概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 1概率論的基本概念

第1章概率論的基本概念李芳鳳

email:fangfly2003@163.com實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)泛海水產(chǎn)公司是俄亥俄州優(yōu)質(zhì)海產(chǎn)品的一家主要供應(yīng)商。在制定合理、可盈利的產(chǎn)品價(jià)格時(shí)，概率分析的方法發(fā)揮了很大的作用.實(shí)踐中的統(tǒng)計(jì)泛海水產(chǎn)公司接到供應(yīng)商發(fā)來(lái)的鮮魚(yú)時(shí)，需要將這些魚(yú)切片加工以滿足不同顧客的需求。一條100磅的新鮮金槍魚(yú)可能會(huì)花去500美元加工費(fèi)，乍看之下，公司所支付的成本為500/100=5(美元/磅)，然而，切片過(guò)程中會(huì)有損失，即成品不到100磅，假設(shè)最終出肉率為75%，則公司所支付的實(shí)際單價(jià)為500/75=6.67(美元/磅)，因此公司在指定價(jià)格時(shí)，需要以6.67為基準(zhǔn)。實(shí)際上出肉率是未知的，對(duì)其的估算影響了公司指定價(jià)格等決策。2008年9月25日21：10分，搭載著神舟七號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F型運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，并在完成中國(guó)航天員首次太空行走和各項(xiàng)科學(xué)試驗(yàn)任務(wù)后，于2008年9月28日17時(shí)38分安全返回。

太空中充斥著難以計(jì)數(shù)的空間碎片，隨時(shí)會(huì)給飛船帶來(lái)致命的沖擊。

神州七號(hào)飛船遭遇空間碎片的概率有多大？空間碎片的飛行速度平均每秒10公里，最高時(shí)速達(dá)每秒16公里。在這樣的速度下，一個(gè)1厘米的碎片就可以把擁有各種防護(hù)功能的飛船打穿一個(gè)洞。航天員的艙外航天服更經(jīng)不起碰撞.據(jù)中國(guó)科學(xué)院空間環(huán)境研究預(yù)報(bào)中心預(yù)測(cè)專家說(shuō)，世界各國(guó)聯(lián)合起來(lái)對(duì)10厘米至30厘米的大塊碎片進(jìn)行監(jiān)測(cè)，是能夠發(fā)現(xiàn)它的軌跡的。但對(duì)于較小的碎片，人類的觀測(cè)設(shè)備沒(méi)有辦法觀測(cè)得到，因此還沒(méi)有辦法較為準(zhǔn)確地掌握它的運(yùn)行軌跡，只能通過(guò)它碰撞、破碎的演化規(guī)律來(lái)盡可能多地了解它的運(yùn)行.神州七號(hào)飛船遭遇空間碎片的概率有多大？神州七號(hào)飛船遭遇空間碎片的概率有多大？目前可被地面觀測(cè)設(shè)備觀測(cè)并測(cè)定其軌道的空間物體超過(guò)9000個(gè)，其中只有6％是仍在工作的航天器，其余為空間碎片.在神舟七號(hào)載人航天飛行期間，預(yù)計(jì)將有10個(gè)左右的危險(xiǎn)時(shí)段可能會(huì)遭遇空間碎片的碰撞，只要避開(kāi)這些危險(xiǎn)時(shí)段，碰撞的概率都是在百萬(wàn)分之一以下。即使是在那幾個(gè)危險(xiǎn)的時(shí)段，飛船或航天員與空間碎片碰撞的概率也在萬(wàn)分之一以下.

