量子力學(xué)期末考試試卷及答案集

PAGEPAGE10/10量子力學(xué)試題集量子力學(xué)期末試題及答案（A)選擇題（每題3分共36分)1A.黑體在紫外線部分輻射無限大的能量B。黑體在紫外線部分不輻射能量；C.經(jīng)典電磁場理論不適用于黑體輻射公式;D。黑體輻射在紫外線部分才適用于經(jīng)典電磁場理論。2．關(guān)于波函數(shù)Ψ的含義，正確的是：B。Ψ代表微觀粒子的幾率密度；B.Ψ歸一化后，代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度；C。Ψ一定是實(shí)數(shù)；D。Ψ一定不連續(xù)。對(duì)于偏振光通過偏振片，量子論的解釋是:DA.偏振光子的一部分通過偏振片；B。偏振光子先改變偏振方向，再通過偏振片;C.偏振光子通過偏振片的幾率是不可知的;D.每個(gè)光子以一定的幾率通過偏振片.4．對(duì)于一維的薛定諤方程，如果Ψ一定也是該方程的一個(gè)解；一定不是該方程的解；Ψ與一定等價(jià)；D。無任何結(jié)論。5粒子在勢(shì)壘中有確定的軌跡；B。粒子在勢(shì)壘中有負(fù)的動(dòng)能;C。粒子以一定的幾率穿過勢(shì)壘；D粒子不能穿過勢(shì)壘。如果以表示角動(dòng)量算符,則對(duì)易運(yùn)算為：BihB。ihC。iD.h=A。一定不是的本征態(tài)；一定是的本征態(tài)；一定是的本征態(tài)；∣Ψ∣一定是的本征態(tài)。如果一個(gè)力學(xué)量與對(duì)易，則意味著：CB。一定不處于本征態(tài);C.一定守恒；D。其本征值出現(xiàn)的幾率會(huì)變化。9．與空間平移對(duì)稱性相對(duì)應(yīng)的是：BA。能量守恒；B。動(dòng)量守恒；CD.宇稱守恒。n=2-3.4ev，則n=5A.-1.51ev;B.—0.85ev;D.-0.544evl=N-2n(N+）h下，簡并度為：BA。;；C。N（N+1）;D。(N+1)（n+2）12。自旋單態(tài)；B.自旋反對(duì)稱態(tài);C。自旋三態(tài)；D二填空題（每題4分共24分）如果已知?dú)湓拥碾娮幽芰繛?，則電子由n=5躍遷到n=4能級(jí)時(shí)，發(fā)出的光子能量為：-———-——————，光的波長為———-———-—-——。=———-——-—————-—，任意時(shí)刻的波函數(shù)為————————--—-.在一維勢(shì)阱(或勢(shì)壘）中，在x=x點(diǎn)波函數(shù)—————-——（連續(xù)或不連續(xù)--————-——（連續(xù)或不連續(xù))。如果選用的函數(shù)空間基矢為,Dirac符號(hào)表示為——--—--—-符在態(tài)中的平均值的表示為————————-—.5．在量子力學(xué)中，波函數(shù)在算符操作下具有對(duì)稱性,含義是-—————————--—--————-—-—，與對(duì)應(yīng)的守恒量一定是————-———--算符.6．金屬鈉光譜的雙線結(jié)構(gòu)是——-—-————-——————————，產(chǎn)生的原因是—-—-————-—-————-—.三計(jì)算題（40分）設(shè)粒子在一維無限深勢(shì)阱中，該勢(shì)阱為:V（x)=0,0≤x≤a，V（x）=∞,x〈0x>0，求粒子的能量和波函數(shù)。（10分）（10分）（10分）4。4個(gè)玻色子占據(jù)3個(gè)單態(tài)，,把所有滿足對(duì)稱性要求的態(tài)寫出來。（10分）B卷（25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)？（4分)2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)?(6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。(6分)5（5分（15分),且,求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3ABS三、(15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài)，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值.2（15分）當(dāng)為一小量時(shí),利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項(xiàng),本征矢至的一次項(xiàng).（10分）.態(tài).一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù),本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài);坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是:，將其代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值,由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù).以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值,令，則有，這個(gè)關(guān)系式稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系.時(shí)間和能量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：A表象中算符的矩陣是，利用得:;由于，所以，;令，(為任意實(shí)常數(shù)）A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為:即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，對(duì)有，對(duì)有:所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3ABA三、解:1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：，當(dāng)時(shí)有:，于是時(shí)的波函數(shù)可寫成:，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為:,能量的平均值為：2、時(shí)體系波函數(shù)顯然,結(jié)果完全相同。能量的零級(jí)近似為：,，，，所以體系近似到二級(jí)的能量為:，1、23，,利用波函數(shù)的一級(jí)修正公式，可求出波函數(shù)的一級(jí)修正為，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱函數(shù)。以表示第個(gè)粒子的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)，體系可能的狀態(tài)有以下四個(gè)：1)（2）（3)；(4)一、(20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài)其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)求能量及自旋分量的取值概率與平均值寫出時(shí)的波函數(shù)解已知?dú)湓拥谋菊髦禐閷r(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式利用歸一化條件于是,歸一化后的波函數(shù)為能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為能量平均值為自旋分量的可能取值為,相應(yīng)的取值幾率為自旋分量的平均值為時(shí)的波函數(shù)二。（20分)質(zhì)量為的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)

