人教版數學八年級上冊期末試卷易錯題(Word版含答案)

人教版數學八年級上冊期末試卷易錯題（Word版含答案）一、八年級數學全等三角形解答題壓軸題（難）1Dmm+8B0n1．如圖，在平面直角坐標系中，點（，）在第二象限，點（，）在軸正半yDAxAOAOB2軸上，作⊥軸，垂足為，已知比的值大，四邊形的面積為．AOBD121mn（）求和的值．22CAODCABEAFBD（）如圖，為的中點，與相交于點，⊥，垂足為，求證：＝FAFDE．（）如圖，點在射線上，且＝，為延長線上一點，作∠HAN交軸于yGAGBHGB33GADN點，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．m4【答案】（1）（2）詳見解NBFB4析；（3）﹣＝（是定值），HGB即當點在的n2延長線上運動時，NB﹣HB的值不會發(fā)生變化．【解析】【分析】（1）由點，點的坐標和四邊形的面積為，D并可求出＝＝，利用SAS可證ADOA4OB2ABBD25可知，＝＝，＝，BAOBD12可列方程組，解方程組即可；（2）由（）1△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面積公式即可求證；（3）取OC＝，OB連接AC，根據對稱性可得∠ABC＝∠ACB，＝，證ABAC明△ABH≌△CAN，即可得到結論.【詳解】mn211解：（）由題意2nm8m12m4解得；n222（）如圖中，1由（）可知，（﹣4，），（，），（0﹣4，），4B02ADADOA4OB2∴＝＝，＝，ABBD25∴由勾股定理可得：＝＝，ACOC2∵＝＝，ACOB∴＝，∵∠DAC＝∠AOB＝，＝，90°ADOA∴△DAC≌△AOB（SAS），∴∠ADC＝∠BAO∵∠ADC+∠ACD＝，90°EAC+∠ACE＝，90°，∴∠AEC90°∴∠＝，∵AF⊥BD，DE⊥AB，11S＝?AB?AE＝?BD?AF，∴△ADB22ABBD∵＝，∴＝DEAF．（3）解：如圖，?。剑B接AC，根據對稱性可得OCOB∠ABCACBABAC＝∠，＝，AGBG∵＝，∴∠GAB＝∠GBA，∵G為射線AD上的一點，∴AG∥y軸，∴∠GAB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠EBA，∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，即∠ABG＝∠ACN，∵∠GAN＝∠GBO，∴∠AGB＝∠ANC，在△ABG與△ACN中，ABHACNAHBANC，ABAC∴△ABH≌△ACN（AAS），BFCN∴＝，NBHBNBCNBC2OB∴﹣＝﹣＝＝，OB2∵＝NBFB2×24∴﹣＝＝（是定值），HGBNBHB即當點在的延長線上運動時，﹣的值不會發(fā)生變化．【點睛】本題屬于三角形綜合題，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是相結合添加常用輔助線，構造圖形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．ABxyAa02．在平面直角坐標系中，直線分別交軸，軸于（，），（，），且滿足B0ba2+b2+4a﹣＝．8b+2001ab（）求，的值；2PAB（）點在直線的右側；且∠＝，APB45°Px1①若點在軸上（圖），則點的坐標為；P②若△ABPP為直角三角形，求點的坐標．1a【答案】（）＝﹣，＝；（）2b42①（，）；②P點坐標40422為（，），（，﹣）．2【解析】【分析】1（）利用非負數的性質解決問題即可．2（）①根據等腰直角三角形的性質即可解決問題．：如圖中，若∠ABP=90°，過點P作PC⊥OB，垂足BAP=90°，過點P作PD⊥OA，垂足為D．分別利用全等三角形的性質解決問題即可．【詳解】a+4a+4+b8b+1602為．如圖中，若C3②分兩種情形∠1（）∵﹣＝22a+2+b40∴（）（﹣）＝22a2b4∴＝﹣，＝．21（）①如圖中，∵∠APB＝，45°POB90°∠＝，OPOB4∴＝＝，P40∴（，）．40故答案為（，）．a2b4②∵＝﹣，＝OA2OB4∴＝＝又∵△ABP為直角三角形，∠APB＝45°ABP90°∴只有兩種情況，∠＝或∠BAP＝90°①如圖2中，若∠ABP＝90°，過點P作PC⊥OB，垂足為C．∴∠PCBBOA＝90°，＝∠又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如圖3中，若∠BAP＝90°，過點P作PD⊥OA，垂足為D．∴∠PDAAOB＝90°，＝∠又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DPA，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．綜上述，P點坐標為（4，2），（2，﹣2）．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．3．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經過點A，BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?∠BDA=∠AEC=∠BAC=,上,并且有如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.（3）拓展與應用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合）,點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀.【答案】（1）見解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形【解析】解：（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線，m∴∠BDA＝∠CEA=900．∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．又AB="AC"，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE="AE+AD="BD+CE．（2）成立．證明如下：∵∠BDA=∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180—0．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=，，AB=AC∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF為等邊三角形．理由如下：由（2）知，，，△ADB≌△CEABD=AE∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF為等邊三角形．1DE=DA+AE（）因為AAS△ADB≌△CEA，得出，，從而證得DA=ECAE=BD，故由證DE=BD+CE．2BD=AEAD=CEDE=DA+AE=EC+BD△ADB≌△CEA（）成立，仍然通過證明，得出，，所以．3∠ABF=∠CAF=60△ADB≌△CEA得，BD=AE∠DBA=∠CAE，由和均等邊三角形，得△ABF△ACF∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以FD=FE∠BFD=∠AFE∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600（）由FB=FA，，所以0△DBF≌△EAF，所以，，再根據△DEF得到是等邊三角形．ABCDBCDGFACF4．如圖，△中，是的中點，過點的直線交于，交的平行線于ACBGG點，⊥，交于點，連結EG、EF．DEDFABE1（）求證：BG＝CF；2（）請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由．BE+CFEF【答案】（1）詳見解析；（2）＞，證明詳見解析【解析】【分析】（1）先利用ASA判定△BGDCFD，從而得出BG=CF；（2）利用全等的性質可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得到EG=EF，兩邊之和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．【詳解】1BGAC解：（）∵∥，∴∠DBG＝∠DCF．∵D為BC的中點，BDCD∴＝又∵∠BDG＝∠CDF，在△BGD與△CFD中，DBGDCF∵BDCDBDGCDF∴△BGD≌△CFD（）ASA．∴BG＝CF．（）＞2BE+CFEF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．5．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點A向B運動，同時點Q在線段BD上由B向D運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當運動時間t=1（s），與△是否全等？說明理由，并直接判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；（2）將“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA”，P的運動速度Q的運動速度為能使△ACP與△BPQ全等（3）在圖2的基礎上延長AC，BD交于點E，使C，D分別是AE，BE中點，若點Q以（2）中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來速度從點A同時出發(fā)，針沿△ABE三P與點Q第一次相遇．P在線段AB上以3cm/s的速度，由△ACPBPQ其他條件不變．若點Q的運動速度與點不相等，當點多少時，.都逆時邊運動，求出經過多長時間點【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見解析；線段PC與線段PQ垂直（2）1或32（3）9s【解析】【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；（2ACP≌△BPQ①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組）由△，分兩種情況：求得答案即可．（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點，Q即點比點Q多走PB+BQ的路程，據此列出方P程，解這個方程即可求得．【詳解】（1t=1）當時，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，APBQAB在△ACP與△BPQ中，，ACBP∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠ACP=∠BPQ，APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∴∠∠CPQ=90°，則線段PC與線段PQ垂直.（2）設點Q的運動速度x,①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，912t，txtt3，解得x1②若△ACP≌△BPQ，則AC=BQ，AP=BP，9xtt12tt6解得3，x2t6t3綜上所述，存在或3使得△ACP與△BPQ全等.x1x2（3）因為VQ＜VP，只能是點P追上點Q，即點P比點Q多走PB+BQ的路程，設經過x秒后P與Q第一次相遇，∵AC=BD=9cm，C，D分別是AE，BD的中點；∴EB=EA=18cm.V=1當時，Q依題意得3x=x+2×9，解得x=9；3當VQ=時，23依題意得3x=x+2×9，2解得x=12.