據(jù)中國(guó)科學(xué)院空間環(huán)境研究預(yù)報(bào)中心專家稱，這種小概率事件意味著我們幾乎可以保證飛船不會(huì)與空間碎片相撞.本章要點(diǎn)計(jì)算和解釋條件概率、利用概率論方面的知識(shí)制定決策。幾個(gè)基本概念試驗(yàn)(experiment)：能夠產(chǎn)生各種明確結(jié)果的過(guò)程試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果拋擲一枚硬幣正面，反面檢測(cè)某一零部件次品，正品撥打一次銷售電話購(gòu)買，不購(gòu)買拋擲一枚骰子1,2,3,4,5,6進(jìn)行一場(chǎng)足球比賽獲勝，失利，平局試驗(yàn)(experiment)試驗(yàn)(experiment)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果樣本空間(samplespace)試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果，一個(gè)試驗(yàn)中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗(yàn)中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗(yàn)中，{正面，反面}樣本點(diǎn)(samplepoint)：任何一個(gè)特定的試驗(yàn)結(jié)果例：投擲一枚骰子樣本空間：{1,2,3,4,5,6}樣本點(diǎn)：一次投擲的結(jié)果，1～6之間任何整數(shù)例：零部件檢測(cè)樣本空間：{次品、正品}樣本點(diǎn)：正品或次品例：投擲硬幣的試驗(yàn)中樣本空間：{正面，反面}樣本點(diǎn)：正面或反面【例】指出下面描述的樣本空間與樣本點(diǎn)1觀察某電話交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)；2觀察一個(gè)新燈泡的壽命。={X|X>=0}={T|T>0}隨機(jī)事件(randomevent)：隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)一般用大寫(xiě)字母A，B，C表示。事件的概念必然事件(certainevent)：每次試驗(yàn)一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗(yàn)一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6事件的概念基本事件(elementaryevent)由樣本空間中一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的單點(diǎn)集一個(gè)不可能再分的隨機(jī)事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)【例】試指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？（2）手電筒的電池沒(méi)電,燈泡發(fā)亮.（5）當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；

（6）一個(gè)袋內(nèi)裝有形狀大小相同的一個(gè)白球和一個(gè)黑球，從中任意摸出1個(gè)球則為白球．（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在溫度時(shí)沸騰；（4）直線過(guò)定點(diǎn)；（1）某地1月1日刮西北風(fēng)；隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)事件的關(guān)系

隨機(jī)事件的關(guān)系互斥事件(mutuallyexclusiveevents)：如果兩個(gè)事件沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)，則稱這兩個(gè)事件是互斥的。

隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算舉例

【例】考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī),分別用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括號(hào)表示成績(jī)所處的范圍):A—優(yōu)秀([90,100])B—良好([80,90))C—中等([70,80))D—及格([60,70))

P—通過(guò)([60,100])F—未通過(guò)([0,60))事件的運(yùn)算法則（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）德摩根律：隨機(jī)事件的運(yùn)算及規(guī)律舉例【例】甲，乙，丙三人各射一次靶，設(shè)A—“甲中靶”，B—“乙中靶”，C—“丙中靶”，試用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來(lái)分別表示下列各事件：

1）“甲未中靶”2）“甲中靶而乙未中靶”

3）“三人中只有丙未中靶”

4）“三人中恰好有一個(gè)中靶”隨機(jī)事件的運(yùn)算及規(guī)律舉例【例】甲，乙，丙三人各射一次靶，設(shè)A—“甲中靶”，B—“乙中靶”，C—“丙中靶”，試用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來(lái)分別表示下列各事件：

5）“三個(gè)中至少有一人中靶”

6）“三個(gè)中至少有一人未中靶”

7）“三人中恰有兩人中靶”

8）“三人中至少兩人中靶”問(wèn):隨機(jī)事件的運(yùn)算及規(guī)律舉例【例】在經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)生中任選一名，記

A=“被選學(xué)生為男生”

B=“被選學(xué)生是二年級(jí)學(xué)生”

C=“被選學(xué)生是學(xué)生干部”表示什么事件？被選學(xué)生是二年級(jí)男生，并且不是學(xué)生干部。學(xué)生會(huì)全體干部全是二年級(jí)男生時(shí)關(guān)系式成立.

