第六章節(jié)直線相關(guān)與回歸

第六章節(jié)直線相關(guān)與回歸

分析兩個(gè)變量間的關(guān)系常用回歸及相關(guān)分析的統(tǒng)計(jì)方法。如兩個(gè)變量間的關(guān)系是線性的，可用直線相關(guān)與回歸分析；如兩個(gè)變量間的關(guān)系是非線性的需用非線性（曲線）回歸。回歸分析適用于分析變量間的因果關(guān)系；用一個(gè)自變量的值來(lái)估計(jì)另一個(gè)應(yīng)變量的值。相關(guān)分析用于分析兩變量間相互聯(lián)系的密切程度及相關(guān)方向。

第一節(jié)概述

第二節(jié)相關(guān)系數(shù)

相關(guān)分析的目的在于通過(guò)相關(guān)系數(shù)r來(lái)描述和度量?jī)勺兞烤€性聯(lián)系的程度和方向。

r>0正相關(guān)圖例1r<0負(fù)相關(guān)圖例2r=0零相關(guān)圖例3

零相關(guān)即兩變量間無(wú)關(guān)。樣本相關(guān)系數(shù)不等于零，并不表示總體相關(guān)系數(shù)不等于零，還要作顯著性檢驗(yàn)。nextr=0.7495回r=-0.83597回

相關(guān)系數(shù)的計(jì)算：X和Y的離均差積和X的離均差平方和

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

樣本相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤查t界值表，得P值

例6.1極譜法和碘量法測(cè)定水中溶解氧的含量，兩法的測(cè)得值是否有相關(guān)性？

兩法的測(cè)得值有相關(guān)（P<0.01)

第三節(jié)直線回歸方程目的：找出描述x與y依存關(guān)系的直線方程。Y為應(yīng)變量（dependentvariable)X為自變量（independentvariable）A為截距（intercept）b為回歸系數(shù)（regressioncoefficient）回歸系數(shù)b表示x每改變一個(gè)單位，y平均改變b個(gè)單位。Y=10x+5

=4.22+0.20x體重心臟橫徑

設(shè)有n對(duì)x，y的觀察值，先在直角坐標(biāo)系中作散點(diǎn)圖,如果散點(diǎn)的分布呈直線趨勢(shì)，則可設(shè)法求出直線方程。通常用最小二乘法，依據(jù)：各點(diǎn)與該直線的縱向距離的平方和為最小先由(6.3)式求得b，再由(6.4)式求得a,就得出直線回歸程。

xy最小回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

從樣本資料中算得的回歸系數(shù)b，也有抽樣誤差，因此需作顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)其是否是回歸系數(shù)為零的總體中抽得的。

H0:β=0H1:β≠0。當(dāng)拒絕H0時(shí)，可認(rèn)為x與y間的直線回歸方程有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。顯著性檢驗(yàn)可有兩種方法：t檢驗(yàn)法和方差分析法。

t檢驗(yàn)法:樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤剩余標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)誤差平方和方差分析法：Y的總變異X和Y的線性關(guān)系引起的變異誤差引起的變異回歸平方和誤差平方和總的自由度：n-1（總例數(shù)減1）回歸自由度：1（自變量個(gè)數(shù)）誤差自由度：n-2（總的自由度減去回歸自由度）df1=1,df2=n-2查方差分析用的F界值表，得P值例6.2研究正常男性年齡與運(yùn)動(dòng)后最大心率的關(guān)系，求直線回歸方程。直線回歸相關(guān)分析的注意事項(xiàng)：

1.相關(guān)分析只是以相關(guān)系數(shù)來(lái)描述兩個(gè)變量間線性相關(guān)的程度和方向，并不闡明事物間存在聯(lián)系的本質(zhì)，也不是兩事物間存在聯(lián)系的證據(jù)。要闡明兩事物間的本質(zhì)聯(lián)系，必須憑專業(yè)知識(shí)從理論上加以論證。因此，把兩個(gè)毫無(wú)關(guān)系的事物放在一起作相關(guān)分析是毫無(wú)意義的。同樣，作回歸分析也要有實(shí)際意義。

直線回歸相關(guān)分析的注意事項(xiàng)：在進(jìn)行直線回歸前應(yīng)繪制散點(diǎn)圖，有直線趨勢(shì)時(shí)，才適宜作直線回歸分析。散點(diǎn)圖還能提示資料有無(wú)異常點(diǎn)。3.直線回歸方程的適用范圍一般以自變量的取值范圍為限。直線回歸相關(guān)分析的注意事項(xiàng)：

