《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件★第2章.導(dǎo)數(shù)與微分

《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)六版)教學(xué)課件★第2章.導(dǎo)數(shù)與微分第一頁，共140頁。第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton第二頁，共140頁。一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二章第三頁，共140頁。一、引例1.變速直線運(yùn)動的速度設(shè)描述質(zhì)點運(yùn)動位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運(yùn)動第四頁，共140頁。2.曲線的切線斜率曲線在M點處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN的斜率切線MT的斜率第五頁，共140頁。兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題第六頁，共140頁。二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).第七頁，共140頁。運(yùn)動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M點處的切線斜率第八頁，共140頁。不存在,就說函數(shù)在點不可導(dǎo).若也稱在若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).的導(dǎo)數(shù)為無窮大.若極限第九頁，共140頁。例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:第十頁，共140頁。說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，（以后將證明）第十一頁，共140頁。例3.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得第十二頁，共140頁。例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即第十三頁，共140頁。原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.設(shè)存在,求極限解:原式第十四頁，共140頁。三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點;若切線與x軸垂直.曲線在點處的切線方程:法線方程:第十五頁，共140頁。例7.問曲線哪一點有鉛直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有鉛直切線第十六頁，共140頁。四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點x連續(xù).注意:函數(shù)在點x連續(xù)，但在該點未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).即第十七頁，共140頁。在點的某個右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,第十八頁，共140頁。定理2.函數(shù)在點且存在簡寫為在點處右導(dǎo)數(shù)存在定理3.函數(shù)在點必右連續(xù).(左)(左)若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的充分必要條件是且第十九頁，共140頁。內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;第二十頁，共140頁。思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)第二十一頁，共140頁。2.設(shè)存在,則3.已知則4.

若時,恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且第二十二頁，共140頁。5.

設(shè),問a取何值時,在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時此時在都存在,第二十三頁，共140頁。作業(yè)P862,5,6,7,11,16(2),18,20第二節(jié)第二十四頁，共140頁。牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.第二十五頁，共140頁。萊布尼茨

(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計了作乘法的計算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第二十六頁，共140頁。備用題

解:因為1.設(shè)存在,且求所以第二十七頁，共140頁。在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因為存在，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).2.設(shè)故第二十八頁，共140頁。第二節(jié)二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則第二章第二十九頁，共140頁。解決求導(dǎo)問題的思路:(構(gòu)造性定義)求導(dǎo)法則其他基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題本節(jié)內(nèi)容第三十頁，共140頁。一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點外)都在點x可導(dǎo),且下面分三部分加以證明,并同時給出相應(yīng)的推論和例題.第三十一頁，共140頁。此法則可推廣到任意有限項的情形.證:設(shè)

則故結(jié)論成立.例如,第三十二頁，共140頁。(2)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))第三十三頁，共140頁。例1.解:第三十四頁，共140頁。(3)證:設(shè)則有故結(jié)論成立.推論:(C為常數(shù))第三十五頁，共140頁。例2.

求證證:類似可證:第三十六頁，共140頁。二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在x處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此第三十七頁，共140頁。例3.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則第三十八頁，共140頁。2)設(shè)則特別當(dāng)時,小結(jié):推論3)第三十九頁，共140頁。在點x可導(dǎo),三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理3.在點可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點x可導(dǎo),證:在點u可導(dǎo),故（當(dāng)時)故有第四十頁，共140頁。例如,關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.第四十一頁，共140頁。例4.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)(3)說明:類似可得第四十二頁，共140頁。例5.設(shè)求解:思考:若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個記號含義不同第四十三頁，共140頁。例6.設(shè)解:記則(反雙曲正弦)其他反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)看參考書自推.的反函數(shù)雙曲正弦第四十四頁，共140頁。四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P95)第四十五頁，共140頁。2.有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則(C為常數(shù))3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則4.初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),由定義證,說明:最基本的公式其他公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)第四十六頁，共140頁。例7.求解:例8.設(shè)解:求先化簡后求導(dǎo)第四十七頁，共140頁。例9.求解:關(guān)鍵:搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)第四十八頁，共140頁。例10.設(shè)求解:第四十九頁，共140頁。內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則(見P95~P96)注意:1)2)搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).1.思考與練習(xí)對嗎?第五十頁，共140頁。2.

設(shè)其中在因故正確解法:時,下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于f(a)=0，故第五十一頁，共140頁。3.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:(1)(2)或第五十二頁，共140頁。4.