故經過9秒或12秒時P與Q第一次相遇.【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質與運算.二、八年級數學軸對稱解答題壓軸題（難）6．如圖，在ABC中，已知AD是邊上的中線，△BCBEACE是AD上一點，且，F，求證：AFEF．延長交AC于點BE【答案】證明見解析【解析】【分析】G，使得ADDG，連接，結合BG延長AD到點D是BC的中點，易證△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性質以及等量代換，得到△AEF中的兩個角相等，再根據等角對等邊證得AE=EF.【詳解】G，使得ADDG，連接．G，延長AD到點BG如圖，延長AD到點∵AD是BC邊上的中線，∴DCDB．在ADC和GDB中，△ADDGADCGDB（對頂角相等），DCDB∴ADC≌GDB（）．∴CADG，BGAC．又BEAC，△SAS∴BEBG．∴BEDG．∵BEDAEF∴AEFCAD，即AEFFAE∴AFEF．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，根據題意構造全等三角形是解答本題的關鍵.7．如圖，在平面直角坐標系中，點坐標為6,0y，點A是軸正半軸上一點，且Bm,0.AB10，點是軸上位于點右側的一個動點，設點的坐標為xPBPA（1）點的坐標為___________；（2）當△ABP是等腰三角形時，求點的坐標；PPEAB（3）如圖2，過點作交線段AB于點E，連接，若點關于直線的AOEOEBE_____________.（直接寫出答案）PAPE對稱點為，當點恰好落在直線上時，A7【答案】（1）；（）或或34250,84,06,0,0；（3）2【解析】【分析】（1）根據勾股定理可以求出AO的長，則可得出A的坐標；（2）分三種情況討論等腰三角形的情況，得出點P的坐標；（3）根據PEAB，點在直線上，得到EAGOPG，利用點，關于直線PEAAAOE對稱點，根據對稱性，可證O，可得OPOA8，AP82，EA''OPG設BEx，則有AE6x，根據勾股定理，有：BP2BE2EP2AP2AE2解之即可．【詳解】解：（1）∵點坐標為6,0，點是軸正半軸上一點，且AB10，yAB∴ABO是直角三角形，根據勾股定理有：AOAB2BO2102628，0,8∴點A的坐標為；（2）∵△ABP是等腰三角形，當BPAB時，如圖一所示：∴OPBPBO1064，4,0點的坐標是；∴P當APAB時，如圖二所示：∴OPBO66,0點的坐標是；∴P當APBP時，如圖三所示：OPx設，則有AP6x∴根據勾股定理有：2AO2APOP2即：86xx2227x3解之得：7∴點的坐標是3P,0；（）當3△ABP是鈍角三角形時，點不存在；A當△ABP是銳角三角形時，如圖四示：連接'，OA∵PEAB，點在直線上，PEA∴△AEG和GOP是直角三角形，EGAOPG，OGP∴EAG∵點A，關于直線OE對稱點，A根據對稱性，有，OAOA8EAEA''∴∴，FAEFAOEAGFA'OFAE'EAO'則有：∴OPGEAO'A'OP是等腰三角形，則有OPOA'8，∴APAO2OP2882282，設BEx，則有AE6x，根據勾股定理，有：BP2BE2EP2AP2AE2即：68282210xx22425解之得：BEx【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，涉及的知識點有：解方程，等腰三角形的判定與性質，對稱等知識點，能分類討論，熟練運用各性質定理，是解題的關鍵．8．八年級的小明同學通到這樣一道數學題目：△ABC為邊長為4的等邊三角形，E是邊AB邊上任意一動點，點D在CB的延長線上，且滿足AE＝BD．（1）如圖①，當點E為AB的中點時，DE＝；（2）如圖②，點E在運動過程中，DE與EC滿足什么數量關系？請說明理由；（3）如圖③，F是AC的中點，連接EF．在AB邊上是否存在點E，使得DE+EF值最?。咳舸嬖?，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．（直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半）【答案】（）；（2）DE＝CE，理由見解析；（3）這個最小值為；12327【解析】【分析】（1）如圖①，過點E作⊥于EHBCH，由等邊三角形的性質可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性質可求BH=1，EH3，由勾股定理可求解；（2）如圖②，過E作∥交于EFBCACF，可證△AEF是等邊三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可證△DBE≌△EFC，可得DE=CE；（3）如圖③，將△沿ABCAB翻折得到△ABC'，連接交于點E'，連接CE'，DE'，過C'FAB點F作⊥于FHAC'點H，由“SAS”可證△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得當點C'，點E'，點F三點共線時，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.【詳解】（1）如圖①，過點E作⊥于EHBCH，ABC4EAB∵△為邊長為的等邊三角形，點是的中點，AE=BE=2=DBABC=60∴∠BEH=30°，EHBC且⊥，∴，∠°，BH=1EH3BH∴，3，∴DH=DB+BH=2+1=3，DE∴29323.DH2EH故答案為：23；（2）DE=CE.EEFBC理由如下：如圖②，過作∥交AC于F.ABC∵△是等邊三角形，ABC=ACB=A=60AB=AC=BC.∴∠∠∠°，∵EF∥BC，∴∠∠AEF=ABC=60°，∠∠AFE=ACB=60°，AEF=AFE=A=60∴∠∠∠°，AEF∴△是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∴AB﹣AE=AC﹣AF，BE=CF.