, （1）（2）（3）（4）(5）（6）（7）(8）（9)解對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，利用波函數(shù)再處的連接條件知，，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件

（1）(2）(3)得到于是有此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于

(6）

(4)（5）故最后得到勢(shì)阱的寬度（20分）（1）任意角動(dòng)量算符滿足。證明對(duì)分量有

(8）

（7)同理可知，對(duì)與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。證明在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為而投影算符的共軛算符的矩陣元為顯然,兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系.證明四（20分) 在與表象中在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中分別計(jì)算算符與的矩陣元進(jìn)而求它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解由于在自身表象中，故是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元為相應(yīng)的本征值,于是有相應(yīng)的本征解為對(duì)于算符、而言，需要用到升降算符,即而當(dāng)時(shí),顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且，

(1）（2）（3）（4）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即于是得到算符、的矩陣形式如下滿足的本征方程為相應(yīng)的久期方程為將其化為得到三個(gè)本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為滿足的本征方程為相應(yīng)的久期方程為將其化為得到三個(gè)本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為

（5）（6）(7）（8）（9）（12)（13）（14）（15）(16)（17）五(20分) 由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧子的坐標(biāo)后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為式中,。解體系的哈密頓算符為其中已知的解為其中

（1）(2）（3）（4）將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來利用公式

（5）可知顯然,求和號(hào)中不為零的矩陣元只有于是得到基態(tài)能量的二級(jí)修正為第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級(jí)修正滿足的久期方程為其中將上式代入（10）式得到整理之,滿足于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級(jí)修正為

（6）(7）(8)（9）（10）（12）（13）（14）微觀粒子具有波粒 二象性.德布羅意關(guān)系是粒子能量、動(dòng)量P與頻率、波之間的關(guān)系，其表達(dá)式為： E=, p=.x—dx量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米 算符表示。坐標(biāo)的分量算符和動(dòng)量的分量算符的對(duì)易關(guān)系為：。量子力學(xué)關(guān)于測(cè)量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函數(shù)（x）所描寫的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量某力學(xué)量F所得數(shù)值,必定是算符的本征值 。定態(tài)波函數(shù)的形式為：。一個(gè)力學(xué)量為守恒量的條件是：不顯含時(shí)間,且與哈密頓算符對(duì)易 。根據(jù)全同性原理,_反對(duì)稱的 ，玻色子體系的波函數(shù)_對(duì)稱的 _。每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為： 。1（10分）利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，證明軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系：證明：2（10分）Schr?dinger證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明:考慮Schr?dinger方程及其共軛式：在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：1（10分)設(shè)氫原子處于狀態(tài)E、角動(dòng)量平方L2ZLZ解:在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動(dòng)量平方有確定值為角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為

，幾率為1，2（10分）求角動(dòng)量z分量 的本征值和本征函數(shù)解：波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等,即：求歸一化系數(shù)最后，得Lz