（2）在什么條件下ABC=C?頻率在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數(shù)P上下擺動(dòng)，且波動(dòng)的幅度逐漸減小，趨向于穩(wěn)定.例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù)n的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右試驗(yàn)的次數(shù)正面/試驗(yàn)次數(shù)1.000.000.250.500.750255075100125概率概率(probability)是對(duì)事件發(fā)生的可能性的一種數(shù)值度量。概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，如果某事件A發(fā)生的頻率f(A)穩(wěn)定地在[0,1]上的某一數(shù)值p附近擺動(dòng)，且一般來(lái)說(shuō)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，這種擺動(dòng)幅度將越來(lái)越小，則稱數(shù)值p為事件A發(fā)生的概率，記為P(A)=p.概率的公理化定義(2).規(guī)范性P(Ω)=1;

(3).可加性若事件A1,A2

,…

An

兩兩互斥，則有

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是樣本空間，對(duì)Ω中的每個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，如果P(A)滿足下述三條:(1).非負(fù)性P(A)≥0；則稱P(A)為事件A

的概率?！纠浚耗彻S為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個(gè)月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過(guò)規(guī)定指標(biāo)，若第二個(gè)月仍沒(méi)有具體的節(jié)電措施，試問(wèn)該廠第一天用電量超過(guò)指標(biāo)的概率。解：上個(gè)月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗(yàn)，試驗(yàn)A表示用電超過(guò)指標(biāo)出現(xiàn)了12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義有概率的性質(zhì)

對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)事件Ａ、Ｂ，有性質(zhì)5加法公式概率的性質(zhì)多算了一次概率的性質(zhì)

[例]

知識(shí)點(diǎn)回顧

知識(shí)點(diǎn)回顧概率(probability)是對(duì)事件發(fā)生的可能性的一種數(shù)值度量。概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，如果某事件A發(fā)生的頻率f(A)穩(wěn)定地在[0,1]上的某一數(shù)值p附近擺動(dòng)，且一般來(lái)說(shuō)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，這種擺動(dòng)幅度將越來(lái)越小，則稱數(shù)值p為事件A發(fā)生的概率，記為P(A)=p.概率的公理化定義(2)規(guī)范性P(Ω)=1;

(3)可加性若事件A1,A2

,…

An

兩兩互斥，則有

設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是樣本空間，對(duì)Ω中的每個(gè)事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，如果P(A)滿足下述三條:(1)非負(fù)性P(A)≥0；則稱P(A)為事件A

的概率。知識(shí)點(diǎn)回顧知識(shí)點(diǎn)回顧

【例】根據(jù)鋼鐵公司職工的例子，隨機(jī)抽取一名職工，計(jì)算該職工為煉鋼廠或軋鋼廠職工的概率.某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)工廠男職工女職工合計(jì)煉鐵廠煉鋼廠軋鋼廠4400320090018001600600620048001500合計(jì)8500400012500解：用A表示“抽中的為煉鐵廠職工”這一事件；B表示“抽中的為軋鋼廠職工”這一事件。隨機(jī)抽取一人為煉鐵廠或軋鋼廠職工的事件為互斥事件A與B的和，其發(fā)生的概率為【例】設(shè)某地有甲、乙兩種報(bào)紙，該地成年人中有20%讀甲報(bào)紙，16%讀乙報(bào)紙，8%兩種報(bào)紙都讀。問(wèn)成年人中有百分之幾至少讀一種報(bào)紙。

解：設(shè)A＝{讀甲報(bào)紙}，B＝{讀乙報(bào)紙}，C＝{至少讀一種報(bào)紙}。則

P(C

)=P(A∪B)

=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2+0.16-0.08=0.28等可能概型如果試驗(yàn)