∴∵∠∠∠ABC=ACB=AFE=60°，DBE=EFC=120AE=EF=DB，，BE=CF∴∠∠°，且∴△DBE≌△EFC(SAS)，DE=CE∴，（3）如圖③，將△ABC沿AB翻折得到△，連接C'F交AB于點，連接CE'，，DE'過ABC'E'點F作FH⊥AC'于點H.ABCABABC'∵將△沿翻折得到△，∴AC=AC'=BC=BC'=4BAC=BAC'=60AE'=AE'，，∠∠°，且∴△ACE'≌△AC'E'(SAS)，∴C'E'=CE'，由（2）可知：DE'=CE'，∴C'E'=CE'=DE'.∵DE+EF=C'E+EF=C'E'+EF，∴當點C'，點E'，點F三點共線時，的值最小.DE+EF∵F是AC的中點，∴AF=CF=2，且HF⊥AC'，∠FAH=180°﹣∠CAB﹣∠C'AB=60°，∴，3AH3，AH=1HF∴C'H=4+1=5，C'F∴'CH2HF225327，∴的最小值為DE+EF27.【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，折疊的性質，添加恰當輔助線是解答本題的關鍵.39．定義：如果兩條線段將一個三角形分成個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三．．．．角形的三分線.36（1）圖①是頂角為的等腰三角形，這個三角形的三分線已經畫出，請你在圖②中用不36同于圖①的方法畫出頂角為的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）；4545請你在圖③中畫出頂角為的等腰三角形的三分（2）圖③是頂角為的等腰三角形，線，并標注每個等腰三角形頂角的度數.3ABC30（）中，，AD和DE是的三分線，點BCABCD在邊上，點E在BAC邊上，且，DECE，設cx，則所有可能的值為ADBDx_________.【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分線，再作底邊的平行線，即可得到三分線；(2)過底角定點作對邊的高，形成一個等腰直角三角形和一個直角三角形，然后再構造一個等腰直角三角形，即可.(3)根據題意，先確定30°角然后確定一邊為BA，一邊為BC，再固定BA的長，進而確定畫出示意圖，列出關于x的方程，即可得D點，分別考慮AD為等腰三角形的腰和底邊，到答案.【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖所示：（3）①當AD=AE時，如圖4，∵DECE，cx，∴∠EDB=x°，∴∠ADE=∠AED=2x°，∵ADBD，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x，解得：x=20；②當AD=DE時，如圖5，∵DECE，cx，∴∠EDB=x°，∴∠DAE=∠AED=2x°，∵ADBD，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.1802x(90x)，③當AE=DE時，則∠EAD=∠EDA=2∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴這種情況不存在.x∴所有可能的值為20或40.故答案是：20或40圖4圖5【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質定理的綜合應用，分類討論，畫出圖形，是解題的關鍵.10．（1）操作：如圖，在已知內角度數的三個三角形中，請用直尺從某一頂點畫一條線段，把原三角形分割成兩個等腰三角形，并在圖中標注相應的角的度數（）拓展，中，，∠A=45°，請把△ABC分割成三個等腰三角形，△ABC2AB=AC并在圖中標注相應的角的度數.（）思考在如圖所示的三角形中∠A=30°.點P和點Q分別是邊AC和BC上的兩個動點.分別連接BP和PQ把△ABC分割成三個三角形.△ABP，，若分割成的這三個三角△BPQ△PQC形都是等腰三角形，求∠C的度數所有可能值直接寫出答案即可.3123見解析；（）∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、【答案】（）見解析；（）40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，1根據垂直平分線的性質及外角的性質求出各角度數即可；（）分別作AB、BC的垂直平分線，交于點O，連接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC為等腰三角形，時，、PB=PQBP=BQ、QB=QP，2根據等腰三角形的性質及外角性質求出各角度數即可；（）分PB=PA、AB=AP、BA=BP3、、PQ=QCPC=QCPQ=PC等10種情況，根據等腰三角形的性質分別求出∠C的度數即可.【詳解】1（）在圖1、圖2、圖3中，分別作AB、AB、BC的垂直平分線，如圖1，∵∠ABC=23°，∠∴∠C=90°-23°=67°∵MN垂直平分AB，BAC=90°，，BD=AD∴，ABD∴△是等腰三角形，BAD=ABC=23°∴∠∠，ADC=2ABC=46°∴∠∠，∵∠BAC=90°，DAC=∠BAC-∠BAD=67°∴∠，∴∠DAC=∠C，DAC∴△是等腰三角形，同理：圖2中，∠，∠ADC=46°DAC=88°，∠C=46°，和△ABD△ACD是等腰三角形，圖3中，∠，∠，∠BCD=23°ADC=46°ACD=46°，和△BCD△ACD.