(jié)時，我要求學(xué)生認(rèn)真地比較四種證法的利弊與根據(jù)．之后，語重心長地說；“一首好的曲子，百彈不厭，一道好的數(shù)學(xué)題，能激發(fā)人的興趣，啟迪人的思維，這不是老調(diào)重彈，而是老師在教學(xué)過程中一題多用．”聽了老師的肺腑之言，同學(xué)們都低下了頭，“語文小博士”很快說：“這叫做溫故而知新．”是啊，這一堂課教育與教學(xué)都取得了大豐收！初二第二學(xué)期中，我在復(fù)習(xí)第五章“相似三角形”時，再次出示此題，這一次，因為大家已明白老師的意圖，很快就進(jìn)行熱烈的議論與認(rèn)真的分析，又發(fā)現(xiàn)如下證法．證法5：過點F作FM∥BA，交AC于M，如圖3，設(shè)FM＝m，易證FM＝CM＝m，又設(shè)BD＝CE＝n，AB＝AC＝a，則有即F為ED的中點，∴FD＝FE．接著，我一邊演示、畫圖，一邊說：“若將此題中的條件AB＝AC去掉，點D還是AB上任一點，直線DE繞點D向上旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE和AC交于點F，與BC的延長線交于E，且BD＝FC時，如圖4，求證：AC·FE＝AB·DE”．稍微留心的學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，這是《幾何》第二冊P．264復(fù)習(xí)題五第20題．師生共同分析，得到如下兩種證法．簡證1：過D作DN∥AC交BC于N，如圖4，簡證2：過點F作FM∥AB交BC于M，如圖4，又BD＝FC，緊接著我又趁熱打鐵，問：“還有其他證法嗎？比一比，看誰先發(fā)現(xiàn)？”同學(xué)們又進(jìn)行議論、分析，約過二三分鐘，尚未有人回答．于是我啟發(fā)說：“大家想想，你們在課外書上見到的定理中，有否與此題的題設(shè)、圖形特征相關(guān)的，不妨用來試試？”又過兩分?jǐn)?shù)，班里的“數(shù)學(xué)小博士”站了起來，慢條斯理地道出他的證法．簡證3：把BCE看作是截△ADF三邊的直線，如圖4，由梅內(nèi)勞斯定理可證．（略）巧妙的證明，簡潔的敘述，給人以數(shù)學(xué)美的感受，同學(xué)們贊嘆不已，教學(xué)過程進(jìn)入最佳狀態(tài)．抓住這一時機(jī)，我簡要地講述了梅內(nèi)勞斯定理，并要求學(xué)生試用此定理證明原題目，結(jié)果又得到了如下簡捷的證法．證法6：把BFC看作是截△EAD的三邊的直線，如圖1，由梅內(nèi)勞斯定理得到了初三，在復(fù)習(xí)平面直角坐標(biāo)和正弦定理等有關(guān)知識時，我第四次選用此題作為例題，師生共同分析，又得出三種不同的證法，由于篇幅有限，只寫出其中的一種．證法7：在△FBD和△FEC中，如圖5，由正弦定理分別得∵∠3＝180°－∠ACB＝180°－∠B，∠1＝∠2，sin∠3＝sin∠B，sin∠1＝sin∠2，又BD＝CE，比較①、②兩式，得FD＝FE．至此，在跨時兩年的教學(xué)過程中，我多次根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、合理地選用這道平面幾何題作例題，共給出九種不同的證法，可謂一題多用、一題多解和一題多變．在結(jié)束講解此題的那一課后，我有意留給學(xué)生如下兩道思考題：1．你還能給出此題的其他證法嗎？2．從此題的講解過程中，你學(xué)到了哪些證明幾何命題的方法？受到什么啟示？請把自己的體會寫成一篇小論文．事實雄辯地證明：教師只要根據(jù)學(xué)生實際、教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)地使用習(xí)題，