E

滿足

(1)試驗(yàn)結(jié)果只有有限種；

(2)各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨怕誓Ｐ突蚬诺涓怕誓Ｐ?，?jiǎn)稱等可能概型或古典概型。古典概率(classicalmethod)：適用于各種試驗(yàn)結(jié)果等可能發(fā)生的場(chǎng)合。例子1：拋擲硬幣拋擲一枚均勻的硬幣有兩種可能的試驗(yàn)結(jié)果，正面朝上或反面朝上。且兩者都是等可能發(fā)生，因此，正面朝上的概率是1/2，同理，反面朝上的概率也為1/2例子2：投擲骰子在投擲骰子的試驗(yàn)中，6種結(jié)果以相同的概率發(fā)生，因此每個(gè)結(jié)果的概率為1/6定理

在古典概型中，設(shè)樣本空間有n個(gè)樣本點(diǎn)，A是中的事件且A中有k個(gè)樣本點(diǎn),則事件A發(fā)生的概率為證明：因試驗(yàn)E的結(jié)果只有有限種，即樣本點(diǎn)是有限個(gè):1,2,…,n

。Ω={1}∪{2}∪…∪{n}，{i}是基本事件，且各自發(fā)生的概率相等。

于是，有

1=P(Ω)=P({1}∪{2}∪…∪{n})=P({1})+P({2})+…+P({n})=nP({i}),i=1,2,…,n。從而，

P({i})=1/n，i=1,2,…,n.因此，若事件A包含k個(gè)基本事件，即則例：擲一顆均勻骰子，設(shè)A表示所擲結(jié)果為“四點(diǎn)或五點(diǎn)”，B表示所擲結(jié)果為“偶數(shù)點(diǎn)”，求P(A)和P(B)。解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。

例：瓶中裝有50顆藥丸，其中有3顆次品。求1)一次取一顆，取到次品的概率2)一次取5顆，其中有2顆是次品的概率。解：2)在50顆藥丸中取5顆，可能結(jié)果有個(gè)設(shè)B={取5顆中有2顆是次品}，則B包含的事件數(shù)為組合排列

例：一袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，從中摸兩次，每次一球.設(shè)A表示“取到兩球都是白球”，B表示“取到的兩球都是紅球”，C表示“取到的兩球中至少有一個(gè)白球”。請(qǐng)?jiān)?1)有放回抽樣,(2)不放回抽樣條件下求P(A)，P(B)，P(C)(1)有放回抽取，即每次取出一球記下號(hào)碼后放回袋中，混合后再進(jìn)行下次抽取

(2)不放回抽取，即每次取出一球后不再放回又抽取下一球解：有放回抽樣：第一次從袋中取球有5個(gè)球可供抽取，第二次也有5個(gè)球可抽，故共有5*5=25種取法對(duì)于事件A，第一次從袋中取球有3個(gè)球可供抽取，第二次也有3個(gè)球可抽，故共有9種取法，故解：不放回抽樣：第一次從袋中取球有5個(gè)球可供抽取，第二次有4個(gè)球可抽，故共有5*4=20種取法對(duì)于事件A，第一次從袋中取球有3個(gè)球可供抽取，第二次有2個(gè)球可抽，故共有6種取法，故練習(xí)：貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來(lái)自產(chǎn)地甲,3件來(lái)自地乙?，F(xiàn)從15件商品中隨機(jī)地抽取兩件,求這兩件商品來(lái)自一同產(chǎn)地的概率。解：從15件商品中取出2商品，共有C215=105種取法，且每種取法都是等可能的，故n=105。令

A={兩件商品都來(lái)自產(chǎn)地甲},kA=C212=66,

B={兩件商品都來(lái)自產(chǎn)地乙},kB=C23=3，而事件:{兩件商品來(lái)自同一產(chǎn)地}=A∪B,且A與B互斥,A∪B包含基本事件數(shù)66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。條件概率事件發(fā)生的概率經(jīng)常會(huì)受到與之相關(guān)的事件的影響。用條件概率來(lái)衡量例袋中有7只白球，3只紅球，白球中有4只木球，3只塑料球，紅球中有2只木球，1只塑料球?，F(xiàn)從袋中任取1球，假設(shè)每個(gè)球被取到的可能性相同。若已知取到的球是白球，問(wèn)：它是木球的概率是多少？白球紅球小計(jì)木球426塑料球314小計(jì)7310