是等腰三角形（2）作AB、BC的垂直平分線，交于點O，連接OA、OB、OC，∵點O是三角形∴OA=OB=OC，垂直平分線的交點，OABOACOBC∴△、△、△是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴是BC的垂直平分線，∴∠BAD=∠CAD=22.5°OBA=∠OAB=22.5°OCA=∠OAC=22.5°AD，∴∠，∠，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如圖，當PB=PA，，PB=PQPQ=CQ時，∵∠A=30°，，PB=PQ∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ∴∠PBQ=2∠C，，APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，∴∠解得：∠C=40°.②如圖，當PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ時，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴∠∴∠∠180°-4C+C=120°，解得：∠C=20°，③如圖，當PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP時，1∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=（180°-∠C），21∴∠PBQ=4（180°-∠C），1∴（180°-∠C）+∠C=120°，4解得：∠C=100°.④如圖，當PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP時，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如圖，當，，AB=APBP=BQPQ=QC時，∵∠A=30°，12（∴∠APB=180°-30°=75°），BP=BQPQ=CQ∵，，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠∴∠BQP=2∠C，PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.AB=APBQ=PQPC=QC⑥如圖，當，，時，1∴∠PQC=2∠PBCPQC=，∠2（180°-∠C），1∴∠PBC=（180°-∠C），41∴（180°-∠C）+∠C=75°，4解得：∠C=40°.AB=APBQ=PQPC=QP⑦如圖，當，，時，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧當，，AB=APBP=PQPQ=CQ時，∵，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，AB=BP∴∠C=25°；⑨當AB=BP，，BP=PQPQ=CQ時，AB=BP∵，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩當AB=BP，，BQ=PQPQ=CQ時，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，1∴∠C+∠C=30°，2解得：∠C=20°.綜上所述：∠C所有可能的值為10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【點睛】本題考查復雜作圖及等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題關鍵.三、八年級數學整式的乘法與因式分解解答題壓軸題（難）4ab11．如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）(ab)(ab)12（）觀察圖請你寫出ab______、之間的等量關系是；2、29（）根據（）中的結論，若，，則xy5xyxy______；214(2019m)2(m2020)27(2019)(mm2020).的值3（）拓展應用：若，求(ab)2(ab)24ab1【答案】（）2443-3；（），－：（）【解析】【分析】124（）觀察圖，大正方形由個矩形和一個小正方形組成，根據面積即可得到他們之間的.關系21(x-y)=16,（）由（）的結論可得2然后利用平方根的定義求解即可.3.（）從已知等式的左邊看，左邊配成兩數和的平方來求解【詳解】(ab)2，1解：（）由題可得，大正方形的面積大正方形的面積(ab)24ab，∴(ab)2(ab)24ab，(xy)2(xy)24xy，2（）∵∴(xy)2(xy)24xy254916，4∴xy4或－，4(2019m)2(m2020)27，3（）∵又(2019mm2020)2(2019m)2(m2020)22(2019m)(m2020)∴172(2019m)(m2020)∴(2019m)(m2020)3(ab)2(ab)24ab故答案為：(1)【點睛】本題通過觀察圖形(2)44(3)-3；，－：發(fā)現規(guī)律，并運用規(guī)律求值，使問題簡單化是解題關鍵.12．先閱讀下列材料：我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中應用較多．十字相乘法：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數（如圖），如：將式子2x3x2和2x2x3分解因式，如圖：x23x2x1x2；2x2x3x12x3．請你仿照以上方法，探索解決下列問題：y7y12；1（）分解因式：2．2321（）分解因式：xx21x3x42【答案】（）（﹣）（﹣）；（）（﹣）（）．x13x+1【解析】【分析】（1）將1分成1乘以1，12分成-3乘以-4，交叉相乘的結果為-7，即可得到答案；（2）將3分成1乘以3，-1分成-1乘以1，由此得到分解因式的結果.【詳解】1y7y+12=x3x4（）﹣（﹣）（﹣）；223x2x1=x13x+1（）﹣﹣（﹣）（）.2【點睛】此題考查十字相乘法分解因式，將二次項系數及常數項分解成兩個因數相乘，交叉相乘的結果相加得到一次項的系數，能準確分解因數是解題的關鍵.（，213．