4.對(duì)同一組資料作回歸和相關(guān)分析，其相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果完全相同。由于相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果可直接查表，比較方便；而回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)計(jì)算復(fù)雜，故在實(shí)際應(yīng)用中常用相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果代替回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。直線回歸相關(guān)分析的注意事項(xiàng)：5.在資料要求上：相關(guān)分析要求兩個(gè)變量服從雙變量正態(tài)分布。回歸分析要求因變量服從正態(tài)分布，自變量可以是精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量。如兩個(gè)變量服從雙變量正態(tài)分布，則可以作兩個(gè)回歸方程，用X推算Y，或用Y推算X。

第五節(jié)過(guò)定點(diǎn)的直線回歸

醫(yī)學(xué)研究中在擬合直線時(shí),除了要求與觀察點(diǎn)盡量接近外,還常常要求必須經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(m,n)。例如在光電比色、熒光分析、火焰光度測(cè)定以及同位素測(cè)定等實(shí)驗(yàn)方法繪制標(biāo)準(zhǔn)直線時(shí)就常有這樣的要求。此定點(diǎn)也可以是(m,0),(0,n)或(0,0)等,尤以(0,0)為最常見(jiàn)。計(jì)算公式和實(shí)例見(jiàn)第116頁(yè)。第六節(jié)直線相關(guān)與回歸的SAS程序SAS的CORR過(guò)程可用于求變量之間的線性相關(guān)系數(shù)及偏相關(guān)系數(shù)。；

SAS的REG過(guò)程可用于各種線性回歸分析，包括多元回歸（見(jiàn)第七章），逐步回歸和最優(yōu)子集回歸（見(jiàn)第八章）等。第七章多元回歸及相關(guān)第一節(jié)多元線性回歸的基本概念

事物間的相互聯(lián)系往往是多方面的，在很多情況下對(duì)應(yīng)變量y發(fā)生影響的自變量往往不止一個(gè)。多元線性回歸的目的就是用一個(gè)多元線性回歸方程表示多個(gè)自變量和1個(gè)應(yīng)變量間的關(guān)系。：截距：標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)表示其他自變量固定的情況下，xi改變一個(gè)單位，y平均改變bi個(gè)單位。多元線性回歸的應(yīng)用條件：1.獨(dú)立性：各觀察對(duì)象間相互獨(dú)立。2.線性：自變量與應(yīng)變量間的關(guān)系為線性。正態(tài)性：自變量取不同值時(shí)，應(yīng)變量的分布為正態(tài)。方差齊性：自變量取不同值時(shí)，應(yīng)變量的總體方差相等。當(dāng)不符合條件時(shí)，可對(duì)自變量進(jìn)行變換。如：第二節(jié)多元回歸的計(jì)算

1.計(jì)算截距和各偏回歸系數(shù)。2.多元回歸方程的顯著性檢驗(yàn)：（1）整個(gè)方程的顯著性檢驗(yàn)：用方差分析。（2）對(duì)各偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)：去掉xj后回歸平方和的減少是否顯著。t檢驗(yàn)：回歸系數(shù)除以它的標(biāo)準(zhǔn)誤。第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)

要比較各個(gè)自變量對(duì)于應(yīng)變量的作用大小，不能用偏回歸系數(shù)，因?yàn)楦髌貧w系數(shù)的單位不同。必須把偏回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，化成沒(méi)有單位的標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)，公式為:

消除不同單位的影響后，標(biāo)準(zhǔn)偏回歸系數(shù)的絕對(duì)值越大，該自變量對(duì)于應(yīng)變量的作用越大，但該差別是否有統(tǒng)計(jì)意義，也必須經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)。第四節(jié)偏相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)r應(yīng)稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，因?yàn)樗豢紤]了x1和

x2之間的相互影響,而未注意到其他變量對(duì)x1和x2可能有的影響。事實(shí)上,客觀事物間的關(guān)系是錯(cuò)綜復(fù)雜的，變量之間的相互影響也往往是多種多樣的。例如,當(dāng)存在x1,x2,x3三個(gè)變量時(shí),如果我們不考慮x3