設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

條件概率的定義為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。

例美國(guó)東部城市警察局男性和女性警官的升職情況。該警察局有1200個(gè)警官，其中男性960人，女性240人。過(guò)去兩年共有324位警官得到了晉升。具體數(shù)據(jù)如下：一個(gè)女警官委員會(huì)提出，在晉升過(guò)程中存在性別歧視的現(xiàn)象。理由是324位被提升的人中，有288人為男性，而女性僅僅有36人。警察局的官員爭(zhēng)辯道原因在于女警官人數(shù)本來(lái)就比較少。試?yán)脳l件概率來(lái)對(duì)性別歧視的指控進(jìn)行分析。

【練習(xí)】某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。解設(shè)A表示“活到20歲”，B表示“活到25歲”則所求概率為乘法公式加法公式用來(lái)計(jì)算兩個(gè)事件并的概率，而乘法公式用來(lái)計(jì)算兩個(gè)事件的交的概率乘法公式:設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(B)>0(P(A)>0)，則P(AB)=P(B)P(A|B)，(或P(AB)=P(A)P(B|A))

【例】設(shè)有1000件產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？解：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2),所求概率為P(A1A2)【練習(xí)】

“哈里斯個(gè)人理財(cái)調(diào)查”部門調(diào)查了2082名成年人，以了解他們擁有住房的情況。其中1249名受訪者擁有自己的住房。450名年齡在18~34歲的受訪者中，117名擁有自己的住房。隨機(jī)挑選一名成年人，年齡在18~34歲之間且有自己住房的概率是多少？解設(shè)Ａ表示年齡在18~34歲之間,Ｂ表示有自己的住房,則定理

在古典概型中，設(shè)樣本空間有n個(gè)樣本點(diǎn)，A是中的事件且A中有k個(gè)樣本點(diǎn),則事件A發(fā)生的概率為知識(shí)點(diǎn)回顧設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱條件概率的定義為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。

知識(shí)點(diǎn)回顧知識(shí)點(diǎn)回顧加法公式用來(lái)計(jì)算兩個(gè)事件并的概率，而乘法公式用來(lái)計(jì)算兩個(gè)事件的交的概率乘法公式:設(shè)A、B為兩個(gè)事件，若P(B)>0(P(A)>0)，則P(AB)=P(B)P(A|B)，(或P(AB)=P(A)P(B|A))

全概公式

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概公式全概公式設(shè)事件A1，A2，…，An

為樣本空間的一個(gè)劃分，P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對(duì)任意事件B，有

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4B諸Ai是原因B是結(jié)果【例】播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子中任取一顆所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：=95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05=0.4825【例】某車間用甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，求任取一個(gè)是次品的概率。

解：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來(lái)自甲臺(tái)機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來(lái)自乙臺(tái)機(jī)床”，A3表示“產(chǎn)品來(lái)自丙臺(tái)機(jī)床”，B表示“取到次品”。根據(jù)全概公式有

【練習(xí)】某地成年人體重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為0.2，0.1，0.05.求該地成年人患高血壓的概率。解：令B＝｛某人患高血壓｝，Aｉ=｛某人體重的特征｝(ｉ=１、２、３)，顯然它們構(gòu)成一完備事件組，且事件B只能與其中之一事件同時(shí)發(fā)生。故用全概率公式計(jì)算。P(B)=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.106P(B)=P(A1)

P(B|A1)+P(A2)

P(B|A2)+P(A3)

P(B|A3)貝葉斯公式【例】播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05。1)求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率.2)由這批所結(jié)出的含有50顆麥粒以上的麥穗中，是一等種子長(zhǎng)出來(lái)的概率？0.4825貝葉斯公式

貝葉斯公式【例】某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人