若一個整數能表示成abb是整數）的形式，則稱這個數為“完美數”.例a2“完美數”，因為再如，521.25如，是2Mx22xy2y2xy2y2（x，y所以M也是是整數），“完美數”.（1）10”，并判斷29是否為“完美數”；請你再寫一個小于的“完美數（2）已知Sx4xyk（x，y412S是整數，是常數），要使為“完美y22數”，試求出符合條件的一個002-02值，并說明理由.（3）如果數，mn都是“完美數，”試說明mn也是完美數．“”.【答案】（1）8、29是完美數（2）S是完美數（3）mn是完美數【解析】【分析】（1）利用“完美數”的定義可得；（2（3Sk）利用配方法，將配成完美數，可求的值mn）根據完全平方公式，可證明是“完美數”；【詳解】22228,8是完美數；292252,29是完美數(1)(2)S（x2)22y32k13當k13時，S是完美數.2(3)設ma2b2,nc2d2adbc2,則mnabcdacbd2222即mn也是完美數.【點睛】本題考查了因式分解的應用，完全平方公式的運用，閱讀理解題目表述的意思是本題的關鍵．14．圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然一個正方形．（1）請用兩種不同的方法求2后按圖②的形狀拼成圖②中陰影部分的面積：1方法：方法：（2）觀察圖②請你寫出下列三個代數式：（m+n2），（﹣），mn之間的等量關mn2系．；（）題中的等量關系，（3）根據解決：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）的值；22【答案】（1）（m-n）2；（）；（）（）（）；（）m+n-4mn2m-n=m+n-4mn31.222【解析】【分析】（1）方法1：表示出陰影部分的邊長，然后利用正方形的面積公式列式；2方法：利用大正方形的面積減去四周四個矩形的面積列式；（2）根據不同方法表示的陰影部分的面積相同解答；（3）根據（）的結論整體代入進行計算即可得解．2【詳解】m-n,解：（1）方法1：∵陰影部分的四條邊長都是是正方形，∴陰影部分的面積=（m-n）2方法2：∵陰影部分的面積=大正方形的面積減去四周四個矩形的面積=m+n-4mn∴陰影部分的面積（）；2（2）根據（1）中兩種計算陰影部分的面積方法可知（）（）；m-n=m+n-4mn22（3）由（2）可知（a+b）（），=a-b+4ab22a-b=5ab=-6∵，，=a-b+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.∴（a+b）2（）2【點睛】本題考查幾何圖形與完全平方公式，應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．15．（知識生成）我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：（1）根據圖2，寫出一個代數恒等式：．（2）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．（3）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）長方形，則x+y+z＝．（知識遷移）（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖4中圖形的變化關系，寫出一個代數恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依據正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝2a+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依據a+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進行計算即可；2（3）依據所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，，yz的值．（4）根據原幾何體的體積＝新幾何體的體積，列式可得結論．【詳解】12a+b+ca+b+c+2ab+2ac+2bc，（）由圖得：正方形的面積＝（）；正方形的面積＝2222a+b+c∴（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc，2222a+b+c故答案為：（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc；22222a+b+c（）∵（）＝a+b+c+2ab+2ac+2bc，2222∵a+b+c＝，10ab+ac+bc＝，35∴10＝2a+b+c+2×35，222∴a2+b2+c1007030＝﹣＝，230故答案為：；32a+ba+2bxa+yb+zab，題意得：（）（）＝22（）由∴2a2+5ab+2bxa+yb+zab＝，222x2∴y2，z5∴x+y+z＝，99故答案為：；（）∵原幾何體的x4體積＝3﹣1×1?x＝x3﹣x，x+1x1x體積＝（）（﹣），新幾何體的x+1∴x3﹣x＝（）（x﹣1）x．x+1故答案為：x3﹣x＝（）（x﹣1）x．【點睛】本題主要考查的是整式的混合運算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積或面積，然后根據它們的體積或面積相等列出等式是解題的關鍵．四、八年級數學分式解答題壓軸題（難）16．為響應“綠色出行”的號召，小王上班由自駕車改為乘坐公交車.已知小王家距離上班地點27km，他乘坐公交車平均每小時行駛的路程比他自駕車平均每小時行駛的2路程的倍3時間是自駕車所用時間的9km還多他從家出發(fā)到上班地點，..乘公交車所用的71（）小王用自駕車上班平均每小時行駛多少千米？46km2（）上周五，小王上班時先步行了，然后乘公交車前往，共用小時到達.求他步行3的速度.