的本征函數(shù)3（20）某量子體系Hamiltonc〈<1，應(yīng)用微擾論求H10級(jí)和微擾HamiltonH是對(duì)角矩陣，是HamiltonH在自身表象中的形式。所以能量的0級(jí)近似為:0 0E1（0)=1E2(0）=3E3（0）=—2由非簡并微擾公式得能量一級(jí)修正：能量二級(jí)修正為：二級(jí)近似下能量本征值為：量子力學(xué)期末試題及答案（B）一、填空題：1、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、連續(xù)性、有限性。2、|Ψ(r，t)|^2的物理意義：t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在r處的概率密度.3、一個(gè)量的本征值對(duì)應(yīng)多個(gè)本征態(tài)，這樣的態(tài)稱為簡并.4、兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符對(duì)易，它們具有共同的確定值。二、簡答題：1、簡述力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符必須是線性厄米的。答：力學(xué)量的觀測(cè)值應(yīng)為實(shí)數(shù)，力學(xué)量在任何狀態(tài)下的觀測(cè)值就是在該狀態(tài)下的平均滿足態(tài)疊加原理,而要滿足態(tài)疊加原理，算符必須是線性算符.綜上所述,在量子力學(xué)中，能和可觀測(cè)的力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的算符必然是線性厄米算符。2、一個(gè)量子態(tài)分為本征態(tài)和非本征態(tài),這種說法確切嗎？（應(yīng)算符為B）就不是它的本征態(tài)，它們有各自的本征值,只有兩個(gè)算符彼此對(duì)易,才有共同的本征態(tài)。3、輻射譜線的位置和譜線的強(qiáng)度各決定于什么因素?答：某一單色光輻射的話可能吸收，也可能受激躍遷。譜線的位置決定于躍遷的頻率和躍遷的速度；譜線強(qiáng)度取決于始末態(tài)的能量差。三、證明題。2、證明概率流密度J不顯含時(shí)間。四、計(jì)算題。1、第二題：如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正。解:這種分布只對(duì)的區(qū)域有影響，對(duì)的區(qū)域無影響。據(jù)題意知其中是不考慮這種效應(yīng)的勢(shì)能分布，即為考慮這種效應(yīng)后的勢(shì)能分布，在區(qū)域，在區(qū)域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾,由它引起一級(jí)修正為（基態(tài)）∵,故?！嗟谌}其相應(yīng)的久期方程：即：由歸一化條件得：量子力學(xué)期末試題及答案(C）一、填空題1、黑體輻射揭示了經(jīng)典物理學(xué)的局限性。2、索末非提出的廣義量子化條件是3、一粒子有波函數(shù)由描寫,則=4、粒子在勢(shì)場U（r）中運(yùn)動(dòng),則粒子的哈密頓算符為5、量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。6、氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)中，對(duì)于n=2的能級(jí)由原來的一個(gè)能級(jí)分裂為３個(gè)子能級(jí)。7、1925年，烏論貝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脫（Goudsmit）提出每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S，它在任何方向的投影只能取兩個(gè)數(shù)值,即8、Pauli算符的反對(duì)易關(guān)系式是9、如果全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的,則組成該體系的全同粒子一定是費(fèi)米子10、在兩個(gè)電子的對(duì)稱自旋態(tài)中，的本征值是二、選擇題A6、么正矩陣S的定義是為（Ａ)ABC D7、在與時(shí)間有關(guān)的微擾理論問題中，體系的哈密頓算符由兩部分組成，即，其中和應(yīng)滿足的條件是（Ｂ）A與時(shí)間無關(guān)，與時(shí)間無關(guān) B與時(shí)間無與時(shí)間有關(guān)C與時(shí)間有關(guān)與時(shí)間有關(guān) D與時(shí)間有與時(shí)間無關(guān)8、自旋量子數(shù)S的值為（)A 1/4 B 3/4C /2 D 1/2B 19、Pauli算符的x分量的平方的本征值為（Ｂ）B 1A 0C i D 2i10、電子自旋角動(dòng)量的幺分量,算符表象中的矩陣表示為（Ｃ）A BCDC三、證明題求系