，而只對(duì)x1,x2計(jì)算其相關(guān)系數(shù)r，則這r的大小往往不反映客觀真實(shí)情況；如r很大，可能意味著x1,x2之間的關(guān)系很密切，但也可能實(shí)際上x(chóng)1,x2之間并無(wú)什么關(guān)系，而x3卻對(duì)x1,x2能同時(shí)發(fā)揮很大的影響，我們所看到的較大r值不過(guò)是x3對(duì)x1的作用和x3對(duì)x2的作用的客觀表現(xiàn)而已。反之，x1,x2之間算得的一個(gè)小r值,也不一定就意味著x1,x2之間的關(guān)系確實(shí)薄弱，也有可能x1,x2之間雖有關(guān)聯(lián)，但此關(guān)聯(lián)性卻被x3對(duì)它們的作用所抵消,以致被掩蓋了。

因此在較單純的情況下,如果x1,x2與周?chē)渌兞繘](méi)什么關(guān)系的話，則用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)來(lái)表示x1,x2之間的相關(guān)性是可行的；如果存在著對(duì)x1,x2關(guān)系密切的其他變量，則r就不能確切地表示x1,x2之間的真實(shí)關(guān)系,這就需要用到偏相關(guān)系數(shù)。所謂偏相關(guān)系數(shù)指的是當(dāng)把x1,x2以外的其他變量對(duì)它們的影響都扣除掉(或平衡掉)以后,x1,x2之間的相關(guān)系數(shù)。表示把x3的作用扣除掉以后x1

和x2的偏相關(guān)系數(shù)表示把x3和x4的作用扣除掉以后x1

和x2的偏相關(guān)系數(shù)

偏相關(guān)系數(shù)可從簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)計(jì)算得到，也要作顯著性檢驗(yàn)。第五節(jié)多元相關(guān)系數(shù)及決定系數(shù)

在多元回歸中可算得一個(gè)多元相關(guān)系數(shù)，用R表示，它是y與之間的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)，也可理解為y與自變量組合之間的相關(guān)系數(shù)。

R2稱為多元回歸方程的決定系數(shù),即y的變異中可由方程中的自變量組合所決定的部分。

R2值介于0～1之間，R2越接近1,說(shuō)明回歸方程的效果越好。R2越接近0,說(shuō)明回歸方程的效果越差，即y的變異中只有很少一部分能由方程中的自變量組合所決定，即使該方程有顯著意義，也不能認(rèn)為該方程的效果可以令人滿意,啟示我們還應(yīng)進(jìn)一步尋找其他對(duì)y可能有顯著作用的變量或變量組合。R2也可用于檢驗(yàn)多元回歸方程的顯著性。第六節(jié)多元回歸在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用

1.一。根據(jù)較易測(cè)得的自變量推算不易測(cè)得的應(yīng)變量如：用身高,體重推算體表面積。二。確定各自變量xi取不同值時(shí)，y的正常值范圍如：建立一個(gè)由身高，體重推算心象面積的多元回歸方程，利用此方程就可分別求出身高，體重取不同值的組合時(shí)，心象面積的正常值范圍。三。預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)如：建立心肌梗塞預(yù)報(bào)方程或腦卒中預(yù)報(bào)方程。四?；仡櫷茢嗳纾和茢嗨劳鰰r(shí)間。

第七節(jié)多元回歸及相關(guān)的SAS程序

求偏相關(guān)系數(shù)用CORR過(guò)程。求多元回歸及相關(guān)用REG過(guò)程。第八章逐步回歸及最優(yōu)子集回歸第一節(jié)逐步回歸分析一．逐步回歸分析的基本概念逐步回歸分析的目的是建立“最優(yōu)”回歸方程?！白顑?yōu)”回歸方程是指包含所有對(duì)y有顯著作用的自變量，而不包含對(duì)y作用不顯著的自變量的方程。二.逐步回歸分析的計(jì)算方法在供選的自變量Xi中，按其對(duì)y的作用大小，由大到小地把自變量逐個(gè)引入方程，每引入一個(gè)自變量就對(duì)它作顯著性檢驗(yàn)，顯著時(shí)才引入，而當(dāng)新的自變量進(jìn)入方程后,對(duì)方程中原有的自變量也要作檢驗(yàn)，并把作用最小且退化為不顯著的自變量逐個(gè)剔出方程。因此，逐步回歸的每一步（引入一個(gè)變量或剔除一個(gè)變量都稱為一步）前后都要作顯著性檢驗(yàn)，以保證每次引入新變量前方程中只包含作用顯著的自變量。這樣一步