設(shè)求解:

方法1利用導(dǎo)數(shù)定義.方法2利用求導(dǎo)公式.第五十三頁，共140頁。作業(yè)P972(2),(8),(10);3(2),(3);4;6(6),(8);7(3),(7),(10);8(4),(5),(8),(10);10;11(3),(8),(10);*12(4),(8);

14第三節(jié)第五十四頁，共140頁。備用題1.設(shè)解：2.設(shè)解:其中可導(dǎo),求求第五十五頁，共140頁。二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)第二章第五十六頁，共140頁。一、高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線運(yùn)動第五十七頁，共140頁。定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類推,分別記作則稱第五十八頁，共140頁。設(shè)求解:依次類推,例1.思考:設(shè)問可得第五十九頁，共140頁。例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求第六十頁，共140頁。例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:第六十一頁，共140頁。例5.設(shè)解:第六十二頁，共140頁。例6.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)第六十三頁，共140頁。規(guī)律二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茨(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)規(guī)律第六十四頁，共140頁。規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證第六十五頁，共140頁。例7.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得第六十六頁，共140頁。例8.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得第六十七頁，共140頁。內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茨公式高階導(dǎo)數(shù)的求法如下列公式第六十八頁，共140頁。思考與練習(xí)1.如何求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)?解:解:第六十九頁，共140頁。(3)提示:令第七十頁，共140頁。解:第七十一頁，共140頁。各項均含因子(x–2)2.(填空題)(1)設(shè)則提示:(2)已知任意階可導(dǎo),且時提示:則當(dāng)?shù)谄呤?，?40頁。3.試從

導(dǎo)出解：同樣可求(見P103題4)

作業(yè)P1031(9),(12);3;4(2);6;9;10(2);*11(2),(3)

第四節(jié)第七十三頁，共140頁。解:

設(shè)求其中f二階可導(dǎo).備用題第七十四頁，共140頁。第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)相關(guān)變化率第二章第七十五頁，共140頁。一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)第七十六頁，共140頁。例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)第七十七頁，共140頁。例2.

求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即第七十八頁，共140頁。例3.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導(dǎo)第七十九頁，共140頁。1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:求導(dǎo)法求導(dǎo):第八十頁，共140頁。2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)第八十一頁，共140頁。又如,

對x求導(dǎo)兩邊取對數(shù)第八十二頁，共140頁。二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關(guān)系,第八十三頁，共140頁。若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得記第八十四頁，共140頁。?例4.設(shè),且求已知解:練習(xí):書P112題8(1)解:注意:對誰求導(dǎo)?

第八十五頁，共140頁。例5.拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則第八十六頁，共140頁。拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達(dá)到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向第八十七頁，共140頁。例6.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t

求導(dǎo),得故第八十八頁，共140頁。三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率第八十九頁，共140頁。例7.

一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對t求導(dǎo)已知

h=500m時,第九十頁，共140頁。思考題:當(dāng)氣球升至500m時停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導(dǎo)已知求第九十一頁，共140頁。試求當(dāng)容器內(nèi)水例8.

有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:設(shè)時刻t容器內(nèi)水面高度為

x,水的兩邊對t

求導(dǎo)而故體積為V

,則第九十二頁，共140頁。內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式第九十三頁，共140頁。思考與練習(xí)1.求螺線在對應(yīng)于的點處的切線方程.解:化為參數(shù)方程當(dāng)時對應(yīng)點斜率∴切線方程為點擊圖中任意處動畫播放\暫停第九十四頁，共140頁。2.設(shè)求提示:分別用對數(shù)微分法求答案:第九十五頁，共140頁。3.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時,故由①得再代入②得求①第九十六頁，共140頁。作業(yè)P1111(1),(4);2;3(3),(4);

4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12第五節(jié)第九十七頁，共140頁。求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導(dǎo)備用題1.設(shè)第九十八頁，共140頁。,求解：方程組兩邊同時對t求導(dǎo),得2.

設(shè)第九十九頁，共140頁。二、微分運(yùn)算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念函數(shù)的微分第二章第一百頁，共140頁。一、微分的概念

引例:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當(dāng)x

在取得增量時,變到邊長由其第一百零一頁，共140頁。的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,第一百零二頁，共140頁。定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即第一百零三頁，共140頁。定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點可導(dǎo),則第一百零四頁，共140頁。說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)?shù)谝话倭阄屙?，?40頁。微分的幾何意義當(dāng)很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記第一百零六頁，共140頁。例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P116表)又如,第一百零七頁，共140頁。二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)第一百零八頁，共140頁。例1.求解:第一百零九頁，共140頁。例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:第一百一十頁，共140頁。注數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如第一百一十一頁，共140頁。三、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則:得近似等式:第一百一十二頁，共140頁。特別當(dāng)很小時,常用近似公式:很小)證明:令得第一百一十三頁，共140頁。的近似值.解:設(shè)取則例4.求第一百一十四頁，共140頁。的近似值.解:例5.計算第一百一十五頁，共140頁。例6.有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,解:已知球體體積為鍍銅體積為V在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,第一百一十六頁，共140頁。*四、微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限第一百一十七頁，共140頁。誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,第一百一十八頁，共140頁。例7.

設(shè)測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm2)第一百一十九頁，共140頁。內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可微可導(dǎo)2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差第一百二十頁，共140頁。思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點處的及并說明其正負(fù).第一百二十一頁，共140頁。2.第一百二十二頁，共140頁。5.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時由上式得求6.設(shè)且則第一百二十三頁，共140頁。作業(yè)P1231;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);