【答案】（1）小王用自駕車上班平均每小時行駛27km2；（）小王步行的速度為每小時6km.【解析】【分析】1xkm（））設小王用自駕車上班平均每小時行駛，則他乘坐公交車上班平均每小時行駛2x9km.SS再利用乘公交車的方式平均每小時行駛的路程比他自用駕式平均每小時行3駛的路程的倍還多千米和乘公交車所用時間是自駕車方式所用時間的，列方程求解297即可；2ykm（）設小王步行的速度為每小時，然后根據+=“步行時間乘公交時間小時”列方程解答即可.【詳解】1xkm上班平均每小時行駛，則他乘坐公交車解（）設小王用自駕車上班平均每小時行駛2x9km.根據題意得：273272x97x解得：x27經檢驗，x27是原方程的解且符合題意.27km所以小王用自駕車上班平均每小時行駛；2x9227963（）；km坐公交車上班平均每小時行駛2（）由（）1知：小王乘ykm設小王步行的速度為每小時，根據題意得：62764y633解得：y6.經檢驗：y6是原方程的解且符合題意6km.所以小王步行的速度為每小時【點睛】本題考查了分式方程的應用，解答的關鍵在于弄清題意、找到等量關系、列出分式方程并解答.17．為了迎接運動會，某校八年級學生開展了“短跑比賽”。甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，＜vvvv。1212B去地，途中都使用兩種不同的速度與沿同一條道路vv使用速度，另一半的路程使用速度；乙前一半的時間用速度，另一12v1甲前一半的路程。半的時間用速度v2vv（1）甲、乙二人從A地到達B地的平均速度分別為、；則乙甲v=___________,v=____________甲乙(2)通過計算說明甲、乙誰先到達B地？為什么？2vvvv；2；（2）【答案】（1）乙先到達B地．121vv212【解析】【分析】1ABsA（）設兩地的路程為，乙從地到地的總時間為．Ba=路程÷時間求出V先算出前一半的路程所用的時間，后一半的路程所用的時間相加，速度；甲=路程÷時間求出V先算出前一半的時間所行的路程，后一半的時間所行的路程相加，速度；乙2（）看甲、乙兩人誰先到達B地，V因為路程一定，比較，的大小即可．V乙甲【詳解】1ABsA（）設兩地的路程為，乙從地到地的總時間為．Bas2vv1211vvvav2a1v=22，vv．2v=甲122s2s1乙a2vv12vv2vv()2vv2vv=（）﹣乙甲12=vv2(2－121vv)212120vvvv0B∵＜＜，∴﹣＞，乙先到地．12乙甲【點睛】本題重點考查了列代數式和分式的混合運算，是一道難度中等的題目．18．某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進4090150價的和為元，用元購進甲種玩具的件數與用元購進乙種玩具的件數相同．1（）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？2（）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？1【答案】（）15/25/元件，元件；（）2共有四種方案．甲，乙兩種玩具分別是【解析】【分析】1甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，根據已知一件甲種玩（）設4090150具的進價與一件乙種玩具的進價的和為元，用元購進甲種玩具的件數與用元購進乙種玩具的件數相同可列方程求解．2（）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，根據甲種玩具的件數少于乙種商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，可列出玩具的【詳解】件數，不等式組求解．解：設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，x=15，經檢驗x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；2y48y（）設購進甲種玩具件，則購進乙種玩具（﹣）件，，20≤y24解得＜．y因為是整數，甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，∴y取20，，，，212223共有4種方案．考點：分式方程的應用；一元一次不等式組的應用．19．“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商A某自行車行經營的8萬元．家?guī)砩虣C．型自行車去年銷售總額為今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元．若該型車的銷售數量與去年相同，那么今年的銷售總額將比10%去年減少，求：（1）A型自行車去年每輛售價多少元；（2）該車行今年計劃新進一批A型車和新款B型車共60輛，且B型車的進貨數量不超過A已知，A型車和B型車的進15001800元，計劃B型車數量的兩倍．貨價格分別為元和貨才能使這批自行車銷售獲利多最．2400型車銷售價格為元，應如何組織進【答案】(1)2000元；（2）A型車20輛，B型車40輛．【解析】【分析】（）設去年A型車每輛售價x元，則1x200今年售價每輛為（﹣）元，由賣出的數量相同列出方程求解即可；2（）設今年新進A型車a輛，則型車（﹣）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之60aBa間的關系式，由的取值范圍就可以求出y的最大值．【詳解】解：（）設1去年A型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（﹣）元，由題意，得x2008000080000(110%)，xx200解得：x=2000．經檢驗，x=2000是原方程的根．答：去年A型車每輛售價為元；20002B60a今年新進A型車a輛，則型車（﹣）輛，獲利y元，由題意，得（）設y=a+（﹣），60ay=﹣300a+36000．∵B型車的進貨數量不超過A型車數量的兩倍，∴60﹣，a≤2a∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣＜，3000∴y隨a的增大而減小．∴a=20時，y=30000元．最大6020=40輛．型車的數量為：﹣∴B∴當新進A型車20輛，B型車40輛時，這批車獲利最大．【點睛】本題考查分式方程的應用；一元一次不等式的應用．20．某商家用1200元購進了一批T恤，上市后很快售完，商家又用2800元購進了第二批這種T恤，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了5元．（1）該商家購進的第一批T恤是多少件？（2）若兩批T恤按相同的標價銷售，最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出，如果希望兩批T恤全部售完的利潤率不低于16%（不考慮其它因素），那么每件T恤的標價至少是多少元？【答案】（1）商家購進的第一批恤是40件；（2）每件恤的標價至少40元．【解析】【分析】（1）可設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據第二批這種襯衫單價貴了5元，列出方程求解即可；（2）設每件襯衫的標價y元，求出利潤表達式，然后列不等式解答．【解詳】（1）解：設購進的第一批恤是x件．1200280052x由題意，得x解得x＝40．經檢驗，x＝40是所列方程的解．所以商家購進的第一批恤是40件．（2）設每件的標價是y元由題意，（40＋40×2－20）y＋0.8×20y≥（1200＋2800）（1＋16%）y≥40．解得即每件恤的標價至少40元．【點睛】本題考查的知識點是分式方程的應用和一元一次不等式的應用，解題關鍵是弄清題意并找出題中的數量關系并列出方程．五、八年級數學三角形解答題壓軸題（難）21．圖（1）是我們常見的“箭頭圖，其中隱藏著哪些數學知識”呢？下面請你解決以下問題：（11）“”BDCA、B、C）觀察如圖（箭頭圖，試探究∠與∠∠∠之間大小的關系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結論，回答下列兩個問題：①如圖（），把一塊三角板放置在上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經過點2XYZ△ABCB、CABX+ACX=；A=50°．若∠，則∠∠3），ABD，ACDG、G、G3、G4，若②如圖（∠∠的五等分線分別相交于點12BDC=135°，BGC=67°∠∠，求∠的度數．A1（1）BDC=A+B+C（2）40°50°【答案】∠∠∠∠①②【解析】試題分析：（1）連接AD并延長，根據三角形的外角和內角關系解答；∠ABX+∠ACX的度數；（2）①利用（1）的結論，直接計算出②圖（3）利用（1）的結論，根據∠BDC=135°，∠BG1C=67°，計算出相等的角：∠DBG4+∠DCG的和，再次利用（1）的結論，求出∠A的度數.4試題解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：連接AD并延長到M．因為∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，∠BXC=90°，∠A=50°由于所以∠ABX+∠ACX=∠BXC﹣∠A=90°﹣50°=40°．②在箭頭圖GBDC中1因為∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°又∵∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G1、G2、G3、G4∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°∴∠DBG4+∠DCG4=17°．∴∠ABG1+∠ACG1=17°∵在箭頭圖G1BAC中∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，∵∠BGC=67°，又∴∠A=50°．1答：∠A的度數是50°．22．（問題探究）將三角形ABC紙片沿DE折疊，使點落在點處.AA1（1）如圖，當點A落在四邊形BCDE的邊上時，直接寫出A與之間的數量關CD系；122A；（2）如圖，當點A落在四邊形BCDE的內部時，求證：1A（）如圖，當點落在四邊形BCDE的外部時，探索，2，之間的數量關系，3A并加以證明；（拓展延伸）4ABCDAD（）如圖，若把四邊形紙片沿EF折疊，使點、落在四邊形的內部點BCFE1AD、的位置，請你探索此時，2，，之間的數量關系，寫出你發(fā)現的結DA.論，并說明理由1=2A1）∠∠；（）證明231=2A+2見詳解；（）∠∠∠；【拓展【答案】【問題探究】（2AD12360.4延伸】（）【解析】【分析】1（）運用折疊原理及三角形的外角性質即可解決問題，2（）運用折疊原理及四邊形的內角和定理即可解決問題，3（）運用三角形的外角性質即可解決問題，（4）先根據翻折的解．性質求出∠AEF、∠EFD，再根據四邊形的內角和定理列式整理即可得【詳解】解：（）如圖，∠1=2∠A．知識可得：∠EA′D=∠A；∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．1理由如下：由折疊（）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°2，由四邊形的內角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，∴∠A′+∠A=∠1+∠2，由折疊知識可得∠A=∠A′，∴2∠A=∠1+∠2．（3）如圖，∠1=2∠A+∠2理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，（4）如圖，11根據翻折的性質，31801，41802，22∵AD34360，1